一元二次方程的解法例析.

1、一元二次方程的解法例析【要點(diǎn)綜述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在沒講一元二次方程的解法之前，先說明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為：匚廠二 . 1 O一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2; （3）是整式方程。因此判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程， 若是，再對(duì)它進(jìn)行整理，如能整理為 1的形式，那么這個(gè)方程就是一元二次方程。下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過“

2、降次”，將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法適合方程類型注意事項(xiàng)直接開平方法（兀+乩尸-b鳥0時(shí)有解，bv 0時(shí)無解。配方法X +砂+學(xué)=0二次項(xiàng)系數(shù)若不為1,必須先把系數(shù)化為1, 再進(jìn)行配方。公式法加+3葢十已=0（a 0）b-ac >o時(shí)，方程有解；滬-4必v0時(shí)，方程無解。先化為一般形式再用公式。因式分解法方程的一邊為 0,另一邊分 解成兩個(gè)一次因式的積。方程的一邊必須是 0，另一邊可用任何方法 分解因式?！九e例解析】例 1 :已知心 |= Z ,解關(guān)于的方程 I - O分析：注意滿足的a的值

3、將使原方程成為哪一類方程。解：由*1二2得：住二？或褲二-1,3 當(dāng)必二3時(shí)，原方程為-6x3-12x+1=5x-6x3-2，即 17x二3，解得 17 .當(dāng)“一 1 時(shí)，原方程為I1.1.'.' 一 1 _二J，即 1 二 ；-.,_1+屈T -1-7145r = T1 一 24問一324說明：由本題可見，只有.T'：項(xiàng)系數(shù)不為0,且為最高次項(xiàng)時(shí)，方程才是一元二次方程， 才能使用一元二次方程的解法，題中對(duì)一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說明最高次項(xiàng)系數(shù)不為0。通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡明，即形如;?/ -:; ''的方程叫作關(guān)于的一元二次

4、方程。若本題不給出條件 b-i|二2，就必須在整理后對(duì) ?項(xiàng)的字母系數(shù)分情況進(jìn)行討論。例2 :用開平方法解下面的一元二次方程。（1）（2）- -（3）書：；（4-分析：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如二 I的方程，其解為“計(jì)!：.-。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)第（1）、（ 2）兩小題中的方程顯然用直接開平方法好做；_J,第（3）題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞剑?4），右邊的121 > 0,所以此方程也可用直接開平方法解；第（4）小題，方程左邊可利用平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開平 方法進(jìn)行解答了。解：（1）(3x+1)2 = 92由矢+ 1=3

5、# 1_3一；丨1 （注意不要丟解）_4由丨得.?,第3頁共39頁第#頁共39頁由辦-2 = x+4得圧張-2二乂+4或弘一2 二-（孟+4）1由3誰-2二-（盂+4）得坷224=-2 = -原方程的解為：33第#頁共39頁第#頁共39頁原方程的解為：；：-，- j第#頁共39頁原方程的解為:（4）（3x+2）（3丫-2） = 49“-4 = 4,即 9只=8Xi =V5 x,二一?血 原方程的解為：3 ,3說明：解一元二次方程時(shí)，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，像本題要求用開平方法直接求解，就不必化成一般式。用開平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時(shí)開方時(shí)，只需在一邊取正負(fù)號(hào)，還

6、應(yīng)注意不要丟解。例3 :用配方法解下列一元二次方程。分析：用配方法解方程.；' :'' 1 .1，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二2 b C X 4 X * _次項(xiàng)系數(shù)化為1，變?yōu)槎男问?。第?）題可變?yōu)?，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，即: F-2x+F = 1+F ，方程左邊構(gòu)成一個(gè)完全平方式， 右邊是一個(gè)不小于 0的常數(shù), 即：（X_護(hù)二2，接下去即可利用直接開平方法解答了。第（2）題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。解：（1）2F-4x-2 = 0二次項(xiàng)系數(shù)化為1,移常數(shù)項(xiàng)得：H-2x=1,配方得：F-2x+F二1+F，即

7、= 2直接開平方得：x-1二土忑 X二+，可二一邊原方程的解為：首二+，陽二-ll（2）J.I-":4 _2x x 二次項(xiàng)系數(shù)化為1,移常數(shù)項(xiàng)得：51方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得:直接開平方得:_ 2 + V10_ 2-/lQ原方程的解為：. 二，說明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。 配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成解題任務(wù)。例4 :用公式法解下列方程。分析：用公式法就是指利用求根公式占 士 - 4“2a，使用時(shí)應(yīng)先把一

8、元二次方程化成一般形式,然后計(jì)算判別式b -仏 的值，當(dāng)b - Aac > 0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù) 似的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意當(dāng)占2-4血:v 0時(shí)，方程無解。第（1）小題應(yīng)先移項(xiàng)化為一般式，再計(jì)算出判別式的值，判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第（ 算的繁瑣，2）小題為了避免分?jǐn)?shù)運(yùn)可變形為 6?+7-3=0 ，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。解: ( 1)3“+4 = 7x ,化為一般式：二 :.-II求出判別式的值：丄一一二一 1 > 0代入求根公式:(2)2x2 + -x-1化為一般式:6?+7x-3=0求出判別式的值:-7

9、7;9x =123(2)第5頁共39頁第#頁共39頁說明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡單方法時(shí)，即考慮化為一般再求出判別式的值,形式后使用公式法。但在應(yīng)用時(shí)要先明確公式中字母在題中所表示的量, 解得的根要進(jìn)行化簡。例5 :用分解因式法解下列方程。（"匚.二-11；（ 2）: < 分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次 因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程， 解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。第（1 ）題已經(jīng)是一般式，可直接對(duì)左邊分解因式；(2z-3)(3x+5) = 0第（2）題必須

10、先化簡變?yōu)橐话闶胶笤龠M(jìn)行分解因式。解：（1） II左邊分解成兩個(gè)因式的積得:_3于是可得：23 = 0，矢+5二0F 1（2）（卄3）爐6）»8化簡變?yōu)橐话闶降??-3a-10=0第6頁共39頁第#頁共39頁左邊分解成兩個(gè)因式的積得：（時(shí) 2）（-5M于是可得:. = = 5說明：使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達(dá)到降次的目的。把方程一邊化為0,把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程。因?yàn)檫@是把方程降次的重要手段之一。從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為開平方法和使方程一邊為0,把方程另一邊分解因式，配方，或利用

11、求根公式法。另外，在解一元二次方程時(shí)，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡單方 法，找不到簡單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。例6 :選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?。?） J- ； （2） 一'（3）： ; （4）| .： : II分析：第（1）題可變形為.1-,而后利用直接開平方法較為簡便；第（2）題移項(xiàng)后利用分解因式法較為簡便；第（3）題化為一般式后可利用求根公式法解答；第（4）題采取配方法較為簡便。l（x+3）、l心丄時(shí)o解：（1） 1整理得：-直接開平方得：.mu分解因式得：- 7 - ：1 -1'1整理得： ?+8x-16 = 0_-8±2求出判

12、別式的值： A 二滬一仏二 128 0_,】I a'_ ,-（4）.；： | _J I配方得：；！直接開平方得：二一 士；二總結(jié)：直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程， 在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計(jì)算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具， 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方 程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程

13、寫成一般式， 同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。因此在解一元二次方程時(shí)，首先觀察是否可以應(yīng)用開平方、 分解因式等簡單方法，找不到簡單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。通常先把方程化為一般式，但如果不化為一般式就可以找到簡便解法時(shí)就應(yīng)直接求解?！靖接?xùn)練典題】1用直接開平方法解下列方程：（1） .： - : ；（ 2）（3）,-4x+3二0 ；（4）4（1-勸-9 = 0.2、用配方法解下列方程：（1）二丄：:U ；（ 2）1； （ 3） _二”二'1.1 ； （4） _ :二.3、用公式法解下列方程：（1）一1 一 II ；（2） 一= "-'I；（3）氣I.； J /

14、_： - . ；（4）一 】一冷"I 一" - ' - 11 .4、用因式分解法解下列方程：（1 ）二'-；（2） * -一： - - ; （ 3）: .: ；（ 4）.二 二.1 .5、選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?） 一 f - 11 ；（ 2） _'_- '' - I'（3）“ r ' ' ' ；（4） I（5）-；（ 6）門一一；（7）丄， 1 ；（8） -丄T 二一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練安徽省利辛縣教育局督導(dǎo)室夏飛對(duì)于一元二次方程：'】一山，當(dāng)判別式I時(shí)，_ t占士其求

15、根公式為：；若兩根為：'，當(dāng)0時(shí)，則兩根的關(guān)b ,石 + 鬲=_ 12 系為：一 一；丄，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆_b 二£定理也是成立的，即當(dāng)一 * 一；時(shí)，那么?'：則是' - ' - 111的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中， 老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程' - - ' -"山根的判別式L-? 、存在的三種情況，以及應(yīng)用求根公式求出方程；' - "

16、' '' 111的兩個(gè)根 甘；，進(jìn)而分解因式，即n n 冷丄7 - o下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問題舉例做 些分析，希望能給同學(xué)們帶來小小的幫助。、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于T的方程（1）-有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于丫的方程（2）二 H二一-:沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)， 方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（ 2）條件的丿的取值范圍中篩選符合條件的 的整數(shù)值。解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,13 a < 解得 -;方程（2）沒有實(shí)數(shù)根,解得：' 1 ;1 Li 于是，同時(shí)滿足方程（1） , （2）條件的的取值范

17、圍是:其中，的整數(shù)值有： I或：當(dāng)：一時(shí)，方程（1）為?;.-：，無整數(shù)根;當(dāng)，一時(shí)，方程（1為:'I .，有整數(shù)根解得： I 二- .二 *所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是_說明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定 丿的 取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出- S這也正是解答本題的基本技巧。、判別一元二次方程兩根的符號(hào)例1：不解方程，判別方程=丿兩根的符號(hào)分析：對(duì)于八;“ + r - V;'山來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常 數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式厶，但只能用于判定根的存在與否， 若 判定根的正負(fù)，則

18、需要確定1二 或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是： 既要求出判別式的值，又要確定 1或 - "11的正負(fù)情況解：.: 一 4X 2X ( 7) = 65> 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為'!,7珂眄二一一' IV 0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。說明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中1: V0,所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若J 0,仍需考慮忌=殆的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例2:已知方程；：J:Z.的一個(gè)根為2，求另一個(gè)

19、根及；：'的值分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把工-代入原方程,先求出匸的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與 系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：把：代入原方程，得:23 -6x2+wJ -加+ 5 二 0即：廠 _.：；i：11解得:-1 =廠二-當(dāng)'-1' -1時(shí)，原方程均可化為:方程二.的另一個(gè)根為4,匸的值為3或一1解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得:珂+陽二4一6）二6 ,忑陽二怖一2禰+ $把；1 代入-，可得：" - I把二丨代入一用“ S -可得:.方程.： J-1一-.的另一個(gè)根為4

20、,簾的值為3或一1說明：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡單例3：已知方程“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21,求匸的值。分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大 21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于匸的方程，即可求得匸的值。解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解這個(gè)不等式，得匸w 0設(shè)方程兩根為/ 則2），首 遇二懈'+4整理得：<.7 -:解得：- '-說明：當(dāng)求出-1一-后，還需注意隱含條件出二1，應(yīng)舍去不合題意的乜。四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題例5：已知 是關(guān)于T的一元二次方程： -的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和二能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的 匸

21、的取值范圍；若不 能同號(hào)，請(qǐng)說明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于丁的一元二次方程十一丄-有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根,則有.二-I .-: _.-1' I '又、是方程W "-丄.-打1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次 方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：X + 乃=_（幡 _ 1）,如 m = m假設(shè)：、二同號(hào)，貝U有兩種可能:（1）（2） : -1' - - 11% + 勺 0若珂0 ,乃0,貝函：o ；-（朋-1） u 0 1 °-m2 （）即有：.4解這個(gè)不等式組，得; 1I時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。=+ x3 0 若心丸,心丸， 則有：U 0:丄宀0即有：解這個(gè)不等式組，

22、得-.;5 然蘭一又 I ,當(dāng) j時(shí)，兩根能同號(hào)說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的 內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具， 也是計(jì)算有關(guān)一 元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。 知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng) 新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高， 應(yīng)是同學(xué)們 重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題例：已知二、i是方程二.的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求:-的值分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根 后，再帶入的方法，力求簡解。解法一：由于匚是方程，上.的實(shí)數(shù)根，所以：11設(shè)寸+q

23、0+2g二M，卅+如+2氏與儼+20-$相加，得:第16頁共39頁/:"-叮+ :二| +: /)二（0 +伊）+ 2也+向+如-$ -'''-山；-二J （變形目的是構(gòu)造二f和J） 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：0：+=-2,聯(lián)二 J于是，得：J =廠廠=一-4-4+5-5 = 0.二：A=o解法二：由于二、是方程J 丄.-:的實(shí)數(shù)根，二+一.、:;.廠J +I說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡捷解法，是解 題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí), 如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)

24、的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡 的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力， 多年來一直受到命題老師的青睞。七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題例8：已知兩方程-和1至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為二時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于 二和匸的 元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：設(shè)兩方程的相同根為二， 根據(jù)根的意義,有 二1II護(hù)-(7用+M+13那+7 = 0兩式相減，得匚 丁,一:-|1，方程的判別式二(一轉(zhuǎn))2_4伽+ 5)= (-)： _4(-+5)=丄衛(wèi) <066363方程無實(shí)數(shù)解皆2伽+

25、 1）二當(dāng)亠.時(shí)，有實(shí)數(shù)解一代入原方程，得_一丨；I，所以v ''于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為0+閘(13 戰(zhàn)+7) = 14x124 = 1736說明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)11-':的討論和判別式的作用，常常 除了犯有默認(rèn)門1./的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解:_1當(dāng)11-'：時(shí)，. 匚，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以 4個(gè)根的相乘積為:（用+5尸841（2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根 的條件：A -卜搟尸-4（卿+ 5）二聊彳_ 4拠_ 20 N °且二二 t二 Ml另外還

26、應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義【趁熱打鐵】一、填空題:1如果關(guān)于：的方程II的兩根之差為2,那么2、已知關(guān)于；的一元二次方程1兩根互為倒數(shù)，則:- .01133、已知關(guān)于；的方程"?'"'1 -的兩根為 W,且：二 ,則04、已知t是方程 二：-H的兩個(gè)根，那么：2丄 2:'- ；丄_- ；- 05、已知關(guān)于；的一元二次方程已二“丄.：'：的兩根為】和，且6、 如果關(guān)于丄的一元二次方程-的一個(gè)根是丨',那么另一個(gè)根是，丄的值為07、已知一-匚是- I的一根，貝U另一根為 ，:的值為。8 個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和一,那

27、么這個(gè)一元二次方程為：。二、求值題：1已知V' '!是方程:L-.-：的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求八匕"的值。2已知 U 是方程一丄:的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求-.I 的值。3、已知 U 是方程二一：-"的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求T « 2 I Y 25一.-'一的值。4、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、 已知關(guān)于x的方程 _ - Ii的兩根滿足關(guān)系式t5 -求霍的值及方程的兩個(gè)根。6、已知方程-|：和. ；-二、有一個(gè)相同的根，求T：'的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題:1實(shí)數(shù)匚在什么范圍取值時(shí)，

28、方程:： r -1.7 I： M有正的實(shí)數(shù)根?/+伽一2)兀 + 1 牌一3 二 02、已知關(guān)于：的一元二次方程2(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根I、二滿足：；;- ;，求匸的值A(chǔ)- bn-H一= 03、若.!，關(guān)于丄的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)m根，求；.的值4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程11的兩個(gè)實(shí)根心勾，滿足勺 2 ,如果存在，試求出所有滿足條件的R的值，如果不存在, 請(qǐng)說明理由。5、已知關(guān)于；的一元二次方程1 '：I （：）的兩實(shí)數(shù)根1 1耀二為，若 I L,求匸的值6、實(shí)數(shù)匸、分別滿足方程1：.丨- .和l'J

29、-:-.，求代數(shù)式豹用+4刑+ 1n 的值答案與提示:一、填空題:1 提示：二一二 T， ._，,二一二-，. I01+羽）2-4卻鬲=4二-，解得：:-2、提示：h ，由韋達(dá)定理得:(2 +1 1 1_ fl+l解得：.一，代入檢驗(yàn)，有意義，.；-_1133、提示：由于韋達(dá)定理得：十第25頁共39頁第#頁共39頁_74、提示：由韋達(dá)定理得7 :一 _. _6575-"（-2）二??；（対+1）館+1）鈉丙+（舟+酊+1*2+尹=刁；由_7碼西飛，斤巧=2可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：設(shè)=10,列0,42；設(shè)勺|"1 亦 | = X乜嗎xj + X： JCjv0,溝0,則

30、*廠血=5、提示：由韋達(dá)定理得:6、提示：設(shè)-1 -，由韋達(dá)定理得：打4;. -二匚，-，解得：，二* _ _*丁，即，_：7、提示：設(shè)'i _- /，由韋達(dá)定理得：氣* j '，I勺二r2+雖+誥玄二4，/2-的，3w=A（2-向（2+筋）二18提示：設(shè)所求的一元二次方程為1 '11，那么: - :二，J |-二，即譏丨；.設(shè)所求的一元二次方程為：二-.、求值題:_31提示：由韋達(dá)定理得：'1,' I,，w-1詛° X 13麗（屮駢2硒廣一評(píng)導(dǎo)+2x21=72、提示：由韋達(dá)定理得：2 1（西+硏仇F）f=（評(píng)）陥+4x“廣（鈔嶺”如（一$嶋_

31、33、提示：由韋達(dá)定理得：.'1 ,一二 二，'. ' '. I 'i 1 1 '1 I '_ 1 'i 1 1 '_ I '. '. ' 33QQ=厲爲(wèi)）+鬲）厲+卅噸內(nèi)廣卜刀x（-XC-） -3x（-2） = -y4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為："'：,于是有陷必,，因此I :可看作方程1的兩根，即 I ;二-:，所以可得方程：'八.，解得：】T，I ，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是 3+/5， 3 - 怎w+15、提示：由韋達(dá)定理得廠一 :.'.i -"-,(朋J*

32、 彳嚴(yán)+1_"J，化簡得：二一11 ；解得：兀，"-；以下分兩種情況：W-l_當(dāng)，時(shí)，廠1，組成方程組:叭 +12 = 5(I)= 34_%二1(2)；解這個(gè)方程組得： 無二2；m-當(dāng)上一-時(shí)，”j ，二一-I，組成方程組:'珂+乃二-1xL - x3 = 1.® = 0解這個(gè)方程組得：陽二T6、提示：設(shè)和- -i| |相同的根為l；，于是可 得方程組：a2 +am + 4 = 0</-測(cè)-2）-16 = 0；+得：/+6 = 0,解這個(gè)方程得：.；.二 * I .;、二._13以下分兩種情況：（1）當(dāng)T 二時(shí)，代入得J J ；（ 2）當(dāng)為三時(shí), 代

33、入得<所以:：1.: I - 和- h I相同的根為:二 二'，匸的_13值分別為7一 ？，J - <三、能力提升題：1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備：判別式0;；二>0,：廠丄0;于是可得不等式組：（2七） 一 4t（t -1）工 0h.k解這個(gè)不等式組得：' > 12、提示：（1）j1/+（刑一2片 + 牌一3二02的判別式厶-4ac = (m2)，一 4（ 一衢一 3）2=泌-気+16 二（m-3） '>0,所以無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并根據(jù)已知條件可得：解這個(gè)關(guān)于'

34、：的方程組，可得到：二，由于亠2 ，所以可得2，解這個(gè)方程，可得：幽一I ,3、提示：可利用韋達(dá)定理得出j'j >o,m >o；于是得到不等式組：求得不等式組的解，且兼顧.!；即可得到匸.，再由、 1可得:接下去即可根據(jù),A = -(-2«) -Ax-mn= 04m匸 _ ，得至V忒一4，即：-：=44、答案：存在提示：因?yàn)椋钥稍O(shè)則=2為孔=3q(qhO)；由韋達(dá)定理得: 2鬲 + 心二-(4i-7) = 2a-h3a 加亦二 一P 二 2ax3a9,?；于是可得方程組：-(4t-7) = 5fl9蘭 F = 6/_7_解這個(gè)方程組得：當(dāng)"工時(shí)，二；

35、當(dāng)=巳時(shí)，'；所以廣的值有兩個(gè)：1.； -;5、提示：由韋達(dá)定理得：可+勺2（3-聞=2-召眄m,1 1 1 -_落二一+.，則'1-畫+孔2（3-豹）ws3,：；， 1 - ' ,即賈一；.，解得：二=26、提示：利用求根公式可分別表示出方程. .：；:.和l'J - .: -.的根：-99士的護(hù)4x19x12x1999士J9 護(hù)4x1x192x1 豹旳+ 4怖+12科二99± J99* 4x1x19 二 38堀，.舟二 1沏， 卑切莫忽視一元二次方程中的隱含條件安徽省亳州市利辛縣教育局督導(dǎo)室夏飛一元二次方程問題是初中代數(shù)之重點(diǎn)，也是中考之熱點(diǎn)。許多

36、同學(xué)在解題時(shí)， 由于對(duì)題目中的隱含條件重視不夠， 在平時(shí)作業(yè)或考試當(dāng)中往往出現(xiàn)錯(cuò)解。現(xiàn)將常見的錯(cuò)誤情況公布于眾，以期引起廣大師生的共同注意。錯(cuò)誤之一：忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0例1、已知關(guān)于：的一元二次方程的兩根為1、。問:a為何值時(shí)，珂|二忖|?誤解：關(guān)于丄的一元二次方程.丨一 .一.|的兩根為1、，根據(jù)題意，由求根公式得：-2(4-護(hù) + Ji6口 + ?2 -2丁4-/ - J16a + 32 -4J4-2(ti + 2)2縮+ M 一 勺 + 2"土2當(dāng)“土2時(shí)，同T可I。分析：既然.1 ” 丨- -.|是一元二次方程，那么這里就有一個(gè)隱含條件，即：_ . II，也就是二：2 ；

37、還有，方程中的一次項(xiàng)系數(shù)含有，這就意味著被開方數(shù)1.< :- II ,即一_，這也是題目中的一個(gè)隱含條件，綜合起來，即_ V；!二，而上述解答中就忽視了這個(gè)條件。另外，既然方程有兩個(gè)根，那么到底是兩個(gè)相等 的根還是兩個(gè)不相等的根呢？這得由判別式來確定，所以還應(yīng)求出判別式的值： 人：".一 +,由于所以可判定- '. I- '有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。而又因,即孫 1 -,由韋達(dá)定理得又由于 _ V L；匚，解得正確答案為：，-。例2、關(guān)于：的一元二次方程>-； +丨1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求'；的值.。誤解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， > 0,即_ 冷 X _

38、J" _冷'：" - '：'解之得：分析：: II ,即I二：時(shí)，原方程為一元一次方程。所以，正確的答案應(yīng)為：V 2,且；。錯(cuò)誤之二：忽視負(fù)的平方根和算術(shù)平方根的非負(fù)性例3、解方程：書 _- v :'_1誤解：':-丨，1一，分析：此解錯(cuò)就錯(cuò)在由（3誥一4二121到3x-4二11，忽視了平方根還有一個(gè)負(fù)的， 導(dǎo)致丟掉了一個(gè)解。正確的解為：-24葢十16 = 121心-野二 121,住 ±11_7原方程的解為：碼=$, 33例4、已知 -1是方程- J - <'的一根，求作以二和耳HI為根的一 元二次方程。誤解：

39、把/-1代入原方程，得、：二| 一 ；。解之得：r -, ,- o2當(dāng)V時(shí)，卍,所求的一元二次方程為 宀7+12二0；當(dāng)r _丨時(shí)，_， 1.1，-所求的一元二次方程為丁 一口分析：此解主要錯(cuò)在未考慮到：；二仁：巴二亠_ - ： _i I這一問題。因而，一 -應(yīng)舍去。 正解應(yīng)為：所求的一兀二次方程為-0+12 = 0。錯(cuò)誤之三：忽視結(jié)論的多解情況2k x fcv+1例5、若關(guān)于x的方程.、_廠只有一個(gè)解，試求'：的值與方程的解誤解：將原方程化簡，得：二”_-二二：II1T 當(dāng)！ II時(shí)，原方程有唯一解_分析：將原方程化簡，得：二” 二; II,應(yīng)分為兩種情況討論。_ 1 當(dāng)&

40、I.I時(shí)，原方程有唯一解-1 ; 當(dāng):八 時(shí)，方程：二” 一-二-:II的判別式為：兀-.>o方程-.-： : II總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，按題設(shè)原方程只有一個(gè)解，因此必有一根是原方程的增根，從原方程知道，增根只可能是使二I即丨或-1.顯然，0不是<：-I的根，故/1是此方程的根。將一 .代入 I 二 _ .:I 得： 1 ;因?yàn)橐桓?/_，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程二：II的另一根（應(yīng)用兩根之和或兩根之積結(jié)果相同），為：.1-,當(dāng) 一時(shí)，原方程也有唯一的解為丄 -.b +逢例6、已知必、b分別滿足/-2明盤-才二0和-2然b-/二0，則a b的值是 多少？誤解：由題意可知、：

41、應(yīng)是方程.：.、., - ! -（ ： , H ）的兩個(gè)根，1- ：-l". -, /" ,> 0,方程二_；】二:："'的兩根不等，根據(jù)韋達(dá)定理得：一：'，一;一：,:：1 ,b a（a +5） - 2ab 4滬 + 2/一 "一 =Jr .： i一茁：，:廣'分析：既然、一:分別滿足、 和7,上.!那么就有起-：這種情況，而上述解答看似很合理，卻忽視了二?這種情況。這其實(shí)是一個(gè)“陷阱”，應(yīng)必須考慮到匚這種情況。b_ + a在丫時(shí)有上述結(jié)論存在，而當(dāng)< - <'時(shí)，二：.-?'本題正確的解應(yīng)為或2那么弄丟這種存在情況的原因在哪里呢？主要是在于把.視為方程二 門CII ）的兩個(gè)根，這就自然而然地忽視了 ；門這種情況的存在了，因?yàn)镮的判別式在 ；II的情況下; = >/" >0，就沒有：二II的這種情況了。錯(cuò)誤之四：忽視二次方程的的取值2 .例7、已知關(guān)于丄的二次方程- - - - 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為 17,求的值。誤解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為匸、丨，由韋達(dá)定理得：丨；丨