函數(shù)與極限重點(diǎn)知識(shí)歸納.

1、常量與變量變量的定義我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)， 常常會(huì)遇到各種不同的量， 其中有的量在過(guò)程中不起變化我們把其稱之為 常量 ；有的量在過(guò)程中是變化的， 也就是可以取不同的數(shù)值， 我們則把其稱之為變量 。,注： 在過(guò)程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間 來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間 是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示稱閉區(qū)間axba ， b開區(qū)間a x b（ a， b）半開區(qū)間axb 或 ax b（ a，b 或 a ， b）以上我

2、們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：a ，+) ：表示不小于a 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+；(-， b) ：表示小于b 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：- x b；(-， +) ：表示全體實(shí)數(shù)R，也可記為：- x+注： 其中 - 和 +，分別讀作" 負(fù)無(wú)窮大 " 和 " 正無(wú)窮大 ", 它們不是數(shù) , 僅僅是記號(hào)。鄰域設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)， 且 0. 滿足不等式x - 的實(shí)數(shù) x 的全體稱為點(diǎn) 的 鄰域，點(diǎn) 稱為此鄰域的中心， 稱為此鄰域的半徑。函 數(shù)函數(shù)的定義如果當(dāng)變量與它對(duì)應(yīng)，則稱x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y 是 x 的函數(shù) 。 變

3、量 x 的變化范圍叫做這個(gè)y 按照一定的法則總有確定的數(shù)值函數(shù)的定義域。通常x 叫做 自變量 ，y 叫做 因變量 。表示注：為了表明y 是 x 的函數(shù)， 我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x) 等等來(lái)表示 . 這里的字母y 與 x 之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系 , 它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的."f"、"F"注： 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù) ，否則叫做 多值函數(shù) 。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的有界性如果對(duì)屬于某一區(qū)間 I 的所有 x 值總有 f(x) M 成立，其中 M是一個(gè)與 x 無(wú)

4、關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱 f(x) 在區(qū)間 I 有界，否則便稱無(wú)界。注意： 一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題： 函數(shù) cosx 在 (- ,+ ) 內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)隨著 x 增大而增大，即：對(duì)于(a,b) 內(nèi)任意兩點(diǎn) x及 x ，當(dāng) x112x 2 時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)增加 的。如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)隨著 x 增大而減小，即：對(duì)于(a,b) 內(nèi)任意兩點(diǎn)x 1 及 x 2，當(dāng)x1 x2 時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)減小 的。例題： 函數(shù)=x 2 在區(qū)間 (- ,0) 上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0

5、,+ ) 上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。注意： 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l ，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x 值都成立，則叫做 周期函數(shù) ， l 是的周期。注： 我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以 2 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx 是以 為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)，若變量y 在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y 0 時(shí)，變量x 在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0 與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量x 是變量y

6、的函數(shù) .這個(gè)函數(shù)用來(lái)表示，稱為函數(shù)的反函數(shù) .注： 由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若在 (a ， b) 上嚴(yán)格增 ( 減 ) ，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R 上確定，且嚴(yán)格增 ( 減).注：嚴(yán)格增 ( 減) 即是單調(diào)增 ( 減)例題：y=x2 ，其定義域?yàn)?- ,+ ) ，值域?yàn)?0,+ ). 對(duì)于y 取定的非負(fù)值, 可求得x=±.若我們不加條件，由y 的值就不能唯一確定x 的值，也就是在區(qū)間(- ,+ ) 上，函數(shù)不是嚴(yán)格增( 減 ) ，故其 沒(méi)有反函數(shù) 。如果我們加上條件，要求x0，則對(duì)y0、 x=就是 y=x 2 在要求x0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此

7、要求下嚴(yán)格增( 減 ).反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的。例題： 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的。如右圖所示：復(fù)合函數(shù)的定義若 y 是 u 的函數(shù)：，而 u 又是 x 的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y 通過(guò) u 的聯(lián)系也是x 的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u 叫做中間變量。注： 并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題： 函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于的定義域 (- ,+ ) 中的任何x 值所對(duì)應(yīng)的u 值（都大于或等于2

8、），使都沒(méi)有定義。初等函數(shù)函數(shù)函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱指a): 不論 x 為何值 ,y總數(shù)為正數(shù) ;函b): 當(dāng) x=0 時(shí) ,y=1.數(shù)a): 其圖形總位于 y 軸對(duì)右側(cè) , 并過(guò) (1,0) 點(diǎn)數(shù)b): 當(dāng) a 1 時(shí) , 在區(qū)間函(0,1) 的值為負(fù)；在區(qū)間數(shù)(- ,+ ) 的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增 .令 a=m/na): 當(dāng) m為偶數(shù) n 為奇冪數(shù)時(shí) ,y 是偶函數(shù) ;函a 為任意實(shí)數(shù)b): 當(dāng) m,n 都是奇數(shù)數(shù)時(shí) ,y 是奇函數(shù) ;這里只畫出部分函數(shù)圖形c): 當(dāng) m奇 n 偶時(shí) ,y在的一部分。(- ,0) 無(wú)意義 .三角( 正弦函數(shù) )函這里只寫出了正弦函數(shù)數(shù)反三(

9、 反正弦函角數(shù) )函這里只寫出了反正弦函數(shù)數(shù)a): 正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)b): 正弦函數(shù)是奇函數(shù)且a): 由于此函數(shù)為多值函數(shù) , 因此我們此函數(shù)值限制在 - /2, /2 上 ,并稱其為反正弦函數(shù)的主值 .初等函數(shù)由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為 初等函數(shù) .例題：是初等函數(shù)。雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)函數(shù)的名函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)稱a) ：其定義域雙曲為 :(-,+ ) ；正弦b) ：是奇函數(shù)；c) ：在定義域內(nèi)是單調(diào)增a) ：其定義域雙曲為 :(-,+ ) ；余弦b) ：是偶函數(shù)；c) ：其圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)；

10、a) ：其定義域?yàn)?:(-,+ ) ；雙曲b) ：是奇函數(shù)；正切c) ：其圖形夾在水平直線y=1 及 y=-1 之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx 與 thx 是奇函數(shù)， chx 是偶函數(shù)sinx與 tanx 是奇函數(shù)， cosx 是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a) ：反雙曲正弦函數(shù)其定義域?yàn)椋?-,+ ) ；b) ：反雙曲余弦函數(shù)其定義域?yàn)椋?,+) ；c) ：反雙曲正切函數(shù)其定義域?yàn)椋?-1,+1)；數(shù)列的極限數(shù)列若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2， ，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)

11、 n 對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1， a2 ， ， an ， 為 數(shù)列 .數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng) 。第 n 項(xiàng) an 叫做數(shù)列的 一般項(xiàng)或通項(xiàng).注： 我們也可以把數(shù)列an 看作 自變量為正整數(shù)n 的函數(shù)， 即： an=，它的定義域是全體正整數(shù)數(shù)列的極限一般地，對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n N 時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a 是數(shù)列的極限 ，或者稱數(shù)列收斂 于 a .記作：或注：此定義中的正數(shù) 只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與 a 無(wú)限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N 與任意給定的正數(shù) 是有關(guān)的，它是隨著

12、 的給定而選定的。注： 在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a 的一個(gè) 幾何解釋 ：將常數(shù)a 及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的 鄰域即開區(qū)間(a- ， a+ ) ，如下圖所示：因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n N 時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間 (a- ，a+ ) 內(nèi)，而只有有限個(gè) ( 至多只有 N個(gè) ) 在此區(qū)間以外。數(shù)列的有界性對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式 M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的 。定理： 若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注： 有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的

13、必要條件，但不是充分條件。例： 數(shù)列1 ， -1 ， 1， -1 ， ， (-1)n+1， 是有界的，但它是發(fā)散的。函數(shù)的極限函數(shù)的極值有兩種情況：a) ：自變量無(wú)限增大；b) ：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)A，就叫做 函數(shù)存在極值。函數(shù)的極限( 分兩種情況 )a): 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義 ：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小) ，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A 就叫做函數(shù)當(dāng) x時(shí)的極限，記作：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列與常數(shù) A存在函數(shù)與常數(shù) A任給一正數(shù) 0任給一正數(shù)

14、 0總可找到一正整數(shù) N總可找到一正數(shù) X對(duì)于 n N 的所有對(duì)于適合的一切 x都滿足 都滿足則稱數(shù)列當(dāng) x時(shí)收斂于A函數(shù)當(dāng) x時(shí)的極限為A記：記：b): 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限我們先來(lái)看一個(gè)例子.例： 函數(shù)函數(shù)在，當(dāng) x1 時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？x=1 處無(wú)定義 . 我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x1 時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出, 如下圖:從中我們可以看出x1 時(shí)， 2. 而且只要x 與 1 有多接近，就與 2 有多接近 .或說(shuō)：只要與 2 只差一個(gè)微量 ，就一定可以找到一個(gè) ，當(dāng) 時(shí)滿足定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且

15、存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的 ( 不論其多么小) ，總存在正數(shù) ，當(dāng)0 時(shí)， 則稱函數(shù)當(dāng) xx0 時(shí)存在極限，且極限為A，記：注： 在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙x0 的過(guò)程，與x=x 0 出的情況無(wú)關(guān)。此定義的核心問(wèn)題是：對(duì)給出的 ，是否存在正數(shù) ，使其在去心鄰域內(nèi)的x 均滿足不等式。用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為A ，其證明方法是：a): 先任取 0；b): 寫出不等式 ；c):d):解不等式能否得出去心鄰域 0則對(duì)于任給的 0，總能找出 ，當(dāng) ，若能；0 時(shí)， 成立，因此函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知xx0( 或x ) 時(shí)，.則：推論：在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把

16、一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。例題： 求解答：例題： 求此題如果像上題那樣求解， 則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在 . 我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的 分子和分母都沒(méi)有極限 ，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來(lái)。解答：注： 通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒(méi)有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。無(wú)窮大量和無(wú)窮小量無(wú)窮大量我們先來(lái)看一個(gè)例子 ：已知函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無(wú)窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在 x=x 0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N( 一個(gè)任意大的數(shù))

17、，總可找到正數(shù) ，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為 無(wú)窮大量 。記為：（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x時(shí)，無(wú)限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng) x 充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N( 一個(gè)任意大的數(shù)) ，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x時(shí)是 無(wú)窮大量 ，記為：無(wú)窮小量以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量 。定義： 設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù) ( 不論它多么小) ，總存在正數(shù) ( 或正數(shù)M) ，使得對(duì)于適合不等式( 或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)( 或x ) 時(shí)為無(wú)窮小量.記作：( 或)注意 ：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0

18、可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于 0.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理定理一： 如果函數(shù)在( 或 x ) 時(shí)有極限A，則差是當(dāng)( 或 x ) 時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。定理二： 無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理a) ：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；b) ：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；c) ：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量.無(wú)窮小量的比較定義： 設(shè) ， 都是時(shí)的無(wú)窮小量，且 在 x 0 的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a) ：如果，則稱 是 的高階無(wú)窮小或 是 的低階無(wú)窮?。籦) ：如果，則稱 和 是同階無(wú)窮小 ；c)

19、：如果，則稱 和 是等價(jià)無(wú)窮小，記作： ( 與 等價(jià))例：因?yàn)?，所以?dāng)x0 時(shí)， x 與 3x 是同階無(wú)窮??；因?yàn)?，所以?dāng)x0 時(shí)， x2 是 3x 的高階無(wú)窮?。灰?yàn)?，所以?dāng) x0時(shí)， sinx 等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)與 x 是等價(jià)無(wú)窮小設(shè)，且存在，則.注： 這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。例題： 1. 求解答： 當(dāng) x0時(shí)， sin ax ax， tan bx bx，故：例題：2. 求解答：( 代換只能在 積商 時(shí)使用 )注：?jiǎn)?代換是否只可以x0 時(shí)的極限使用?注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無(wú)窮小變換時(shí)，要代

20、換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量x 從它的一個(gè)初值x1 變到終值x2 ，終值與初值的差x 2-x 1 就叫做 變量 x 的增量 ，記為：x即： x=x 2-x 1 增量 x 可正可負(fù) .我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn) x 0 的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x 在領(lǐng)域內(nèi)從x 0 變到 x0 +x 時(shí)，函數(shù)y 相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng) x 趨向于零時(shí)， 函數(shù) y 對(duì)應(yīng)的增量y 也趨向于零，即：那末就稱函數(shù)在點(diǎn) x 0 處連續(xù)函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) x0

21、 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù) ，且稱 x0 為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn) .下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b 左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn) a 右連續(xù) .一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù) , 則為在 (a,b)連續(xù)，若又在a 點(diǎn)右連續(xù)，b 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間 a ， b 連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù) 。注： 一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù)

22、.注： 連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了， 同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？函數(shù)的間斷點(diǎn)定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn) .它包括三種情形：a) ：在 x0 無(wú)定義；b)：0在 xx 時(shí)無(wú)極限；c)：在 xx0 時(shí)有極限但不等于間斷點(diǎn)的分類我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0 是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把 x0 稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)若 x 0 是函數(shù)的間斷點(diǎn)， 但極限存在，那末 x 0 是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0 稱為 可