概率論第三章答案

1、習(xí)題三1. 箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中只有2 只次品，從箱中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，且設(shè)隨機(jī)變量X，Y為 試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫出X與Y的聯(lián)合分布律.解：先考慮放回抽樣的情況：則此種情況下，X與Y的聯(lián)合分布律為 XY 0 1 01 再考慮不放回抽樣的情況 XY 0 1 01 2. 將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫出（X,Y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為1，3；則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為，可知 XY 0 1 2 3 03 0 0 0 1 3

2、. 把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能性是相同的，設(shè)隨機(jī)變量X與Y分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布.解：由已知可得：X的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為0，1，2，3；則， ，則二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布及邊緣分布為 XY 0 1 2 3 0123 0 0 0 0 0 0 1 4. 設(shè)(X,Y)的概率密度為 求：（1） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x<1,y<3;（2） P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x+y<3.解：（1） D=(x,y)|x<1,y<3（

3、2） D=(x,y)|x+y<35. 設(shè)(X,Y)的概率密度為 求：（1） 系數(shù)c；（2） (X,Y)落在圓內(nèi)的概率.解：（1） 由，得，可求得（2） 設(shè)，則6. 已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).解：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為當(dāng)x<0,或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 綜上可得，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為7. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 （1） 求常數(shù)k；（2） 求 P0<x<2,1<y3;（3） 求X,Y的邊緣概率密度；（4） 判斷X與Y是否相互獨(dú)立.解：（1） 由概率密度的性質(zhì)有 即 ，有 (2)

4、 (3) X的邊緣概率密度為當(dāng)0x<6時(shí)，當(dāng)x<0或x6時(shí)，顯然有Y的邊緣概率密度為當(dāng)0<y<6時(shí)，當(dāng)y0或x6時(shí)，顯然有(4) X與Y不相互獨(dú)立.8已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為 X1-1 0 1 P X20 1 而且PX1X2=0=1. (1) 求X1和X2的聯(lián)合分布； (2) 問(wèn)X1和X2是否獨(dú)立？為什么？解：由,可知必然成立.由得同理可得：，而綜上可得，和的聯(lián)合分布為 X1X2 -1 0 1 01 0 0 1 （2） 可知和不獨(dú)立.9. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從 上的均勻分布，求方程 有實(shí)根的概率.解：方程有實(shí)根的充要條件是，由于隨機(jī)變量X與Y相互

5、獨(dú)立，所以隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，如圖 記陰影部分為D(2) 當(dāng)時(shí)，如圖 記陰影部分為D, 記空白部分為D1綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為 另解：方程有實(shí)根的充要條件是 令則當(dāng)x<0時(shí)則當(dāng)0xb2時(shí)由于X與Y都服從上的均勻分布，即其密度函數(shù)各為當(dāng)0xb2時(shí)，當(dāng)x>b2時(shí)顯然有Z1的概率密度函數(shù)為而當(dāng)當(dāng)-4b<x<4b時(shí)，當(dāng)x-4b時(shí)，Z2的概率密度函數(shù)為又由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，Z1 和Z2也相互獨(dú)立.又設(shè)Z= Z1 +Z2而b>0,而當(dāng)z-4b，時(shí)，此時(shí)即綜上可得：方程 有實(shí)根的概率為10. 設(shè)（X,Y）的概率密度為

6、求邊緣概率密度和解：X的邊緣概率密度為 ，當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，Y的邊緣概率密度為當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)y>0時(shí)，而11. 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度為求Z=X+Y的概率密度.解：由已知得 當(dāng)z<0時(shí)，當(dāng)0z1時(shí)，當(dāng)z>1時(shí)，Z=X+Y的概率密度為12. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求Z=XY的概率密度.解：Z=XY的分布函數(shù)為 Z=XY的概率密度為，Z=XY的概率密度為13. 設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求的概率密度.解：設(shè)的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的概率密度14. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的概率密度f(wàn)(s).解：由已

7、知可得隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為 設(shè)邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的分布函數(shù)為F(s)，則 矩形面積S的概率密度15設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且求解： 同理可求16. 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合概率密度為 求：（1） （2）邊緣概率密度； (3) 解：（1）由已知，得同理可知而又（2）X的邊緣概率密度為由于f(x,y)關(guān)于x,y地位的對(duì)稱性，得17. 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知X的分布律為又設(shè)試寫出變量的分布律及邊緣分布律并求解：由已知得：則變量的分布律及邊緣分布律為： 1 2 3 123 0 0 0 1 而18. 設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為 而Y的概率密度為 求解：由已知得：19. 設(shè)（X,Y）的概率密度為 求： （1）的概率密度； （2）的概率密度.解：(1) 設(shè)的分布函數(shù)為,概率密度為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)z>1時(shí), 的概率密度為 (2) 設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,概率密度為，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的概率密度為20. 假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作.試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布.解：用表示第i個(gè)電氣元件無(wú)故障工作的時(shí)間，則相