空間向量巧解平行,垂直關(guān)系

1、,.高中數(shù)學(xué)空間向量巧解平行、垂直關(guān)系編稿老師劉詠霞一校黃楠二校楊雪審核鄭建彬一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明1. 能夠運(yùn)用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行或垂直。2.理解直線的方向向量與平面的注意用向量方選擇題法解決平行和垂直空間向量巧解法向量。3.填空題問題中坐標(biāo)系的建平行、垂直關(guān)系能用向量方法解決線面、面面的解答題立以及法向量的求垂直與平行問題，體會(huì)向量方法在法。立體幾何中的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)： 用向量方法判斷有關(guān)直線和平面的平行和垂直關(guān)系問題。難點(diǎn)： 用向量語言證明立體幾何中有關(guān)平行和垂直關(guān)系的問題?？键c(diǎn)一：直線的方向向量與平面的法向量1.直線 l 上的向量 a 或與 a 共線的向

2、量叫作直線l 的方向向量。2.如果表示向量 a 的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a ，此時(shí)向量a 叫作平面 的法向量?！竞诵臍w納】,. 一條直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)，一個(gè)平面的法向量也有無數(shù)多個(gè)，且它們是共線的。 在空間中， 給定一個(gè)點(diǎn) A 和一個(gè)向量 a，那么以向量 a 為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A 的平面是唯一確定的?！倦S堂練習(xí)】已知 A（1 ， 1，0）， B（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 1），則平面 ABC 的一個(gè)法向量的單位向量是（）A. （1，1，1）B. (3, 3, 3)333C. ( 1,1,1)D. (3, 3,3 )333333思路分析： 設(shè)出

3、法向量坐標(biāo)，列方程組求解。uuuruuur答案： 設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為n （ x ，y，z）， AB （ 0 ， 1 ，1 ）， BC （uuuryz0uuurAB·nuuurxy0 ，x y z，1 ，1 ，0 ）， AC （ 1，0，1），則BC ·nuuurxz0AC ·n又單位向量的模為 1 ，故只有 B 正確。技巧點(diǎn)撥： 一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：（ 1）設(shè)出平面的法向量為n （ x， y， z）。（ 2）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a（ a，b1， c ），b （ a，b，c）。11222（ 3）根據(jù)法向量的

4、定義建立關(guān)于x，y ， z 的方程組n·a0n·b0.（ 4）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量。考點(diǎn)二：用向量法證明空間中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系設(shè)兩條不重合的直線l，m 的方向向量分別為 a （ a1， b 1 ， c1 ），b （ a2 ，線線平行ab ? （ a1 ，b1 ，c1） k（ a2， b 2， c2 ）b 2 ，c2），則 lm ?設(shè)l的方向向量為a（a1，b 1，c1）， 的法向量為u（a2，b 2，c2），線面平行則 ?u?·0?1a21b2 1c2 0l aa uabc設(shè) ，的法向量分別為u （ a1， b 1 ， c1）， v （ a2，

5、 b2 ，c2 ），面面平行則 ? uv ? （ a1，b 1， c1 ） k（ a2 ， b 2， c2）設(shè)兩條不重合的直線l，m 的方向向量分別為 a （ a1， b 1 ， c1 ），b （ a2 ，線線垂直 b 1b 2 c1c2 0b 2 ，c2），則 l m ? a b ? a ·b 0? a1 a2設(shè) l 的方向向量為a（ a1， b 1 ， c1 ）， 的法向量為 u （ a2， b 2 ， c2 ），線面垂直則 l ? au ? a ku? （ a1 ， b 1， c1） k（ a2 ， b2 ， c2 ）（ kR）設(shè) ，的法向量分別為u （ a1， b 1 ， c

6、1）， v （ a2， b2 ，c2 ），面面垂直則 ? u v? u·v 0? a1 a2 b1 b 2 c1c2 0O xyz 。,.【核心突破】 用向量法解決立體幾何問題是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、 輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算， 降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想。 用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：建立立體圖形與空間通過向量運(yùn)算，研究把向量的運(yùn)算結(jié)果向量的聯(lián)系，用空間點(diǎn)、直線、平面之間“翻譯”成相應(yīng)的幾向量表示問題中涉及的位置關(guān)系以及它們何意義。的點(diǎn)、直線、平面，之間的距離和夾角等把立體幾何

7、問題轉(zhuǎn)化問題。為向量問題。例題 1（浙江改編）如圖，在四面體AD 2，BD22 ，M 是 AD 的中點(diǎn)，P 是證明： PQ平面 BCD。A BCD 中， AD 平面BM 的中點(diǎn)，點(diǎn) Q 在線段BCD， BC CD，AC 上，且 AQ 3QC。思路分析： 利用直線的方向向量和平面的法向量垂直證明線面平行。答案： 證明：如圖，取 BD 的中點(diǎn) O，以 O 為原點(diǎn)， OD 、OP 所在射線為 y、z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意知， A（0， 2 ，2），B（0，2 ，0），D（0，2 ，0）。uuuruuur3 x0 ,23 y0, 1設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ x0，y 0， 0 ）。因?yàn)?A

8、Q3QC ，所以 Q。4442因?yàn)?M 為 AD 的中點(diǎn)，故 M （0 ， 2 ，1 ），又 P 為 BM 的中點(diǎn)，故 P 0,0, 1，2,.uuur323。所以 PQ44 y0,04 x0 ,uuur又平面 BCD 的一個(gè)法向量為a（ 0 ，0 ，1 ），故 PQ ·a 0。又 PQ? 平面 BCD ，所以 PQ平面 BCD 。技巧點(diǎn)撥： 解決此類問題的依據(jù)是要根據(jù)線面平行的判定定理，可證直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量平行，也可證直線的方向向量與平面的法向量垂直。例題 2長都為 2，D如圖所示，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱）為 CC1 的中點(diǎn)。求證：AB1 平面 A1 BD

9、。ABC A1B1 C1的所有棱思路分析： 證明線面垂直可以通過證明線與面的法向量平行來實(shí)現(xiàn)。答案： 證明：如圖所示，取BC 的中點(diǎn) O，連接 AO ，因?yàn)锳BC 為正三角形，所以AO BC。在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO 平面 BCC1 B1 ，uuuruuuuruuur取 B1C1 的中點(diǎn) O1 ，以 O 為原點(diǎn)，分別以 OB ， OO1， OA 所在直線為 x 軸， y 軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（ 1 ，0，0）， D（ 1，1， 0），A1（ 0，2 ，3 ），A（ 0，0，3）， B1（1，2，0）。uuuruuuruuurBA

10、1 （ 1，2，3 ）， BD （ 2，1，0）。 AB1 = （1， 2，3 ）設(shè)平面 A1 BD 的法向量為 n （ x，y ，z），uuuruuuruuurn BA10x2 y3z0因?yàn)?n BA1 ， n BD ，故uuur02xy0，n BD令 x1 ，則 y 2， z 3，故 n （ 1 ， 2 ，3）為平面 A1 BD 的一個(gè)法向量，uuuruuuruuur而 AB1（ 1 ， 2 ， 3 ），所以 AB1 n，所以 AB1 n ，故 AB 1平面 A1BD 。技巧點(diǎn)撥： 解決此類問題的依據(jù)是要根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面的法向量平行。例題 3 如圖，在直三棱

11、柱 ABC A1B1 C1 中， AB BC， ABBC 2， BB1 1， E 為 BB1 的中點(diǎn)，求證：平面 AEC1 平面 AA 1C1 C。,.思路分析： 建系寫出坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)平面垂直。答案： 證明：由題意得AB， BC，B1 B 兩兩垂直，以B 為原點(diǎn)，分別以BA ， BC， BB1所在直線為x， y， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A（2 ，0，0），A1（2，0，1），C（0 ，2 ，0 ），C1（0， 2，1），E（ 0，0， 1 ），uuuruuuruuuuruuur2則 AA1 （ 0，0，1）， AC （ 2，2，0）， AC1 （

12、 2，2，1）， AE （ 2，0 ，1）。2uuurz 0設(shè)平面 AA 1C1 C 的一個(gè)法向量為n1·AA10n 1（ x， y， z），則uuur2x2y 0n1·AC 0令 x1 ，得 y 1，n 1 （ 1 ，1 ，0 ）。設(shè) 平 面AEC1的 一個(gè)法向量為n 2 （ x0， y0， z0） ， 則uuuur2x02 y0z00n 2·uuurAC102x01 z00n 2·AE 02,.令 z0 4 ，得 x0 1， y0 1。n 2 （ 1 ， 1 ， 4）。n 1·n2 1×1 1 ×（1 ） 0 ×

13、;4 0 ，n 1 n 2.平面 AEC1平面 AA 1C1C。技巧點(diǎn)撥： 利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑，一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量， 由兩個(gè)法向量垂直， 得面面垂直。 向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系。恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只須經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化” ，降低了思維難度。利用向量解決立體幾何中的探索性問題【滿分訓(xùn)練】 在正方體 ABCD A1 B1 C1 D1 中， E，F(xiàn) 分別是棱 AB ，BC 的中點(diǎn)，棱 BB1 上是否存在一點(diǎn) M ，使

14、得 D1M 平面 EFB1 。思路分析： 設(shè)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)，利用線面垂直列方程組求解。答案：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Dxyz ，設(shè)正方體的棱長為 2 ，則 E（ 2，1 ，0 ），F(xiàn)（1 ，2 ，0），D 1（0，0 ，2 ）， B1（2，2， 2）。uuuruuuruuuuur設(shè) M （ 2 ， 2 ， m ），則 EF （ 1 ，1 ，0 ）， B1E （ 0 ， 1 ， 2 ）， D1M （ 2 ， 2 ， m 2 ）。D1 M 平面 EFB1，D1M EF，D1M B1E，uuuuuruuuruuuuur uuurD1M ·EF 0 且 D1M ·B1E 0

15、，220于是，m 1 。22(m2)0故取 B1 B 的中點(diǎn)為 M 就能滿足 D1 M 平面 EFB1。技巧點(diǎn)撥： 對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件做出判斷，再,.進(jìn)一步論證。 另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)” ，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”。（答題時(shí)間： 40 分鐘）1. （東營高二檢測）已知平面 的法向量為a（1 ，2，2 ），平面 的法向量為b（2 ， 4 ， k ），若 ，則 k（）A. 4B. 4uuurC. 5D. 5uuuruuur2. （青島高二檢測） 若 AB CD CE ，則直線

16、 AB 與平面 CDE 的位置關(guān)系是 （）A. 相交B. 平行uuurC. 在平面內(nèi)D. 平行或在平面內(nèi)uuuruuuruuur uuur3. 已知 AB （ 1， 5， 2 ）， BC （ 3 ， 1 ，z），若 AB BC ， BP （ x 1 ， y，3 ），且 BP平面 ABC，則實(shí)數(shù) x， y， z 分別為（）33，15401540， 2，4D.4，40A.，4B.， 4C.， 157777774. （汕頭模擬）如圖，已知正方體 ABCD-A 1 B1C1 D1 的棱長為 3 ，點(diǎn) E 在 AA 1 上，點(diǎn) F 在 CC1 上，且 AE FC1 1 。（ 1）求證： E，B， F，

17、D1 四點(diǎn)共面；2（ 2）若點(diǎn) G 在 BC 上， BG，點(diǎn) M 在 BB1 上， GM BF，垂足為H，求證： EM3平面 BCC1 B1 。5. 下列命題中，正確的是 _。（填序號） 若 n1，n 2分別是平面 ， 的一個(gè)法向量，則 n 1n 2； 若 n1，n 2分別是平面 ， 的一個(gè)法向量，則 n 1 ·n20 ；,. 若 n 是平面 的一個(gè)法向量，a 與平面 共面，則 n ·a 0 ； 若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直。uuuruuuruuuruuuruuur6. 平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) A，B，C，D，已知（ DB DC 2 DA ）（·

18、 AB AC ） 0 ，則ABC的形狀是三角形。7. 如圖，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD 1， AA13，M是 BC 的中點(diǎn)。在DD 1 上是否存在一點(diǎn)N ，使MNDC 1？并說明理由。8. （衡水調(diào)研卷）如圖所示，在四棱柱 ABCD A 1B1C1D 1 中， A1D 平面 ABCD ，底面 ABCD 是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱 A1 A 2 。（1）證明： AC A1B ；uuuruuur（ 2）是否在棱 A1 A上存在一點(diǎn) P，使得APPA1，且面 AB 1 C1面 PB1 C1 。 ,.1. D 解析： ，ab ，a·b 2 8 2

19、k 0 ，k 5。uuuruuuruuuruuuruuuruuur2. D 解析： AB CD CE ，AB 、 CD 、 CE 共面，則 AB 與平面 CDE 的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)。uuur uuuruuur uuur3. B 解析： AB BC ， AB ·BC 0 ，即 3 5 2 z 0 ，解得 z 4，40uuuruuur uuur uuurx15 y60x7。又BP平面 ABC ，BP AB ，BP BC ，則3 x1y12，解得150y74. 證明：（ 1 ）以 B 為原點(diǎn)，以 BA， BC， BB1 為 x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間 uuur直

20、角坐標(biāo)系B- xyz，則 B（ 0，0 ，0 ），E（ 3 ，0， 1），F(xiàn)（ 0，3 ，2 ），D1（ 3，3 ，3 ），則 BEuuuruuuuruuuuruuuruuur（ 3，0， 1）， BF （ 0， 3， 2）， BD1 （ 3，3， 3），所以 BD1 BE BF 。由向量共面的充要條件知 E， B， F， D1 四點(diǎn)共面。（ 2）設(shè) M （0 ，0 ， z0 ）， G0, 2 ,03，則GM 0,2uuur, z0 ，而 BF （ 0 ， 3 ， 2），3uuur21。故 M（0uuurBF00，0，1 ），有 ME （ 3，由題設(shè)得 GM ·×3 z&#

21、183;2 0 ，得 z30，0）。uuuruuur uuuruuur uuuruuur又 BB1 （ 0，0，3）， BC （ 0，3，0），所以 ME ·BB1 0， ME ·BC 0，從而 ME BB1， ME BC。又 BB1 BC B，故 EM平面 BCC1 B1。5. 解析：一定正確，中兩平面有可能重合。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur6. 等腰解析：（ DB DC 2 DA ）（· AB AC ）（ DB DA DC DA ）·CBuuuruuuruuur（ AB AC ）·CB 0 ，故ABC 為等腰三角形。7. 解：如圖所示， 建立以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD 1 為 z 軸的坐標(biāo)系，則 C1（ 0 ， 2 ， 3），M （ 1 ，2 ，0 ）， D（ 0