數(shù)值計(jì)算學(xué)習(xí)報(bào)告

1、 高斯消元法研究與思考第一章高斯消元法描述1、高斯消元法的相關(guān)概念在自然科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問(wèn)題可歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組的問(wèn)題,線性方程組求解是科學(xué)計(jì)算中最常遇到的問(wèn)題。如在應(yīng)力分析、電路分析、分子結(jié)構(gòu)、測(cè)量學(xué)中都會(huì)遇到解線性方程組問(wèn)題。在很多廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法中，如三次樣條、最小二乘法、微分方程邊值問(wèn)題的差分法與有限元法也都涉及到求解線性方程組。直接法是在沒(méi)有舍入誤差的情況下，通過(guò)有限步四則運(yùn)算來(lái)求的方程組精確解的方法。直接法基本方法是高斯消元法，其改進(jìn)方法包括高斯列主元消去法，三角分解法，追趕法等的基本思想和原理。高斯消去法（Gauss Elimination Metho

2、d）是一種規(guī)則化的加減消元法?；舅枷胧峭ㄟ^(guò)逐次消元計(jì)算把需要求解的線性方程組轉(zhuǎn)化為上三角形方程組，即把線性方程組的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，從而使一般線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為等價(jià)(同解)的上三角形方程組的求解。1.1 Gauss消去法的計(jì)算過(guò)程通過(guò)一系列的加減消元運(yùn)算，也就是代數(shù)中的加減消去法，以使A對(duì)角線以下的元素化為零，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量?，F(xiàn)舉例說(shuō)明如下： 1.1.1消元過(guò)程第一步：將(1)/3使x1的系數(shù)化為1,再將(2)、(3)式中x1的系數(shù)都化為零，即由(2)-2×(1)(1)得 由(3)-4×(1)(1)得 第二步：將(2)(1

3、)除以2/3，使x2系數(shù)化為1，得再將(3)(1)式中x2系數(shù)化為零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得第三步：將(3)(2)除以18/3，使x3系數(shù)化為1，得經(jīng)消元后，得到如下三角代數(shù)方程組：1.1.2回代過(guò)程 由(3)(3)得 x3=1,將x3代入(2)(2)得x2=-2,將x2 、x3代入(1)(1)得x2=1,所以，本題解為x=1,2,-1T 1.1.3 用矩陣演示進(jìn)行消元過(guò)程第一步： 先將方程寫(xiě)成增廣矩陣的形式第二步：然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換第三步：將增廣矩陣變換成上三角矩陣，主對(duì)角線全為1，左下三角矩陣全為0.即原方程組被等價(jià)轉(zhuǎn)化成為上三角方程組，然后，逐步回代得原

4、方程組的解即可。1.1.4高斯消元的公式綜合以上討論，不難看出，高斯消元法解方程組的公式為第一步，消元（1） 令 （2） 對(duì)k=1到n-1，若akk(k)0，進(jìn)行 第二步，回代 若 2、高斯消元法的運(yùn)算量由公式，可得出消去過(guò)程的第步共含有除法運(yùn)算次，乘法和減法運(yùn)算各次，所以消去過(guò)程共含有乘除法次數(shù)為含加減法次數(shù)為 而回代過(guò)程含乘除法次數(shù)為，加減法次數(shù)為，所以Gauss消去法總的乘除法次數(shù)為，加減法次數(shù)為2、 高斯消元法的相關(guān)問(wèn)題1. 為什么說(shuō)高斯消元法是中國(guó)古法？2. 哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說(shuō)平方根法計(jì)算穩(wěn)定？3. 什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？4. 何為向

5、量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。5. 何為矩陣范數(shù)?6.高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax=b有何不同？A要滿足什么條件？3、 高斯消元法的相關(guān)理論3.1.特征值和特征向量設(shè)A是一個(gè)n´n階實(shí)矩陣，若對(duì)于數(shù)l，存在非零向量x，使得Ax=lx成立。則稱l是A的特征值(Characteristic Value)，x為A的對(duì)應(yīng)于l的特征向量(Characteristic Vector)。3.2 向量和矩陣 用表示全部實(shí)矩陣的向量空間,表示全部復(fù)矩陣的向量空間.（稱為m行n列矩陣）.（稱為n維列向量） ,其中 為A的第列.同理 ,其中 為A的第行. 矩陣基本運(yùn)算: (1)

6、矩陣加法 . (2)矩陣與標(biāo)量的乘法 . (3)矩陣與矩陣的乘法 . （4）單位矩陣 ,其中3.3 特殊矩陣設(shè),則有A為:(1)對(duì)角矩陣 如果當(dāng)時(shí),;(2)三對(duì)角矩陣 如果當(dāng);(3)上三角矩陣 如果當(dāng);(4)對(duì)稱矩陣 如果;(5)正定矩陣 如果設(shè)A是n階實(shí)系數(shù)對(duì)稱矩陣, 如果對(duì)任何非零向量 都有,就稱A正定.四、高斯消元法國(guó)外研究進(jìn)展十幾年來(lái)直接法在求解具有較大型稀疏矩陣方程組方面取得了較大進(jìn)展。關(guān)于三對(duì)角線性方程組的直接求解已經(jīng)有大量并行算法, 其中Wang 的分裂法是最早針對(duì)實(shí)際硬件環(huán)境, 基于分治策略提出的并行算法。它不僅通信結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單, 容易推廣到一般帶狀線性方程組的并行求解, 而且為相

7、繼出現(xiàn)的許多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。近20 年來(lái)求解三對(duì)角方程組的并行算法都是基于分治策略, 即通過(guò)將三對(duì)角方程組分解成P 個(gè)小規(guī)模問(wèn)題, 求解這P個(gè)小規(guī)模問(wèn)題, 再將這些解結(jié)合起來(lái)得到原三對(duì)角方程組的解。一般求解三對(duì)角方程組的分治方法的計(jì)算過(guò)程可分為3個(gè)階段: 一是消去, 每臺(tái)處理機(jī)對(duì)子系統(tǒng)消元; 二是求解縮減系統(tǒng)( 需要通信) ; 三是回代, 將縮減系統(tǒng)的解回代到每個(gè)子系統(tǒng), 求出最終結(jié)果。具體可分為以下幾類:（一) 遞推耦合算法(Recurs ive Doubling)由Stone 于1975 年提出, 算法巧妙地把LU 分解方法的時(shí)序性很強(qiáng)的遞推計(jì)算轉(zhuǎn)化為遞推倍增并行計(jì)算

8、。D.J.Evans對(duì)此方法做了大量研究。P.Dubois 和G.Rodrigue 的研究表明Stone 算法是不穩(wěn)定的。（二) 循環(huán)約化方法(Cyclic Reduction)循環(huán)約化方法由Hockey 和G.Golub 在1965 年提出, 其基本思想是每次迭代將偶數(shù)編號(hào)方程中的奇變量消去, 只剩下偶變量, 問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求解僅由偶變量組成的規(guī)模減半的新三對(duì)角方程組。求解該新方程組, 得到所有的偶變量后, 再回代求解所有的奇變量。即約化和回代過(guò)程。由于其基本的算術(shù)操作可以向量化, 適合于向量機(jī)。此方法有大量學(xué)者進(jìn)行研究,提出了許多改進(jìn)的方法。例如, Heller 針對(duì)最后幾步的短向量操作提出了

9、不完全循環(huán)約化方法; R.Reulter 結(jié)合IBM3090VF向量機(jī)的特點(diǎn)提出了局部循環(huán)約化法; P.Amodio 針對(duì)分布式系統(tǒng)的特點(diǎn)改進(jìn)了循環(huán)約化方法; 最近針對(duì)此方法又提出對(duì)三對(duì)角方程組進(jìn)行更大約化步的交替迭代策略。（三) 基于矩陣乘分解算法將系數(shù)矩陣A 分解成A=FT, 方程Ax=b 化為Fy=b 和Tx=y兩個(gè)方程組的并行求解。這種算法又可以分為兩類:1.重疊分解。如Wang 的分裂法及其改進(jìn)算法就屬于這一類。P.Amodio 在1993 年對(duì)這類算法進(jìn)行了很好的總結(jié), 用本地LU、本地LUD 和本地循環(huán)約化法求解, 并在1995 年提出基于矩陣乘分解的并行QR 算法。H.Mich

10、ielse 和A.Van derVorst改變Wang 算法的消元次序, 提出了通信量減少的算法。李曉梅等將H.Michielse 和A.Van der Vorst 算法中的通信模式從單向串行改為雙向并行, 提出DPP 算法, 是目前最好的三對(duì)角方程組分布式算法之一。2000 年駱志剛等中依據(jù)DPP 算法, 利用計(jì)算與通信重疊技術(shù), 減少處理機(jī)空閑時(shí)間取得了更好的并行效果。此類算法要求解P- 1 階縮減系統(tǒng)。2.不重疊分解。例如Lawrie & Sameh 算法、Johsoon 算法、Baron 算法、Chawla 在1991 年提出的WZ 分解算法以及Mattor在1995

11、年提出的算法都屬于這一類。此類算法要求解2P-2 階縮減系統(tǒng)。( 四) 基于矩陣和分解算法將系數(shù)矩陣分解成A=A0+DA, 這類算法的共同特點(diǎn)是利用Sherman & Morrison 公式將和的逆化為子矩陣逆的和。按矩陣分解方法, 這種算法又可分為兩類:1.重疊分解。這類算法首先由Mehrmann 在1990 年提出,通過(guò)選擇好的分解在計(jì)算過(guò)程中保持原方程組系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性, 具有好的數(shù)值穩(wěn)定性, 需要求解P- 1 階縮減系統(tǒng)。2.不重疊分解。Sun 等在1992 年提出的并行劃分LU 算法PPT 算法和并行對(duì)角占優(yōu)算法PDD 算法均屬于這一類。需要求解2P- 2 階縮減系

12、統(tǒng)。其中PDD 算法的通訊時(shí)間不隨處理機(jī)的變化而變化, 具有很好的可擴(kuò)展性。X.H.Sun 和W.Zhang在2002 年提出了兩層混合并行方法PTH , 其基本思想是在PDD 中嵌入一個(gè)內(nèi)層三對(duì)角解法以形成一個(gè)兩層的并行, 基本算法是PDD, 三對(duì)角系統(tǒng)首先基于PDD 分解。PTH 算法也具有很好的可擴(kuò)展性。5、 高斯消元法國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀1、 并行求解三對(duì)角系統(tǒng)的直接解法李曉梅等將H.Michielse 和A.Van der Vorst 算法中的通信模式從單向串行改為雙向并行, 提出DPP 算法, 是目前最好的三對(duì)角方程組分布式算法之一。2000 年駱志剛等中依據(jù)DPP 算法, 利用計(jì)算與通信

13、重疊技術(shù), 減少處理機(jī)空閑時(shí)間取得了更好的并行效果。此類算法要求解P-1 階縮減系統(tǒng)。2、病態(tài)線性方程組解法研究病態(tài)線性方程組解法的研究是數(shù)值計(jì)算研究的一個(gè)重要課題.通過(guò)分析病態(tài)線性方程組的特點(diǎn)和成因的基礎(chǔ)上,對(duì)一些傳統(tǒng)的算法進(jìn)行了改進(jìn),給出了加權(quán)迭代改善法和PSD-PCG法.其改進(jìn)效果不僅在理論上得到了證明,且同時(shí)由幾個(gè)典型的數(shù)值試驗(yàn)得到了驗(yàn)證.3、解循環(huán)三對(duì)角線性方程組的追趕法循環(huán)三對(duì)角、循環(huán)Toeplitz三對(duì)角線性方程組的求解在科學(xué)與工程計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用. 運(yùn)用矩陣分解給出此類方程組的直接解法; 通過(guò)分析其特性, 給出了達(dá)到機(jī)器精度的截?cái)嗨惴? 其計(jì)算復(fù)雜度幾乎等同于求解一個(gè)三對(duì)角

14、線性方程組的計(jì)算復(fù)雜度. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與理論分析的結(jié)果十分吻合. 該算法還推廣到求解擬三對(duì)角線性方程組.4、基于矩陣分解的周期塊三對(duì)角線性方程組的并行直接解法提出了分布式環(huán)境下求解周期塊三對(duì)角線性方程組的一種并行算法該算法充分利用系 數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的特殊性，通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分解及近似處理，使算法只在相鄰處理機(jī)間通信2次，并從理論上給出了算法有效的一個(gè)充分條件最后，在HP rx2600集群上進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，結(jié)果表明，實(shí)算與理論是一致的，并行性也很好5、病態(tài)線性方程組的新解法：誤差轉(zhuǎn)移法提出了一種求解病態(tài)線性方程組的簡(jiǎn)便有效的新算法，它的主要思想是將直接求解法中的計(jì)算誤差轉(zhuǎn)移到一個(gè)中間量上，從

15、而使得最終解獲得很好的精度，因此可極大地緩解一般算法條件預(yù)優(yōu)的困難以及病態(tài)方程組的求解難度。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明，算法對(duì)極其病態(tài)的線性方程組也可獲得較好的精度和穩(wěn)定性。6、塊三對(duì)角線性方程組的并行直接解法提出了分布式環(huán)境下求解塊三對(duì)角線性方程組的一種并行算法,該算法充分利用系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)的特殊性,通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分解及近似處理,使算法只在相鄰處理機(jī)間通信兩次.并從理論上給出了算法有效的一個(gè)充分條件.最后,在HPrx2600集群上進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,實(shí)算與理論是一致的,并行性也很好.第二章 算法研究一、高斯消元法方法有多少1. 高斯消元法及其改進(jìn)法1、高斯消元法 高斯消元法，又稱高斯消去

16、法。是線性方程組直接解法的基本法。2、列主元Gauss消去法列主元素消去法是為控制舍入誤差而提出來(lái)的一種算法,在高斯消去法的消元過(guò)程中,若出現(xiàn)a=0,則消元無(wú)法進(jìn)行,即使其不為0,但很小,把它作為除數(shù),就會(huì)導(dǎo)致其他元素量級(jí)的巨大增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散,最后使計(jì)算結(jié)果不可靠.使用列主元素消去法計(jì)算,基本上能控制舍入誤差的影響,并且選主元素比較方便。3、 直接三角分解法 回顧高斯消元法的實(shí)質(zhì),是經(jīng)過(guò)一系列的初等變換,將方陣A分解為下三角矩陣L與上三角矩陣U的乘積 A=LU,這里 , , .對(duì)系數(shù)矩陣一旦實(shí)現(xiàn)了這種三角分解(稱為L(zhǎng)U分解),那么此方程組就可寫(xiě)為等價(jià)形式于是,容易先解出y,再求出x.4、

17、三對(duì)角方程組的追趕法應(yīng)用有限元法解結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，最后歸結(jié)為求解線性方程組，系數(shù)矩陣大多具有正定性質(zhì)。所謂平方根法，就是利用對(duì)稱正定矩陣的三角分解而得到的求解對(duì)稱正定方程組的一種有效方法，目前在計(jì)算機(jī)上廣泛應(yīng)用平方根法解此類方程組。5、 改進(jìn)的平方根法 在許多應(yīng)用中，欲求解的線性方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的.所謂平方根法，就是利用對(duì)稱正定矩陣的三角分解而得到的求解具有對(duì)稱正定矩陣的線性方程組的一中有效方法。2. 經(jīng)典的高斯消元法經(jīng)典的線性方程組的直接解法是高斯消去法，這是國(guó)際上的通用稱呼，以數(shù)學(xué)家高斯命名，大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算問(wèn)題。但高斯消去

18、法實(shí)是中國(guó)古法，早在公元一世紀(jì)時(shí)我國(guó)東漢初年成書(shū)的九章算術(shù)中已具雛形，至遲在公元263年我國(guó)三國(guó)時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽在注解九章算術(shù)時(shí)已經(jīng)完成，并經(jīng)我國(guó)歷朝歷代的數(shù)學(xué)家們沿用至今。目前，高斯消元法以及有它改進(jìn)、變形得到的選主元素消去法、三角分解法仍然是常用的有效方法。二、高斯消元法及其改進(jìn)法方法比較1. 高斯消元法的優(yōu)缺點(diǎn)分析1. 線性方程組的直接解法及其應(yīng)用的優(yōu)缺點(diǎn)分析(1) 高斯消去法優(yōu)點(diǎn)：可以預(yù)先估計(jì)工作量。數(shù)據(jù)空間為系數(shù)矩陣、解向量、與常數(shù)向量所占的存儲(chǔ)空間，而所需要的額外空間與數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)。缺點(diǎn)：利用高斯消去法進(jìn)行消元時(shí)，消元過(guò)程能進(jìn)行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為零。對(duì)于

19、良態(tài)問(wèn)題，高斯消去法也可能給出很壞的結(jié)果，這說(shuō)明高斯消去法的算法很不穩(wěn)定。事實(shí)上，一般的矩陣都是病態(tài)矩陣，采用高斯消去法一般也不能得到滿意的結(jié)果。(2) 列主元消去法優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)在于沒(méi)有增加求解過(guò)程的運(yùn)算量，但大大減小誤差.缺點(diǎn)：經(jīng)過(guò)列選主元后，其計(jì)算過(guò)程還是不穩(wěn)定的，不適于求解大規(guī)模的線性方程組。(3) 直接三角分解法優(yōu)點(diǎn)：直接三角分解法的優(yōu)點(diǎn)在于它的精度比高斯消元法高。缺點(diǎn)：矩陣A可以進(jìn)行三角分解是有條件的，它要求A為方陣且A的所有順序主子式均不等于零。(4) 平方根法 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算量為a3次乘除法，約為一般高斯消去法的一半。 數(shù)值穩(wěn)定。 存貯量少，可只存貯對(duì)角線以下元素。缺點(diǎn)：平方根法的缺點(diǎn)

20、是需要n個(gè)開(kāi)方運(yùn)算。(5) 追趕法優(yōu)點(diǎn)：追趕法的計(jì)算量是比較小的，追趕法計(jì)算公式中不會(huì)出現(xiàn)中間結(jié)果數(shù)量級(jí)的巨大增長(zhǎng)和舍入誤差的嚴(yán)重累積。缺點(diǎn)： 不足之處是當(dāng)某個(gè)時(shí)，就不能進(jìn)行2. 最好的方法是最好的方法是直接三角分解法。（1）由于在求出和后，和就無(wú)須保留了，故上機(jī)計(jì)算時(shí)，可把和錯(cuò)誤！未找到引用源。,y存在所占的單元，回代時(shí)取代錯(cuò)誤！未找到引用源。整個(gè)計(jì)算過(guò)程中不需要增加新的存儲(chǔ)單元。而且系數(shù)矩陣的三角分解與右端常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)，故在計(jì)算系數(shù)矩陣相同而右端項(xiàng)不同的一系列方程組時(shí)，用三角分解法更為簡(jiǎn)便。（2）如果已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了A=LU的分解計(jì)算，且L,U保存在A的相應(yīng)位置，則用直接三角分解 法解具有相同系數(shù)

21、的方程組是相當(dāng)方便的，每解一個(gè)方程組僅需要增加n2次運(yùn)算。第三章 算法應(yīng)用1、 高斯消元法方法怎么用1. 一般程序設(shè)計(jì)高斯消去法的matlab程序方法高斯消去法求解方程組.根據(jù)高斯消去法,編制matlab程序如下首先建立一個(gè)M-file文件,保存在work中,文件名為magauss.mfunction x=magauss(A,b,flag)%用途:Gauss消去法解線性方程組Ax=b%格式:x=guass(A,b,flag),A為系數(shù)矩陣,b為右端項(xiàng),若flag=0,則不顯示中間過(guò)程,%否則顯示中間過(guò)程,默認(rèn)為0,x為解向量if nargin<3,flag=0;endn=length(b

22、);%消元for k=1:(n-1) m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag=0,Ab=A,b,endend%回代x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n)for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k);end再在工作窗口輸入:>> A=1 1 1 1;1 2 2 2;1 2 3 3;1 2 3 4;b=

23、4 3 2 1'>> x=magauss(A,b);x'得計(jì)算結(jié)果x = 5 0 0 -1二、高斯消元法方法用哪好？1. 高斯消元法方法在你所學(xué)專業(yè)的應(yīng)用 工程中求解結(jié)構(gòu)受力后的變形 空氣動(dòng)力學(xué)中計(jì)算機(jī)翼周圍的流場(chǎng) 利用滑動(dòng)最小二乘插值函數(shù)加權(quán)殘值法求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程 2. 高斯消元法方法在你了解的其他領(lǐng)域的應(yīng)用 氣象預(yù)報(bào)中計(jì)算大氣的流動(dòng) 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的動(dòng)力反應(yīng)數(shù)值分析方法中有常加速度法，此方法通過(guò)迭代法逐步逼近解析解。利用高斯消元法及其改進(jìn)法解線性方程組解決一些如道路的交通流量，電網(wǎng)的電流流量，解析幾何等的實(shí)際問(wèn)題。第四章 算法展望我們所學(xué)的計(jì)算方法有：1. 插值

24、法2. 擬合法3. LU法4. 迭代法5. 冪法和反冪法6. 歐拉法7. 龍貝格法在機(jī)械專業(yè)的應(yīng)用舉例：1.插值法插值法空間插值從廣義上講應(yīng)分為空間點(diǎn)插值和空間面插值。兩者之間有許多不同之處:定義不同。點(diǎn)插值是指已知某些點(diǎn)的值來(lái)估計(jì)未知點(diǎn)的值;面插值是指已知統(tǒng)計(jì)變量在某一分區(qū)系統(tǒng)的值求在同一研究區(qū)內(nèi)另一分區(qū)系統(tǒng)下的統(tǒng)計(jì)變量的值。作用的數(shù)據(jù)對(duì)象不同。點(diǎn)插值主要用于自然地理數(shù)據(jù),是某些點(diǎn)的值;而面插值主要用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),是統(tǒng)計(jì)單元上的集合數(shù)據(jù),是某些面的值。插值方法不同。如前所述,點(diǎn)插值和面插值的方法有極大的不同。插值方法的理論基礎(chǔ)不同。其在機(jī)械中的應(yīng)用有：基于減小修正量和提高工作效率的考慮

25、，應(yīng)用插值法中的牛頓插值，提出了一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的凸輪工作廓線的修正設(shè)計(jì)方法，這種方法不必再去考慮原有解析方程的形式，只需通過(guò)對(duì)要進(jìn)行修正的曲線附近的一些離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就能對(duì)現(xiàn)有凸輪工作廓線進(jìn)行修正，特別適合凸輪曲線在實(shí)際使用中的局部修正設(shè)計(jì)2。2. 擬合法 曲線擬合法在工程機(jī)械發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷中的應(yīng)用3.LU法高斯消元的過(guò)程實(shí)際是把系數(shù)矩陣A分解成單位下三角矩陣和上三角矩陣的乘積的過(guò)程。只要A為非奇異，經(jīng)過(guò)一定的行交換后，它一定可以分解為兩個(gè)三角形矩陣的乘積。設(shè)A=LU，其中L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣。這種分解就是杜立特爾分解，即LU分解。經(jīng)典的高斯消元法是1810年提出的，它稍

26、作修改產(chǎn)生矩陣的LU分解，則是二十世紀(jì)四十年代提出的，當(dāng)A非奇異時(shí)只要對(duì)A做行置換，總可使PA=LU,其中P為行置換矩陣，利用它求解線性方程組相當(dāng)于列主元消去法，它的好處是具有相同系數(shù)矩陣A的不同向量b的線性方程組AX=b可節(jié)省工作量，當(dāng)矩陣A對(duì)稱正定時(shí)可用LL分解的平方根法或改進(jìn)平方根法，它是計(jì)算穩(wěn)定的。4. 迭代法對(duì)于給定的線性方程組x=Bx+f，用公式x(k+1)=Bx*+f逐步帶入求近似解的方法稱為迭代法。線性方程組的基本迭代法包括雅克比迭代法、高斯-賽德?tīng)柕?、SOR迭代法、分塊迭代法和共軛梯度法，迭代法有存儲(chǔ)空間小，程序簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，是解大型稀疏線性方程組的有效解法，經(jīng)常出現(xiàn)在邊值

27、問(wèn)題和偏微分方程數(shù)值中。這些系統(tǒng)方程未知數(shù)n可達(dá)上萬(wàn)個(gè)。而系統(tǒng)矩陣A非零元素很少。迭代法中收斂性與收斂速度十分重要，實(shí)用中以收斂速度較快的SOR法應(yīng)用最廣，但選出最優(yōu)參數(shù)是很困難的。其在機(jī)械中應(yīng)用有迭代學(xué)習(xí)法在機(jī)械壓力機(jī)滑塊位置控制中的應(yīng)用5. 冪法和反冪法冪法是計(jì)算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及應(yīng)對(duì)特征向量的迭代法，計(jì)算簡(jiǎn)單，特別是用于大型稀疏矩陣情形，但收斂速度往往不能令人滿意，使用時(shí)可以結(jié)合反冪法及位移技巧等手段加速收斂。反冪法是計(jì)算海森伯格陣或三對(duì)角陣的對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的特征向量的有效方法之一。6. 歐拉法歐拉方法是最簡(jiǎn)單、最古老的一種數(shù)值方法?；舅悸肥怯貌钌探茖?dǎo)數(shù)。其在機(jī)械中的應(yīng)用有基于牛頓歐拉法的4-UPS-RPS機(jī)械剛體動(dòng)力學(xué)分析。 7. 龍貝格法龍貝格方法是目前計(jì)算機(jī)上求積的重要方法，針對(duì)積函數(shù)變化不均勻的自適應(yīng)方法也是以此為基礎(chǔ)給出的.第五章 學(xué)習(xí)思考 時(shí)間總是過(guò)得很快，轉(zhuǎn)眼間已經(jīng)接近學(xué)期末了，學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算也已經(jīng)一個(gè)學(xué)期了。剛開(kāi)始感覺(jué)還可以，知識(shí)接受起來(lái)比較容易，后來(lái)慢慢的感覺(jué)越來(lái)越難，上課時(shí)越聽(tīng)越朦朧。雖然聽(tīng)