小學尖子生訓練之-雞兔同籠問題(三)模塊練習(含答案)

1、教學目標6-1-9.雞兔同籠問題（三）6-1-9.雞兔同籠問題.題庫教師版page 6 of 51,熟悉雞兔同籠的 砍足法”和 假設法”.2.利用雞兔同籠的方法解決一些實際問題，需要把多個對象進行恰當組合以轉化成兩個對象.知識精講這個問題，是我國古代著名趣題之一.大約在 1500年前，孫子算經中就記載了這個有趣的問題.書中是這樣敘述的:今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有 35個頭；從下面數，有 94只腳.求籠中各有幾只雞和兔? 你會解答這個問題嗎？你想知道孫子算經中是如何解答這個問題的嗎？二、解雞兔同籠的基本步驟解

2、答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了 獨腳雞”，每只兔就變成了 雙 腳兔”.這樣，雞和兔的腳的總數就由 94只變成了 47只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數 多1.因此，腳的總只數 47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即 47-35=12 （只）.顯然，雞的只數就是 35-12=23 （只）了。這一思路新穎而奇特，其砍足法”也令古今中外數學家贊嘆不已.除此之外，雞兔同籠”問題的經典思路假設法”.假設法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設法能做到，假設里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數做比 較，做差除二兔找到.解雞兔同籠問題的基本關系式是：如果假設全是兔，

3、那么則有：雞數 =（每只兔子腳數剛兔總數-實際腳數）+ （每只兔子腳數-每只雞的腳數） 兔數=雞兔總數-雞數如果假設全是雞，那么就有：兔數二（實際腳數-每只雞腳數加兔總數）+（每只兔子腳數-每只雞的腳數） 雞數=雞兔總數-兔數 當頭數一樣時，腳的關系：兔子是雞的2倍當腳數一樣時，頭的關系：雞是兔子的2倍在學習的過程中，注重假設法的運用，滲透假設法的重要性，在以后的專題中，如工程，行程，方程等 專題中也都會接觸到假設法刖M蚱 例題精講模塊一、多個量的雞兔同籠”一一雞兔同籠問題【例1有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求

4、蜻蜓有多少只？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 這是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題,觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿,因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數,我們假設三種動物都是 6條腿，則總腿數為618 = 108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的,所以，應有（118-108） + （8-6）=5 （只）蜘蛛,這樣剩下的18-5 =13（只）便是蜻蜓和蟬的只數,再從翅膀數入手，假設 13只都是蟬，則總翅膀 數1父13=13（又）,比實際數少 20-13 = 7（K）,這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們

5、只按一對翅膀計 算所差，這樣蜻蜓只數可求 7 + （2-1）=7（只）.【答案】7只【鞏固】 希望小學的生物標本室里有蜻蜓，蟬，蜘蛛共 11只，它們共有74條腿，10對翅膀，由圖7知該標本室里有只蜘蛛。蜂撕七星據即 I時萼端街8集睡舊 號有建罐【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試，假設思想方法【解析】這個題目就是有三種動物的雞兔同籠問題，需先轉化成兩種動物。蜻蜓與蟬有共同的特征，所以我們可以先把它們看成一種動物， 取名叫蜻蟬。用假設法知：如果這11只全是蜻蟬，則應長腿：11x6=66 （只），比實際少了： 7466=8 （只），用一只蜘蛛去換一只蜻蟬，則就

6、多 2只，要多8只則需要蜘蛛8-2 =4 （只）?！敬鸢浮?只【鞏固】 犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，恰角20只.已知犀牛有4只腳、1只恰角，羚羊有4只腳，2只悟角，孔雀有 2只腳，沒有情角.那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾只呢？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】這道題有三種不同的動物混合在一起，這樣假設起來會比較麻煩，像前面的題一樣，我們可以觀察一下：雖然有三種不同的動物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數，就可以把孔雀與這兩種動物分開，轉化成我們熟悉的雞兔同籠”問題，然后再通過招角的不同，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次

7、雞兔同籠假設26只都是孔雀，那么就有腳：26M2 = 52 （只），比實際的少：80-52=28 （只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊.每增加一只犀?；蛄缪颍?減少一只孔雀，就會增加腳數：4-2=2（只）.所 以，孔雀有26 -28 + 2=12 （只），犀牛和羚羊總共有 26-12=14 （只）.假設14只都是犀牛，那么就有恰角：14M1=14 （只），比實際的少：20-14 = 6 （只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊. 每增加一只羚羊，減少一只犀牛，恰角數就會增加：2-1 = 1 （只），所以，羚羊的只數：6-1=6 （只），犀牛的只數：14-6 = 8 （只）.小

8、結1這道題出現了三種動物，關鍵是尋找不同動物的相同點，把三種動物化為兩類，先使用雞兔同籠”問題的解法把另外特殊的一種區(qū)分出來，再使用另外條件區(qū)分具有相同點的動物.【答案】犀牛8只，羚羊6只，孔雀12只模塊二、多個量的雞兔同籠”變例例2食品店上午賣出每千克為 20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元.已知其中售 出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，則每千克20元的收入：2570-1970

9、=600元, 所以賣出：600-20=30千克，所以賣出每千克 25元和每千克30克的糖果共10030 = 70千克，相 當于將題目轉換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？轉換成了最基本的雞兔同籠問題.假設全是每千克25元的，（1970 25 m 70廣（30 25 ,44 （千克），所以30元的是44千克，所以25元的有：70-44=26 （千克） 關鍵：將三種以及更多的動物 /東西，轉化為兩種最基本模型。即：抓住轉化后的頭“與 腳”?！敬鸢浮?6千克【鞏固】08年春，我國南方遭受到重大雪災，實驗小學三年級一班的42名同學

10、給南方的災區(qū)捐款 450元。其中有12名同學每人捐5元，其他同學捐10元或20元，則捐10元的有 名，捐20元的有名?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第8題，假設思想方法【解析】由題意，42 -12=30 （名）同學捐10元或20元，一共捐了 450-125 = 390 （元），那么捐20元的同 學有：（390 10X30）+（20 10）=9 （人）,捐 10元的有：30 9=21 （名）?！敬鸢浮?1名【例3】某場足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共 400張，甲類票50元/張，乙類票 40元/張，丙類票 30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙

11、類門票張數相同.則甲類、乙類、丙類門票分別售出多 少張？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 14題【解析】雞兔同籠問題，乙類、丙類門票張數相同，則可以看成價格為35元/張的同一類門票.容易得到甲類門票售出 400- （50? 400 15500）? （50 35） = 100 張，乙類、丙類各售出（400 -100） 2=150 張.【答案】甲門票售出100張，乙和丙售出150張【例4有紅、黃、綠3種顏色的卡片共有100張，其中紅色卡片的兩面上分別寫有1和2,黃色卡片的兩面上分別寫著1和3,綠色卡片的兩面上分別寫著2和3.現在把這些卡片放在桌子上，讓

12、每張卡片寫有較大數字的那面朝上，經計算，各卡片上所顯示的數字之和為234 .若把所有卡片正反面翻轉一下，各卡片所顯示的數字之和則變成123.問黃色卡片有多少張？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 開始的時候，黃色和綠色的卡片上都是 3,紅色卡片上是2 .如果全部是紅色卡片， 那么數字之和為：2 “00=200,比實際的少：234-200 = 34.每增加一張黃色或綠色卡片，那么數字就會增加：3-2=1.那么，黃色和綠色卡片之和：34+1=34 （張），紅色卡片有：100-34=66 （張）.翻轉過來后，紅色和黃色卡片上都是 1,綠色卡片上是2.紅色卡片有

13、66張，剩下的綠色和黃色卡片 上的數字之和為：123-1 x66=57.如果34張卡片都是黃色的，那么這 34張卡片上的數字之和為： 1x34 =34,比實際的少：5734=23.每增加一張綠色卡片，數字之和就會增加：2-1=1,所以,綠色卡片有：23+1 =23 （張），黃色卡片有：3423=11 （張）.【答案】11張例5商店出售大，中,小氣球，大球每個3元，中球每個1.5元，小球每個1元.張老師用120元共買了 55個球, 其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】因為總錢數是整數，大，小球的價錢也

14、都是整數，所以買中球的錢數是整數，而且還是3的整數倍.我們設想買中球 ，小球錢中各出3元.就可買2個中球，3個小球.因此，可以把這兩種球看作一種，每個價錢是（1.5 >2+1X3）x2+3）=1.2（元）.從公式可算出，大球個數是（120-1.2 X55） Y3-1.2）=30（個）.買中，小球錢數各是（120-30 X3）e=15（元）.可買10個中球，15個小球.【答案】大球30個，中球10個。小球15個【例6】從甲地至乙地全長 45千米，有上坡路，平路，下坡路.李強上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時 5千米，下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地，李強行走了10小時；從乙地到

15、甲地;李強行走了11小時.問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米【考點】雞兔同籠問題【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】把來回路程45X2=90（千米）算作全程.去時上坡，回來是下坡；去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程，根據例15,平均速度是每小時4千米.現在形成一個非常簡單的"雞兔同籠"問題.頭數10+11=21，總腳數90,雞，兔腳數分別是4和5.因此平路所用時間是 （90-4浸1）升5-4）=6（小時）.單程平路行走時間是6攵=3（小時）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時）行走路程是45-5 >

16、;3=30（千米）.又是一個"雞兔同籠"問題.從甲地至乙地，上坡行走的時間是（6 X7-30）Y6-3）=4（小時）.行走路程是3X4=12（千米）.下坡行走的時間是7-4=3（小時）.行走路程是 6X3=18（千米）.【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.【例7】在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共 22道.選擇題和填空題每題 4分，解答題每題10分.這次考試總分是 100分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多4分，這次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法，希望杯【解析】 選

17、擇題和填空題的分值一樣，可以歸為一類。如果這次考試的22道題全是解答題，則總分應是：22x10=220（分），但實際總分是100分，所以選擇題和填空題共有：（220100）。（10 4） =20 （道）,解答題有：22 20=2（道）.選擇題比填空題少：2x104=16（分），選擇題有：（1002x1016） +2+4 =8（道），填空題有：208 =12（道）.【答案】選擇題8題，填空題12題，解答題2題【例8】某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎.獎金有三種：一等獎1000元,二等獎250元,三等獎50元.共有100人中獎，獎金總額為9500元.問二等獎有多少名？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【

18、題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】 假設全是三等獎，共有： 9500/50=190 （人）中獎，比實際多：190-100=90 （人）1000/50=20,也就是說：把20個三等獎?chuàng)Q成一個一等獎，獎金總額不變，而人數減少了： 20-1=19 （人）250/50=5,也就是說：把5個三等獎?chuàng)Q成一個二等獎，獎金總額不變，而人數減少了：5-1=4 （人）。因為多出的是90人，而：90=19*2+4*13.即：要使總人數為 100,只需要把20*2=40個三等獎?chuàng)Q成2個一等 獎，把5*13=65個三等獎?chuàng)Q成13個二等獎就可以了。所以，二等獎有13個人。【答案】13【鞏固】 有50位同學前往參觀，

19、乘電車前往每人1.2元，乘小巴前往每人 4元,乘地下鐵路前往每人 6元.這些同 學共用了車費110元，問其中乘小巴的同學有多少位？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】由于總錢數110元是整數，小巴和地鐵票也都是整數，因此乘電車前往的人數一定是5的整數倍.如果有30人乘電車，110-1.2 30=74（元）.還余下50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠.說明假設的乘電車人數少了.如果有40人乘電車 110-1.2沖0=62（元）.還余下50-40=10（人）都乘地下鐵路前往，錢還有多（62>6M0）.說明假設的乘電車人數又多了.30至40之間，只有35

20、是5的整數倍.現在又可以轉化成"雞兔同籠”了：總頭數 50-35=15,總腳數 110-1.2超5=68.因此,乘小巴前往白勺人數是（6 X15-68）6-4）=11.【答案】11【例9】學校組織新年游藝晚會，用于獎品的鉛筆，圓珠筆和鋼筆共 232支,共花了 300元.其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】從條件"鉛筆數量是圓珠筆的4倍”,這兩種筆可并成一種筆，四支鉛筆和一支圓珠筆成一組這一組的筆，每支價格算作（0.60 M+2.

21、7）與=1.02（元）.現在轉化成價格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出，鋼筆支數是（300-1.02 X232）6.3-1.02）=12（支）.鉛筆和圓珠筆共 232-12=220（支）.其中圓珠筆2204+1）=44（支）.鉛筆 220-44=176（支）.【答案】鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支【例10】某次考試有52人參加，共考5道題，每題做錯人數的統(tǒng)計表如下圖.題號/Q二四/五一做錯人數:4-6口10.20-39 a還知道每人都至少做對 1道題，做對1道題的有7人，5道題全對的有6人，做對2道題和3道題 的人數一樣多.那么做對4道題的人數是多

22、少？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】總共答對了： 52x5 （4+6+10+20+30） =190道題，做對2、3、4道題的人總共有：52 76=39 人，這39人總共答對了：190 7x15父6=153道題.可假設做對 2道題的有1人，假設出錯量：2M1+3M1 + （39 2）x4 153+ （4x2 -2-3） =0 ,所以假設正確，對二、三道題的各1人，對4道題的37人.難點：給的是做錯題的表，而條件給的是做對的條件?！敬鸢浮?7人【鞏固】 某次數學考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對 1道題，做對1道的有7 人,5道全對的有6人，做對2道和3道的人數一樣多，那么做對4道的人數有多少人？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】假設思想方法【解析】對2道,3道,4道題的人共有52-7-6=39（人）.他