《高等數學教學》201x 第六、七節(jié)高斯、斯托克斯公式（

1、編輯ppt)(Gauss第第六六節(jié)節(jié)、高高斯斯公公式式一一、高高斯斯公公式式dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzzyxRzyxQzyxP )(,),(),(),().2(,).1(則則并并且且有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導導數數上上有有定定義義在在取取外外側側；所所圍圍成成的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域是是由由分分片片光光滑滑曲曲面面設設、高高斯斯公公式式定定理理)(:.),()cos,cos,(cos0高高斯斯公公式式也也可可表表示示為為的的單單位位法法向向量量處處是是在在點點設設 zyxn .)()coscoscos( dxdydzzRyQxPdSRQP 編輯ppt),(RQPA 設設

2、向向量量場場的的為向量場為向量場稱稱),(RQPARdxdyQdzdxPdydz .通量通量zRyQxPAdivRQPAzRyQxP :.),(記記為為為為向向量量場場稱稱的散度的散度:.),()cos,cos,(cos0高高斯斯公公式式也也可可表表示示為為的的單單位位法法向向量量處處是是在在點點設設 zyxn .0dvAdivdSnA 編輯ppt.,2222222333的的外外側側為為球球面面其其中中計計算算RzyxRzyxdxdyzdzdxydydzx 、例例1 dxdyzdzdxydydzxRRzyxdxdyzdzdxydydzxI33322233321解解 dvzyxR)(23222

3、drrddRR042020sin23 456R Gauss編輯ppt.),(cos,cos,cos,)0(0)coscoscos(222222的的方方向向余余弦弦處處的的法法向向量量在在點點是是的的部部分分的的下下側側之之間間及及介介于于平平面面為為錐錐面面其其中中計計算算曲曲面面積積分分zyxhhzzzyxdSzyx 、例例2解解.:),( ,:222上上側側補補充充定定向向曲曲面面 hyxDDyxhz.: 所圍成的區(qū)域為所圍成的區(qū)域為及及由由dSzyx )coscoscos(222 dvzyx)222(Gauss zdvydvxdv222編輯ppt;222)coscoscos(222 zd

4、vydvxdvdSyyx 0, xdvxyoz是是奇奇函函數數面面對對稱稱關關于于0, ydvyxoz是是奇奇函函數數面面對對稱稱關關于于 zdvdSzyx2)coscoscos(222 22202zyxhzdxdydz hdzzz022 .22403hdzzh dxdyzdzdxydydzxhdxdyzdzdxydydzx22242222 dxdyzh242dxdyhhD 242 .224224hhhh 編輯ppt.)()()(,2222222的的內內側側是是球球面面其其中中計計算算Rczbyaxxzdxdyxydzdxdydzx 、例例3解解 dvxzxyxxzdxdyxydzdxdydz

5、xzyx)2()2()(2222由由高高斯斯公公式式 dvxxx)222( xdv6 )(6 Vx.834633RaRa 編輯ppt公公式式第第七七節(jié)節(jié)、斯斯托托克克斯斯)(Stokes一一、斯斯托托克克斯斯公公式式則則導導數數的的某某鄰鄰域域內內有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏在在包包含含曲曲面面函函數數見見圖圖所所示示的的方方向向滿滿足足與與它它的的邊邊界界曲曲線線的的側側是是分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面設設.),(),(),().2().(,).1( zyxRzyxQzyxP、斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理)(dSRQPRQPdxdydzdxdydzzyxzyx coscoscos.),(

6、cos,cos,cos的的方方向向余余弦弦處處的的法法向向量量上上點點是是在在其其中中 nzyx 右右手手法法則則.)()()(dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdx 編輯ppt.),(是是有有向向閉閉曲曲線線設設向向量量場場 RQPF的的沿沿閉閉曲曲線線為為向向量量場場稱稱 ),(RQPFRdzQdyPdx.環(huán)量環(huán)量的的為為向向量量場場稱稱),(RQPFRQPzyxkjiFrot .旋度旋度.),()cos,cos,(cos0處處的的單單位位法法向向量量上上點點為為在在設設zyxn .),()cos,cos,(cos0處的單位切向量處的單位切向量上點上點為在為在z

7、yx dSnFrotdsF 00: 斯斯托托克克斯斯公公式式可可表表示示為為編輯ppt.,1則則法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)向向與與這這個個三三角角形形上上側側的的它它的的正正三三角角形形的的整整個個邊邊界界被被三三個個坐坐標標面面所所截截成成的的為為平平面面其其中中利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式計計算算 zyxydzxdyzdx、例例1解解.10 , 10:;),( ,1:)(xyxDDyxyxzxyxy 方方程程為為上上側側如如圖圖所所示示有有向向曲曲面面:;31coscoscos:由由斯斯托托克克斯斯公公式式有有的的法法向向量量方方向向余余弦弦為為 dSyxzzyxydzx

8、dyzdx coscoscos dSdSdSyxzzyx311131313131.233cos3 xyxyDDdxdydxdy 編輯ppt.,1,3322針針方方向向軸軸正正方方向向向向下下看看呈呈逆逆時時由由的的交交線線與與平平面面是是圓圓柱柱面面其其中中計計算算zxzyxdzxdyydx 、例例2. 1:),(;:22上上側側 yxDDyxxz解解.21cos, 0cos,21cos),1 , 0 , 1( ndSxydzxdyydxzyx 133coscoscos33 dSxyzyx13302121dSxyzyx 13310121 dS60021 cos)(2626DAdS.6)(6 D

9、A公式公式Stokes編輯ppt、例例3.,)0,0(22)()()(22222222222時時針針方方向向取取逆逆軸軸的的正正方方向向看看去去若若從從的的交交線線與與柱柱面面是是球球面面其其中中曲曲線線積積分分利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式計計算算 zzRrrxyxRxzyxdzyxdyzxdxzyI 解解,所所圍圍成成的的部部分分為為球球面面的的上上側側被被取取 RxzyxzyxF2),(:222 令令.2;2;22zFyFRxFzyx ),(:zyRxn 的的法法向向量量為為 ;cos222)(RRxzyRxRx ;cos222)(RyzyRxy ;cos222)(RzzyRxz 利利

10、用用斯斯托托克克斯斯公公式式編輯ppt dzyxdyzxdxzyI )()()(222222 dSyxzxzyzyxRzRyRRx 222222dSRzyxRyzxRRxzy)22()22()22( .22)(2 ydSzdSdSyz. 02, ydSyxoz于于是是是是奇奇函函數數平平面面對對稱稱關關于于由由于于 zdSI2 dSzcoscos12 dxdyzcos12 dxdyzRz2 dxdyR2.222222RrdxdyRrxyx 編輯ppt徑徑無無關關的的條條件件二二、空空間間曲曲線線積積分分與與路路、定理定理1).,(),().4();(),().3(;, 0).2(;),( ,0).1(,),(RdzQdyPdxduuRQPFRdzQdyPdxRdzQdyPdxRQPFGRdzQdyPdxGzyxRQPzyxkjiFrotGGRQPGRQPFBAAB 使使得得即即存存在在是是勢勢場場即即是是保保守守場場內內任任一一簡簡單單閉閉曲曲線線是是其其中中內內下下述述四四個個命命題題等等價價則則在在內內有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導導數數在在和和函函數數上上的的向向量量場場是是定定義義在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域設設編輯ppt.0,),(),(),(,內內恒恒成成立立在在有有關關的的邊