中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編教師版

1、2013年中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編2013年中考數(shù)學(xué)壓軸題及解析分類匯編2013中考數(shù)學(xué)壓軸：相似三角形問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)2013中考數(shù)學(xué)壓軸：等腰三角形問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(三)2013中考數(shù)學(xué)壓軸：直角三角形問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(三)2

2、013中考數(shù)學(xué)壓軸：平行四邊形問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)平行四邊形問題(三)2013中考數(shù)學(xué)壓軸：梯形問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)梯形問題(三)2013中考數(shù)學(xué)壓軸：面積問題2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問題(一)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問題(二)2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)面積問題(三) 2013中考數(shù)學(xué)壓軸題:函數(shù)相似三角形問題(一)例1直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)9

3、0°后得到COD，拋物線yax2bxc經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)(1) 寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3) 在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動(dòng)點(diǎn)Q在直線BG上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到，ABQ的兩條直角邊的比為13共有四種情況，點(diǎn)B上、下各有兩種思路點(diǎn)撥1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)3第（3）題判斷ABQ9

4、0°是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè)滿分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因?yàn)閽佄锞€yax2bxc經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點(diǎn)，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90°因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，3x1)

5、，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，解得所以，當(dāng)時(shí)，解得所以， 圖2 圖3考點(diǎn)伸展第（3）題在解答過程中運(yùn)用了兩個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明ABBG；二是我們換個(gè)思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可以證明ABG90°在RtBGH中，當(dāng)時(shí)，在RtBQN中，當(dāng)Q在B上方時(shí)，；當(dāng)Q在B下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理得到，例2 RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與AB邊交于點(diǎn)E（2，n），BDE的面

6、積為2（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)tanA時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動(dòng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，直線AB保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積BDE2”，可以看到，點(diǎn)E正好在BD的垂直平分線上，F(xiàn)D/x軸拖動(dòng)點(diǎn)P在射線FD上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，AEO與EFP 相似存在兩種情況思路點(diǎn)撥1探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD/x軸3如果A

7、EO與EFP 相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況滿分解答（1）如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖像上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tanBEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因?yàn)辄c(diǎn)D（4，1）在反比例函數(shù)的圖像上，所以k4因此反比例函數(shù)的解析式為設(shè)直線AB的解析式為ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因?yàn)橹本€與y軸交于

8、點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，解得FP1此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得FP5此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）考點(diǎn)伸展本題的題設(shè)部分有條件“RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個(gè)條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖52013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(二)例3 如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0

9、）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的

10、運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)I上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖像，可以體驗(yàn)到，x2x1隨S的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在DM上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果GAFGQE，那么GAF與GQE相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情

11、況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，GEQ是直

12、線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例4 如圖1，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB 的

13、交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)A向右平移，可以體驗(yàn)到，平移5個(gè)單位后，四邊形A ABB為菱形再拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，BCD與ABC相似有兩種情況思路點(diǎn)撥1點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B 的坐標(biāo)、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A (-2

14、，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB5因?yàn)樗倪呅蜛 ABB為菱形，所以A ABB AB5因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0） 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實(shí)這是有公共底角

15、的兩個(gè)等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角B，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)例5 如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上

16、運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“ P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示PAM與OAC相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)D在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗(yàn)到，E是AC的中點(diǎn)時(shí)，DCA的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析

17、式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖

18、6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例6 如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），作DE/BC交射線CA于點(diǎn)E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當(dāng)分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求DE的長度；(3) 當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn)F，使ABC與DEF相似？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 備用圖 備用圖動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“0

19、9閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以在射線BA上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第（2）題”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以體驗(yàn)到兩圓可以外切一次，內(nèi)切兩次雙擊按鈕“第（3）題”，再分別雙擊按鈕“DE為腰”和“DE為底邊”，可以體驗(yàn)到，DEF為等腰三角形思路點(diǎn)撥1先解讀背景圖，ABC是等腰三角形，那么第（3）題中符合條件的DEF也是等腰三角形2用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）題的先決條件，注意點(diǎn)E的位置不同，DE、MN表示的形式分兩種情況3求兩圓相切的問題時(shí)，先羅列三要素，再列方程，最后檢驗(yàn)方程的解的位置是否符合題意4第（3）題按照DE為腰和底邊兩種情況分類討論，運(yùn)用典型題目的結(jié)論可以幫助我們輕松解題滿分解答 （1）如圖2

20、，作BHAC，垂足為點(diǎn)H在RtABH中，AB5，cosA，所以AHAC所以BH垂直平分AC，ABC 為等腰三角形，ABCB5 因?yàn)镈E/BC，所以，即于是得到，（）（2）如圖3，圖4，因?yàn)镈E/BC，所以，即，因此，圓心距 圖2 圖3 圖4在M中，在N中，當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得或者如圖5，符合題意的解為，此時(shí)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，當(dāng)x6時(shí)，解得，如圖6，此時(shí)E在CA的延長線上，；當(dāng)x6時(shí)，解得，如圖7，此時(shí)E在CA的延長線上， 圖5 圖6 圖7（3）因?yàn)锳BC是等腰三角形，因此當(dāng)ABC與DEF相似時(shí)，DEF也是等腰三角形如圖8，當(dāng)D、E、F為ABC的三邊的中點(diǎn)時(shí)，DE為等腰三角形DEF的腰，符合題意，此時(shí)

21、BF2.5根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)F在BC邊上的高的垂足時(shí)，也符合題意，此時(shí)BF4.1如圖9，當(dāng)DE為等腰三角形DEF的底邊時(shí)，四邊形DECF是平行四邊形，此時(shí) 圖8 圖9 圖10 圖11考點(diǎn)伸展第（3）題的情景是一道典型題，如圖10，如圖11，AH是ABC的高，D、E、F為ABC的三邊的中點(diǎn)，那么四邊形DEHF是等腰梯形例 7 如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（0，t），點(diǎn)Q（t，b）平移二次函數(shù)的圖象，得到的拋物線F滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)為Q；與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（OB<OC），連結(jié)A，B（1）是否存在這樣的拋物線F，使得？請(qǐng)你作出判斷，并說明理由；（2）如果AQBC，且tanABO，求拋物

22、線F對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“08杭州24”，拖動(dòng)點(diǎn)A在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，AQ與BC保持平行，OAOB與OAOB保持32雙擊按鈕“t3”，“t06”，“t06”，“t3”，拋物線正好經(jīng)過點(diǎn)B（或B）思路點(diǎn)撥1數(shù)形結(jié)合思想，把轉(zhuǎn)化為 2如果AQBC，那么以O(shè)A、AQ為鄰邊的矩形是正方形，數(shù)形結(jié)合得到tb3分類討論tanABO，按照A、B、C的位置關(guān)系分為四種情況A在y軸正半軸時(shí)，分為B、C在y軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況；A在y軸負(fù)半軸時(shí)，分為B、C在y軸同側(cè)和兩側(cè)兩種情況滿分解答（1）因?yàn)槠揭频膱D象得到的拋物線的頂點(diǎn)為（t，b），所以拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為因?yàn)閽佄锞€

23、與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此令，得，所以)( )| 即所以當(dāng)時(shí)，存在拋物線使得（2）因?yàn)锳Q/BC，所以tb，于是拋物線F為解得當(dāng)時(shí)，由，得如圖2，當(dāng)時(shí)，由，解得此時(shí)二次函數(shù)的解析式為如圖3，當(dāng)時(shí)，由，解得此時(shí)二次函數(shù)的解析式為 圖2 圖3如圖4，如圖5，當(dāng)時(shí)，由，將代,可得，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為或 圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（2）題還可以這樣分類討論：因?yàn)锳Q/BC，所以tb，于是拋物線F為由，得把代入，得（如圖2，圖5）把代入，得（如圖3，圖4）2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等腰三角形問題(一)例1 如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P(0,m)是線

24、段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APD的三個(gè)頂點(diǎn)有四次機(jī)會(huì)可以落在對(duì)邊的垂直平分線上雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)H在以O(shè)M為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第(2)題”可以切換思路點(diǎn)撥1用含m的代數(shù)式表

25、示表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難題不變的是直角，會(huì)不會(huì)找到不變的線段長呢？RtOHM的斜邊長OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點(diǎn)H、C滿分解答（1）因?yàn)镻C/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時(shí)，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時(shí)，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時(shí)，解得（如圖5）或（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為考點(diǎn)伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何

26、說理的方法，計(jì)算更簡單：如圖3，當(dāng)APAD時(shí)，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時(shí)，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點(diǎn)H，也就是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，COH45°，CGH90°圖6 圖7例2 如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿OC

27、A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖像中可以看到，APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的情況；P在CA上時(shí)，有三個(gè)時(shí)刻，APQ是等腰三角形思路點(diǎn)撥1把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)

28、圖形中解決一個(gè)問題2求APR的面積等于8，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45

29、°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時(shí)，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時(shí)，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時(shí)，也可以用來求解2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)等

30、腰三角形問題(二)例3 如圖1，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點(diǎn)M、N分別為線段AC和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以5個(gè)單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)M在CA上運(yùn)動(dòng)，可以看到BNP與MNA的形狀隨M的運(yùn)動(dòng)而改變雙擊按鈕“BNPMNA”，可以體驗(yàn)到，此刻兩個(gè)三角形都是直角三角形分別雙擊按鈕“BPBN，N在AB上”、“NBNP”

31、和“BPBN，N在AB的延長線上”，可以準(zhǔn)確顯示等腰三角形BNP的三種情況思路點(diǎn)撥1第（1）題求證MNNP的值要根據(jù)點(diǎn)N的位置分兩種情況這個(gè)結(jié)論為后面的計(jì)算提供了方便2第（2）題探求相似的兩個(gè)三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過說理知道這兩個(gè)三角形是直角三角形時(shí)才可能相似3第（3）題探求等腰三角形，要兩級(jí)（兩層）分類，先按照點(diǎn)N的位置分類，再按照頂角的頂點(diǎn)分類注意當(dāng)N在AB的延長線上時(shí)，鈍角等腰三角形只有一種情況4探求等腰三角形BNP，N在AB上時(shí)，B是確定的，把夾B的兩邊的長先表示出來，再分類計(jì)算滿分解答(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t

32、 ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因?yàn)锽NP與MNA有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個(gè)三角形要么是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，要么是兩個(gè)直角三角形只有當(dāng)這兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時(shí)CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當(dāng)N在AB上時(shí)，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當(dāng)BPBN時(shí)，解方程，得此時(shí)CM()如圖6，當(dāng)NBNP時(shí)，解方程，得此時(shí)CM()當(dāng)PBPN時(shí)，解方程，得t的值為負(fù)數(shù)，因此不存在PBPN的情況如圖7，當(dāng)點(diǎn)

33、N在線段AB的延長線上時(shí)，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時(shí)解方程，得此時(shí)CM 圖5 圖6 圖7考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)NBNP時(shí)，NMA是等腰三角形，這樣計(jì)算簡便一些例4 如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CEx，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10南通27”，拖動(dòng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)，觀察y隨x變化的函數(shù)圖像，可以體驗(yàn)到，y是x的二次函數(shù)，拋物

34、線的開口向下對(duì)照?qǐng)D形和圖像，可以看到，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，y取得最大值雙擊按鈕“m8”，拖動(dòng)E到BC的中點(diǎn)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)F是AB的四等分點(diǎn)拖動(dòng)點(diǎn)A可以改變m的值，再拖動(dòng)圖像中標(biāo)簽為“y隨x” 的點(diǎn)到射線yx上，從圖形中可以看到，此時(shí)DCEEBF思路點(diǎn)撥1證明DCEEBF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題頭緒復(fù)雜，計(jì)算簡單，分三段表達(dá)一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計(jì)算，化簡消去m，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對(duì)應(yīng)的m的值滿分解答(1)因?yàn)镋DC

35、與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因?yàn)镃B90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)m8時(shí)，因此當(dāng)x4時(shí)，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因?yàn)镈CEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點(diǎn)伸展本題中蘊(yùn)涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當(dāng)x4時(shí)，y都取得最大值對(duì)應(yīng)的幾何意義是，不論AB邊為多長，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結(jié)論

36、的一個(gè)特殊性再如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因?yàn)榉匠炭傆幸粋€(gè)根的第（3）題是這個(gè)一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性2013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)相似三角形問題(三)例5 已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過原點(diǎn)O作AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DEDC，交OA于點(diǎn)E（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF2GO是否成立？若成立

37、，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09重慶26”，拖動(dòng)點(diǎn)G在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，DCG與DEF保持全等，雙擊按鈕“M的橫坐標(biāo)為1.2”，可以看到，EF2，GO1拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)的過程中，可以體驗(yàn)到，存在三個(gè)時(shí)刻，PCG可以成為等腰三角形思路點(diǎn)撥1用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個(gè)解析式在第（2）、（3）題的計(jì)算中要用到2過點(diǎn)M作MNAB，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可以求FA的長3

38、將EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，DCG與DEF保持全等4第（3）題反客為主，分三種情況討論P(yáng)CG為等腰三角形，根據(jù)點(diǎn)P的位置確定點(diǎn)Q的位置，再計(jì)算點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿分解答（1）由于OD平分AOC，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），因此BCAD1由于BCDADE，所以BDAE1，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)過E、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為，那么 解得，因此過E、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為（2）把代入，求得所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為如圖2，過點(diǎn)M作MNAB，垂足為N，那么，即解得圖2因?yàn)镋DC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，DCGDEF，所以CGEF2因此GO1，EF2GO（3）在第（2）中，GC2設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)CPCG

39、2時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）重合，PCG是等腰直角三角形此時(shí)，因此。由此得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖4，當(dāng)GPGC2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)PGPC時(shí)，點(diǎn)P在GC的垂直平分線上，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)D重合此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2） 圖3 圖4 圖5考點(diǎn)伸展在第（2）題情景下，EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)G的長怎樣變化？設(shè)AF的長為m，那么點(diǎn)F由E開始沿射線EA運(yùn)動(dòng)的過程中，F(xiàn)G先是越來越小，F(xiàn)與A重合時(shí)，F(xiàn)G達(dá)到最小值；F經(jīng)過點(diǎn)A以后，F(xiàn)G越來越大，當(dāng)C與O重合時(shí)，F(xiàn)G達(dá)到最大值4例6 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），直

40、線CM/x軸（如圖1所示）點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線yxb（b為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線CM相交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓與圓O外切，求圓O的半徑圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)P在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，POD的形狀可以成為等腰三角形，分別雙擊按鈕“PDPO”、“ODOP”和“DODP”可以顯示三個(gè)等腰三角形在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，兩個(gè)圓保持相切，可以體驗(yàn)到，當(dāng)PDPO時(shí)，圓O不存在思路點(diǎn)撥1第（1）題情景簡單，內(nèi)容豐富，考查了對(duì)稱點(diǎn)的

41、坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、代入求值、數(shù)形結(jié)合2分三種情況討論等腰三角形POD的存在性，三個(gè)等腰三角形的求解各具特殊性3圓O與圓P的半徑、圓心距都是隨點(diǎn)P而改變，但是兩圓外切，圓心距等于半徑和的性質(zhì)不變滿分解答（1）因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）將B（1，0）代入yxb，得b1將y4代入yx1，得x3所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）（2）因?yàn)镈（3，4），所以O(shè)D5，如圖2，當(dāng)PDPO時(shí)，作PEOD于E在RtOPE中，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖3，當(dāng)OPOD5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖4，當(dāng)DODP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 圖2 圖3 圖4（3

42、）圓P的半徑，兩圓的圓心距為OP當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓O的半徑如圖2，當(dāng)PDPO時(shí)，此時(shí)圓O不存在如圖3，當(dāng)OPOD5時(shí)，作DHOP于H在RtDHP中，DH4，HP2，所以此時(shí)如圖4，當(dāng)DODP時(shí)，考點(diǎn)伸展如圖5，在本題情景下，如果圓P與圓C外切，那么點(diǎn)P的變化范圍是什么？如圖6，當(dāng)圓P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為因此當(dāng)點(diǎn)P在x軸上點(diǎn)的右邊時(shí)，圓P與圓C外切 圖5 圖62013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(一)例1 如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D（1）求拋物線

43、的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)線段時(shí)，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補(bǔ)出圖形，以便作答圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11沈陽25”，拖動(dòng)點(diǎn)E或F在y軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，CDE有兩次機(jī)會(huì)成為等腰直角三角形雙擊按鈕“PQ3”可以準(zhǔn)確顯示時(shí)的位置思路點(diǎn)撥1第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題2第（3）題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸

44、上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)與線段長的關(guān)系3根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡單了滿分解答（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，3)，得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）由，知A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，3)，得 解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（3）因?yàn)锳B4，所以因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以，進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為直線BC:與拋物線的對(duì)稱軸x1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）過點(diǎn)D作DHy軸，垂足為H在RtEDH中，DH1，所以tanCED，圖2

45、圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題求點(diǎn)P的坐標(biāo)的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出CE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，把點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個(gè)值就是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)例2 設(shè)直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線（1）已知直線；和點(diǎn)C(0，2)，則直線_和_是點(diǎn)C的直角線（填序號(hào)即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過A、P兩點(diǎn)的直線為l2，若l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線

46、l1與l2的解析式圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，APB有兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角，此時(shí)BCPPOA答案（1）直線和是點(diǎn)C的直角線（2）當(dāng)APB90°時(shí)，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當(dāng)OP6時(shí)，l1：， l2：y2x6如圖3，當(dāng)OP1時(shí)，l1：y3x1， l2：圖2 圖32013中考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)直角三角形問題(三)例 5 如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒

47、1個(gè)單位長度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“08河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)M從A向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨t變化的圖象，可以體驗(yàn)到，當(dāng)M在AO上時(shí)，圖象是開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)M在OB上時(shí)，S隨t的增大而增大觀察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4觀察MON的形狀，可以體驗(yàn)到，MON可以兩次成為直角三角形，不存在ONM90°的可能思路點(diǎn)撥1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90°的可能滿分解答（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三