初中數(shù)學幾何圖形的輔助線添加方法大全

1、學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流初中數(shù)學添加輔助線的方法匯總作輔助線的基本方法一：中點、中位線，延長線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線， 使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中， 有垂線或角的平分線， 可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等， 有時邊角互相配合，然后把圖形

2、旋轉(zhuǎn)一定的角度， 就可以得到全等形， 這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四: 造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流某一線段進行平移。故作歌訣： “造角、平、相似，和差積商見。 ”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往

3、是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切） ，或相離（內(nèi)含、外離） ，那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑， 半徑，那么輔助線是過直徑 （或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線

4、間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。一 添輔助線有二

5、種情況：1 按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們, 相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2 按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（ 1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線（ 2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問

6、題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（ 3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。（ 4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（ 5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位

7、線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（ 6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三

8、角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線（ 7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為 1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當出現(xiàn) 30，45，60，135，150 度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45 角直角三角形三邊比為1：1： 2；30 度角直角三角形三邊比為1：2： 3 進行證明（9）半圓上的圓周角如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流出現(xiàn)直徑與半圓上

9、的點，添90 度的圓周角；出現(xiàn)90 度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1. 三角形問題添加輔助線方法方法 1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法 2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件， 構(gòu)造出全等三角形， 從而利用全等三角形的知識解決問題。方法 3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法 4：結(jié)論是一條線段與

10、另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法， 所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段， 而另一部分等于第二條線段。2. 平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)， 所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理， 其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流（ 1）連對角線或平移對角線：（ 2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（ 3）連接對角線

11、交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（ 4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（ 5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等 .3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。 它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁， 梯形中常用到的輔助線有：（ 1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（ 2）梯形外平移一腰（ 3）梯形內(nèi)平移兩腰（ 4）延長兩腰（ 5）過梯形上底的兩端點向下底作高（ 6）平移對角線（ 7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（

12、8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（ 9）作中位線如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流當然在梯形的有關(guān)證明和計算中， 添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。 通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4. 圓中常用輔助線的添法在平面幾何中， 解決與圓有關(guān)的問題時， 常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此， 靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（ 1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通

13、過垂徑平分定理，來溝通題設與結(jié)論間的聯(lián)系。（ 2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角" 這一特征來證明問題。（ 3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直 " 這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題， 一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（ 5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流的弦聯(lián)系起來，

14、又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1：已知如圖 1-1 ：D、E 為 ABC內(nèi)兩點 , 求證 :ABACBD DECE.證明：（法一） 將 DE兩邊延長分別交AB、AC 于 M、N，在 AMN中， AMAN MDDENE;（1）在 BDM中， MBMDBD；（2）在 CEN

15、中， CNNECE；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEECAAGFMDENDEBCB圖1C圖1 12如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流1-2BDACFCEBFGABFGFCGDEABAFBDDGGF1GFFCGECE2DGGEDE3123ABAFGF FCDG GE BD DG GF GE CE DEAB AC BD DE EC2-1DABCBDCBACBDCBACAGEDBDCBACBFC圖21如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流證法一：延長 BD交 AC于點 E，這時 BDC是 E

16、DC的外角， BDC DEC，同理 DEC BAC， BDC BAC證法二：連接 AD，并延長交 BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD即： BDC BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。A三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的N線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖 3-1 ：已知 AD為 ABC的中線，且 1EF1234 2, 3 4, 求證： BE CFEF。CBD圖31分析：要證BECF EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定

17、理證明，須把 BE，CF， EF 移到同一個三角形中，而由已知 1 2， 3 4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF移到同一個三角形中。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流證明：在 DA上截取 DNDB，連接 NE，NF，則 DNDC，在 DBE和 DNE中：DNDB (輔助線的作法) 1 2(已知 ) ED ED (公共邊 ) DBE DNE （SAS） BENE（全等三角形對應邊相等）同理可得： CFNF在 EFN中 ENFNEF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECFEF。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線

18、段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖 4-1 ：AD為 ABC的中線，且 1 2， 3 4，求證：BECFEF證明：延長 ED至 M，使 DM=DE，連接CM，MF。在 BDE和 CDM中，AEF12 34CBD如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除M圖 41學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流BDCD (中點的定義 ) 1 CDM ( 對頂角相等 ) ED MD (輔助線的作法 ) BDE CDM （SAS）又 1 2， 3 4 （已知）1 2 3 4180°（ 平角的定義 ）3 2=90°

19、;，即 ：EDF90°FDM EDF 90°在 EDF和 MDF中EDMD (輔助線的作法 ) EDF FDM (已證 ) DF DF (公共邊 ) EDF MDF （SAS） EFMF （全等三角形對應邊相等） 在 CMF中， CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊） BECFEF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流例如：如圖 5-1 ：AD為 ABC的中線，求證：

20、ABAC 2AD。分析：要證 ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD 2AD，左邊A比要證結(jié)論多 BDCD，故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線，BDC把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長 AD 至 E，使 DE=AD，連接EBE，則 AE2ADAD為 ABC的中線 （已知）BDCD （中線定義）在 ACD和 EBD中BD CD (已證 )ADCEDB (對頂角相等 )圖51AD ED( 輔助線的作法 ) ACD EBD （SAS）EFABECA（全等三角形對應邊相等）在 ABE 中有： ABBEAE（三

21、角形兩邊BDC圖52之和大于第三邊） ABAC2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流練習：已知 ABC，AD是 BC邊上的中線，分別以 AB邊、 AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2 ， 求證 EF2AD。六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1 ：在 ABC中， ABAC，1 2，P 為 AD上任一點。求證： ABACA21PBPC。NPCDM分析：要證： AB AC PBPC，想到利用三 B 圖6 1 角形三邊關(guān)系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 ABAC，故可在 A

22、B上截取 AN等于AC，得 ABACBN， 再連接 PN，則 PCPN，又在 PNB中， PBPN BN，即： ABACPBPC。證明：（截長法）在 AB上截取 ANAC連接 PN , 在 APN和 APC中ANAC (輔助線的作法) 1 2(已知 ) AP AP(公共邊 ) APN APC （SAS）PCPN （全等三角形對應邊相等）在 BPN中，有 PBPNBN （三角形兩邊之差小于第三邊）BPPCABAC如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流證明：（補短法）延長 AC至 M，使 AMAB，連接 PM，在 ABP和 AMP中ABAM (輔助線的作法) 1 2(已知 )

23、AP AP (公共邊 ) ABP AMP（SAS）PBPM （全等三角形對應邊相等）又在 PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊)ABACPBPC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 7-1 ：已知 ACBD，ADAC于 A ，BCBD于 B，求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有 AD，BC 的三角形全等，有幾種方案： ADC與 BCD， AOD與 BOC， ABD與 BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長 DA，CB，它們的延長交于E點，EADACBC BD（已知） CAE DBE 90

24、° （垂直的定ABODC圖71如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流義）在 DBE與 CAE中E E(公共角 ) DBE CAE (已證 ) BD AC (已知 ) DBE CAE（AAS）EDEC EBEA （全等三角形對應邊相等）EDEAECEB即： ADBC。（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八 、連接四邊形的對角線， 把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 ：ABCD，ADBC求證： AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接 AC（或 BD）ABCD AD

25、BC （已知） 1 2， 3 4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在ABC與 CDA中AD1 324如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除BC圖8 1學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流1 2(已證 ) AC CA(公共邊 ) 3 4(已證 )ABC CDA （ASA）ABCD（全等三角形對應邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 9-1 ：在 Rt ABC中，ABAC， BAC90°， 1 2，CEBD的延長于 E 。求證： BD2CE分析：要證BD 2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時 CE與 ABC的平分線垂直，想到要將其延長。FAED12證明：分別延長BA，CE交于點 F

26、。BC圖91BECF（已知） BEF BEC90° （垂直的定義）在 BEF與 BEC中，1 2(已知 ) BE BE (公共邊 )BEFBEC (已證 )1 BEF BEC（ASA） CE=FE= CF（全等三角形對應邊2相等）如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流 BAC=90° BE CF （已知） BAC CAF90° 1 BDA 90° 1 BFC90° BDA BFC在 ABD與 ACF中BACCAF (已證 )BDABFC (已證 )ABAC (已知 ) ABD ACF（AAS）BDCF （全等三角形對應邊相等

27、） BD2CE十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖 10-1 ；AC、BD相交于 O點，且 ABDC，AC BD，求證： A D。分析：要證 A D，可證它們所在的三角形 ABO和 DCO全等，而只有 ABDC和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 ABDC，ACBD，若連接 BC，則 ABC和 DCB全等，所以，證得 A D。證明：連接 BC，在 ABC和 DCB中ADOBC圖101如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流ABDC (已知 ) AC DB (已知 ) BC CB(公共邊 ) ABC DCB (SSS) A D (

28、 全等三角形對應邊相等)十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1 ：ABDC， A D 求證： ABC DCB。分析：由 ABDC， A D，想到如取 AD的中點 N，連接 NB，NC，再由 SAS公理有 ABN DCN，故 BNCN， ABN DCN。下面只需證 NBC NCB，再取 BC的中點 M，連接 MN，則由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。問題得證。證明：取 AD，BC的中點 N、M，連接 NB，NM，ANDNC。則 AN=DN， BM=CM，在 ABN 和 DCN中AN DN (輔助線的作法 )已知BMCA)D(圖111AB已知)DC ( ABN

29、DCN （SAS） ABN DCNNB NC （全等三角形對應邊、角相等）在 NBM與 NCM中NB NC(已證 ) BMCM (輔助線的作法 ) NMNM (公共邊 )如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流 NMB NCM，(SSS) NBC NCB（全等三角形對應角相等） NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流巧求三角形中線段的比值例 1. 如圖 1，在 ABC中， BD：DC1： 3，AE： ED 2：3，求 AF：FC。解：過點 D作 DG/AC，交 BF于點 G所以 DG：FCBD：BC因為

30、BD：DC1：3所以 BD：BC1：4即 DG：FC1：4，F(xiàn)C4DG因為 DG：AFDE：AE又因為 AE：ED2：3所以 DG：AF3：2即所以 AF：FC：4DG 1：6例 2. 如圖 2，BCCD，AF FC，求 EF： FD解：過點 C 作 CG/DE交 AB于點 G，則有 EF：GCAF：AC因為 AFFC所以 AF：AC1：2即 EF：GC1：2，因為 CG：DEBC：BD又因為 BCCD所以 BC：BD1：2CG：DE1：2即DE2GC因為 FDEDEF所以 EF：FD小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處， 且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平

31、行。 請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！例 3. 如圖 3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流解：過點 B 作 BG/AD，交 CE延長線于點 G。所以 DF：BGCD：CB因為 BD：DC1：3所以 CD：CB3：4即 DF：BG3：4，因為 AF：BGAE：EB又因為 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3即所以 AF：DF例 4. 如圖4，BD：DC1： 3，AFFD，求EF ：FC。解：過點 D作 DG/CE，交 AB于點 G所以 EF：DGAF：AD因為 AFFD所以 AF：AD1：2圖 4即 EF：DG1：

32、2因為 DG：CEBD：BC，又因為 BD：CD1：3，所以 BD：BC1：4即 DG：CE1：4，CE4DG因為 FCCEEF所以 EF：FC1：7練習：1. 如圖 5，BDDC，AE：ED1：5，求 AF：FB。2. 如圖 6，AD：DB1： 3，AE：EC3： 1，求 BF：FC。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流答案： 1、1：10；2. 9：1如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難， 難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，

33、可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線， 等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線， 常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式， 移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)， 對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換， 尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上

34、面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算， 弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算， 勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦， 直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓， 各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓， 不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線， 切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。注意點如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，

35、對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關(guān)鍵， 平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線， 方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線， 可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看， 對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對稱性； b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線， 構(gòu)造對稱圖形 （如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，

36、一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。 至于選取哪種方法， 要結(jié)合題目圖形和已知條件。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流與角有關(guān)的輔助線EA（一）、截取構(gòu)全等ODC幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種F圖1-1B嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。 下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖 1-1 ， AOC=BOC，如取 OE=OF，并連接 DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證明線段、角相AED等創(chuàng)造了條件。例 1如圖 1-2 ，AB/CD，BE 平CBF分 BC

37、D，CE平分 BCD，點 E 在 AD上，圖1-2求證： BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線， 可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形， 同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明， 延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等， 延長要證明延長后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流簡證：在此題中可在長線段BC上截取 BF=AB，再證明 CF=CD，

38、從而達到證明的目的。 這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。 此題的證明也可以延長BE與 CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例 2 已知：如圖 1-3 ，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。 其它問題自已證明。ACEDB圖 1-3例 3已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2B,AD平分 BAC，求證： AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還A是證明線段的和差倍分問題。 用到的是截取E法來證明的，在長的線段上截取短的線段，B

39、CD來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？圖 1-4練習1已知在 ABC中， AD平分 BAC， B=2 C，求證： AB+BD=AC如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流2已知：在 ABC中，CAB=2B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC，求證： AE=2CE3已知：在 ABC中， AB>AC,AD為 BAC的平分線， M為 AD上任一點。求證： BM-CM>AB-AC4已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接 DB、DC。求證： BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作

40、垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。A例 1如圖 2-1 ，已知 AB>AD, BAC=FDAC,CD=BC。EBF求證： ADC+B=180C圖 2-1分析：可由 C 向 BAD的兩邊作垂線。近而證 ADC與 B 之和為平角。例 2如圖 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD=CBD。求證： BC=AB+ADA分析：過 D作 DEBC于 E，則 AD=DE=CE，則D構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段BCE圖2-2的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考與交流例 3 已知如圖 2-3 ， ABC的角平分線 BM、C N相交