前面用微擾法計(jì)算過類氫原子的能級(jí)

1、 前面用微擾法計(jì)算過類氫原子的能級(jí)，實(shí)際上，不考慮電子自旋時(shí)，也可以用微擾論計(jì)算氦原子基態(tài)能級(jí)而考慮自旋后，則用微擾法計(jì)算基基態(tài)和激發(fā)態(tài)能級(jí)。本節(jié)討論用微擾法處理氦原子問題。給出處于基基態(tài)和激發(fā)態(tài)的一般方法。一氦原子的哈密短算符。氦原子（或類氦離子）的核帶電荷2e，核外有兩個(gè)電子以He核為坐標(biāo)原點(diǎn)，以表示兩電子的坐標(biāo)和自旋。則He原子的哈密頓算符為：為兩電子間的距離。中不含自旋變量，（它僅對(duì)空間部分有作用）所以，可將氦原子定態(tài)波函數(shù)寫成：二基態(tài)能級(jí)的結(jié)果將上述哈密頓算符改寫成：所以是兩個(gè)類氫原子的哈密頓算符之和。而已知，類氫原子的哈密頓算符：的本征值方程得本征值為：1.零級(jí)近似：為第一Bohr

2、軌道半徑。He原子基態(tài)的零級(jí)近似，是指兩個(gè)電子在不考慮它們的相互作用的情況下，都處在上述所表示的基態(tài)，即能量最低的1s 狀態(tài)：。這時(shí)，在無相互作用的表象中，系統(tǒng)的零級(jí)態(tài)函數(shù)應(yīng)當(dāng)寫成：它滿足本征值方程：其本征值等于系統(tǒng)的零級(jí)能量值即：顯然上述是對(duì)兩個(gè)粒子交換對(duì)稱的。因電子是Fermi子，雙電子系統(tǒng)總的態(tài)函數(shù)應(yīng)是反對(duì)稱的。反對(duì)稱態(tài)函數(shù)可以由上述空間坐標(biāo)的對(duì)稱態(tài)函數(shù)乘以兩個(gè)電子體系的反對(duì)稱自旋函數(shù)（即屬于自旋單態(tài)）即這時(shí)，完整的歸一化零級(jí)態(tài)函數(shù)為：注意：一個(gè)算符作用在這種函數(shù)上的結(jié)果如作業(yè)中7.5題。由知，這里的兩個(gè)電子的相互作用是交換對(duì)稱的，所以，考慮這種相互作用后，不會(huì)改變零階態(tài)函數(shù)的上述交換對(duì)

3、稱性。所以，最后得出的氦原子的基態(tài)也應(yīng)是總自旋的單態(tài)。2、一級(jí)近似因上述系統(tǒng)哈密頓算符不含自旋，所以，在微擾論的計(jì)算中不必寫出自旋函數(shù)。于是，能量的一級(jí)修真值為：所以，氦原子的近似到一級(jí)的基態(tài)能量三，激發(fā)態(tài)能級(jí)的計(jì)算為簡(jiǎn)單明確起見，主要處理氦原子中有一個(gè)電子處于1s單電子狀態(tài)，另一個(gè)電子處于ns單電子狀態(tài)，（n>1相當(dāng)于書中，但比書中更明確簡(jiǎn)單，因現(xiàn)明確兩個(gè)電子均處于S態(tài)，中，均有）此時(shí)，在坐標(biāo)空間中相應(yīng)的交換對(duì)稱和交換反對(duì)稱的雙電子系統(tǒng)態(tài)函數(shù)為：顯然，這兩個(gè)態(tài)函數(shù)均滿足下方程：所以，和都是無微擾時(shí)的的同屬于一個(gè)本征值的簡(jiǎn)并本征函數(shù)。進(jìn)一步，因電子是Fermi子，完整的態(tài)函數(shù)應(yīng)是：同理，因的交換對(duì)稱性，考慮了的作用后，不會(huì)改變上述零階態(tài)函數(shù)的交換對(duì)稱性。因不含自旋，用微擾論計(jì)算時(shí)，不必考慮自旋函數(shù)。于是對(duì)于對(duì)稱的零階態(tài)函數(shù)，按微擾論公式，相應(yīng)的一級(jí)能量修正是：因的交換對(duì)稱性，上式中第一項(xiàng)與第二項(xiàng)相等，全為K，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)相等，全為J。則，于是，得到坐標(biāo)空間的對(duì)稱態(tài)和反對(duì)稱態(tài)的準(zhǔn)確到一級(jí)的能級(jí)是：按經(jīng)典物理的觀點(diǎn)，積分K 好像是對(duì)處于處的電荷密度與處于處的電荷密度之間的兩個(gè)點(diǎn)狀電子的庫(kù)倫相互作用。但對(duì)J的積分，無法用經(jīng)典解釋。從和可以看出，為了得到具有確定的交換對(duì)稱性的雙電子系統(tǒng)函數(shù)，要吧不同單粒子的本征態(tài)（的乘積）適當(dāng)?shù)氐悠饋?，積分J