帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時(shí)，發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進(jìn)入有邊界的磁場，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，如帶電粒子恰好不能從某個(gè) 邊界射出磁場，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、 半徑、在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 等。如何分析這類相關(guān)的問題是本文所討論的內(nèi)容。、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的分析方法1 .圓心的確定因?yàn)槁鍌惼澚指向圓心，根據(jù)F丄v，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一 般是射入和射出磁場兩點(diǎn)），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個(gè) 洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點(diǎn)

2、即為圓心，或利用圓心位置必定 在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。團(tuán)12 .半徑的確定和計(jì)算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：粒子速度的偏向角©等于轉(zhuǎn)過的圓心角a并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）B的2倍，如圖2所示，即©二a=2 9o相對(duì)的弦切角B相等，與相鄰的弦切角互補(bǔ)，即3+ 9= 1803 粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定若要計(jì)算轉(zhuǎn)過任一段圓弧所用的時(shí)間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對(duì)的圓 心角，利用圓心角a與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360。計(jì)算出圓t = 7心角a勺大小，并由表達(dá)式，確定通過該段圓弧

3、所用的時(shí)間，其中 t即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時(shí)間 t越長，注意t與運(yùn) 動(dòng)軌跡的長短無關(guān)。4 帶電粒子在兩種典型有界磁場中運(yùn)動(dòng)情況的分析穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長 線）。團(tuán)3a、帶電粒子在穿過磁場時(shí)的偏向角由 sin 0= L/R求出；（B、L和R見圖標(biāo)）b、帶電粒子的側(cè)移由R2= L2- （R-y） 2解出；（y見所圖標(biāo)）廉8i = _、C、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。a、求出；（0、r和R見圖標(biāo)）土 -哎b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時(shí)間由得出、帶電粒

4、子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)類型的分析1 .給定有界磁場（1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點(diǎn)或其它【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻 強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B。一帶正電的 粒子以速度vo從0點(diǎn)射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為0 若粒子射出磁場時(shí)的位置與0點(diǎn)的距離為I，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m0B團(tuán)5解析：帶正電粒子射入磁場后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖 6 所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場，0、A間的距離為I，射出時(shí)速度的大小仍 為vo，射出方向與x軸的夾角仍為0。由洛侖茲力公式和牛

5、頓定律可得，（式中R為圓軌道的半徑）解得R=mv o/qB圓軌道的圓心位于0A的中垂線上，由幾何關(guān)系可得1/2= Rsin 0聯(lián)立、兩式，解得點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)， 求該粒子的 電量和質(zhì)量之比，也可以倒過來分析，求出射點(diǎn)的位置。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn) 是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。(2) 確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍【例2】如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的長為 L,寬為L/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度 為B,質(zhì)量為m，電荷量為e的電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使 該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v的取值范圍？解析：（1）帶電粒子射入

6、磁場后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑Ri=L/4，再由 Ri=mv i/eB，得eBL巧=4巾當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑 R2滿足丘冷斗（舟-2 ，即 R2=5L/4，再由 R2=mv 2/eB，得泗L片=4朋S電子速率V的取值范圍為：。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向， 由于入射速 度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變 化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖， 再根據(jù)幾何關(guān)系 確定對(duì)應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。（3）

7、確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍【例3】（2004年廣東省咼考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場， 磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B=0. 60T，磁場內(nèi)有一塊平面感 光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l= 16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的a放 射源S,它向各個(gè)方向發(fā)射a粒子，a粒子的速度都是V=3 0Xl06m/s，已知a 粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m= 5. 0 xi07c/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的a 粒子，求ab上被a粒子打中的區(qū)域的長度。XXXX XXXXXXXx；xXX八XXXXXXXKXxXKXXXxXXX乂覺址xyyXX.X料迖XXXXX

8、XXX xXXX解析：a粒子帶正電，故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用 R表示軌道半徑，有qvB=mv 2/R，由此得 R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。F】AT H團(tuán)9可見，2R>I>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過 S， 由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是a粒子能打中 的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距 離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與 ab的交點(diǎn)即為P1。再考慮N的右側(cè)。任何a粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R,以2R為半徑、S為圓心作圓，

9、交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。 由圖中幾何關(guān)系得所求長度為PiP2=NP i+NP 2，代入數(shù)值得PiP2=20cm 。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌 跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子 運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確 定對(duì)應(yīng)的出射范圍。2 .給定動(dòng)態(tài)有界磁場（1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點(diǎn)的位置【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點(diǎn) 0為圓心、半徑為r的 圓形區(qū)域內(nèi)，存在

10、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖10所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場邊界與 x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x 方向射入磁場，恰好從磁場邊界與 y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。>CXV Xxx；x XX J圍L0（1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷 q/m ；（2） 若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽',該 粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了 60。角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B'多大？此次粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多 少？解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷如圖11所

11、示，粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了 90。，則 粒子軌跡半徑r=R，又= as J?則粒子的荷質(zhì)比為工- 0（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場速度方向改變了 60。角故AD弧所對(duì)圓心角60粒子在磁場中飛行時(shí)間：點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變），從而改變了該粒 子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問題時(shí) 重點(diǎn)是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定 對(duì)應(yīng)的出射點(diǎn)的位置。（2）確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動(dòng)態(tài)有界磁場的邊界位置【例5】（199

12、4年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為 m， 電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū) 域o為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)?地方加一個(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一 個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。6qjr圈 12解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，qvB= （ Mv2）/R，得 R=（ MV）/（ qB ）。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于 R的圓上的1/4圓周，這 段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點(diǎn)作平行于x軸的

13、直線，過b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距 R的0 '點(diǎn) 就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場區(qū)域中的軌道就是以 0 '為圓心、R為半徑的圓（圖 中虛線圓）上的圓弧 MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上。團(tuán)13在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以 MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：所求磁場區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但磁場區(qū)域在改變），從而 改變了該粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖， 導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理 這類問題

14、時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子 運(yùn)動(dòng)軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場， 若僅受洛侖茲力作用 時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌 跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難?！眷柟叹毩?xí)】不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可哪個(gè)圖是正確的?1.（2005年理綜I）如圖14所示，在一水平放置的平板 MN的上方有勻 強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B,磁場方向垂直于紙面向

15、里。許多質(zhì)量為 m帶 電量為+ q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁 場區(qū)域。不計(jì)重力， 能經(jīng)過的區(qū)域，其中XMOV圖14抵 ORB.C.答案：A2 .（1999年全國高考試題）如圖15所示中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向 垂直紙面向外是MN上的一點(diǎn)，從0點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為 m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向已知先后射入 的兩個(gè)粒子恰好在磁場中給定的 P點(diǎn)相遇，P到0的距離為L不計(jì)重力及粒子 間的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；（2）求這兩個(gè)粒子從0點(diǎn)射入磁場的時(shí)間間隔。答案：（1）R=mv/qB ；（ 2） =4marcco s（ LqB/2mv）/qB。3.（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P （0，a）點(diǎn)以初速度vo平行于x軸射出，為