高中物理競賽培訓第十五講 機械振動和機械波

1、高中物理競賽培訓第十五講 機械振動和機械波知識點擊1簡諧運動的描述和基本模型 簡諧振動的描述：當一質點，或一物體的質心偏離其平衡位置x，且其所受合力F滿足，故得，則該物體將在其平衡位置附近作簡諧振動。簡諧運動的能量：一個彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構成，即簡諧運動的周期：如果能證明一個物體受的合外力，那么這個物體一定做簡諧運動，而且振動的周期，式中m是振動物體的質量。彈簧振子：恒力對彈簧振子的作用：只要m和k都相同，則彈簧振子的振動周期T就是相同的，這就是說，一個振動方向上的恒力一般不會改變振動的周期。多振子系統(tǒng)：如果在一個振動系統(tǒng)中有不止一個振子，那么我們一般要找振動系統(tǒng)的等效

2、質量。懸點不固定的彈簧振子：如果彈簧振子是有加速度的，那么在研究振子的運動時應加上慣性力單擺及等效擺：單擺的運動在擺角小于50時可近似地看做是一個簡諧運動，振動的周期為，在一些“異型單擺”中，的含義及值會發(fā)生變化。（6）同方向、同頻率簡諧振動的合成：若有兩個同方向的簡諧振動，它們的圓頻率都是，振幅分別為A1和A2，初相分別為和，則它們的運動學方程分別為 因振動是同方向的，所以這兩個簡諧振動在任一時刻的合位移仍應在同一直線上，而且等于這兩個分振動位移的代數(shù)和，即由旋轉矢量法，可求得合振動的運動學方程為這表明，合振動仍是簡諧振動，它的圓頻率與分振動的圓頻率相同，而其合振幅為合振動的初相滿足2機械波

3、：（1）機械波的描述：如果有一列波沿x方向傳播，振源的振動方程為y=Acost，波的傳播速度為，那么在離振源x遠處一個質點的振動方程便是，在此方程中有兩個自變量：t和x，當t不變時，這個方程描寫某一時刻波上各點相對平衡位置的位移；當x不變時，這個方程就是波中某一點的振動方程（2）簡諧波的波動方程：簡諧振動在均勻、無吸收的彈性介質中傳播所形成的波叫做平面簡諧波。如果一列簡諧波在平面內(nèi)，以波速u沿軸正方向傳播，振源（設其位于坐標原點）的振動方程為，由于波是振動狀態(tài)的傳播，故知坐標原點的振動狀態(tài)傳播到離振源處要滯后的時間。這表明若坐標原點振動了t時間，x處的質點只振動了的時間，于是x處振動質點的位移

4、可表為 顯然，上式適用于表述ox軸上所有質點的振動，它就是平面簡諧波的波函數(shù)，也常稱為平面簡諧波的波動方程。同理，如果簡諧波沿ox軸負方向傳播，則波函數(shù)為為了加深對波函數(shù)物理含義的理解，下面以為例做討論。當時（好似用攝像機對著坐標為這一質點進行拍攝），則。它表示的是坐標為的質點在不同時刻的位移，即該處質點的振動方程。當時（好似用照相機對一組質點在時刻進行照相），則。它表示在給定的時刻各質點的位移分布情況，相應的圖像稱為時刻的波形圖。3波的干涉和多普勒效應波的疊加：幾列波在同一介質中傳播時，在它們相遇的區(qū)域內(nèi)，每列波都將保持各自原有的頻率、波長和傳播方向，并不相互干擾波的這種性質叫做波的獨立性因

5、此在幾列波重疊的區(qū)域內(nèi)，每個介質質點都將同時參與幾列波引起的振動，每個質點的振動都是由幾個分振動合成的故在任一時刻，每個質點的位移都是幾列波各自的分振動引起的位移的矢量和這種現(xiàn)象稱為波的疊加波的干涉：兩列頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。兩列相干波傳到同一個區(qū)域，可使某些位置的質點振動加強，某些位置的質點振動減弱，而且振動加強和振動減弱的區(qū)域相互間隔，這種現(xiàn)象叫做波的干涉。多普勒效應：當聲源和觀察者之間存在相對運動時，會發(fā)生收聽頻率和聲源頻率不一致的現(xiàn)象該種現(xiàn)象神稱為多普勒效應為了簡單，這里僅討論波源或觀察者的運動方向與波的傳播方向共線的情況設波速為，波的頻率為，接收到的頻率為

6、：（a）觀察者以速度u向波源運動：(b)波源以速度向觀察者運動：(c)波源和觀察者都運動：根據(jù)簡諧振動的基本模型和各種變形的振動模型，求振動周期是振動問題的一種基本類型，解題中要注意簡諧振動的動力學特征或的形式，從中得出有關等效量。 例1一簡諧運動的系統(tǒng)如圖71所示，不計一切摩擦，繩不可伸長，m1、m2及彈簧的勁度系數(shù)k已知求m2上下振動的周期。分析和解：本題是一個彈簧振子的變式模型，解題時要根據(jù)受力分析由牛頓運動定律得出振動的動力學特征，然后由周期公式就可求出其振動周期設某一時刻彈簧伸長，繩上張力是FT。 分析m1： 分析m2：消去FT：，假設振子平衡時彈簧伸長，此時m1、m2的加速度為零，

7、則有設m1偏離平衡位置的位移為，則 將代入式，可得 所以這個振子系統(tǒng)的等效質量是，周期為波的干涉問題大多是問題簡單，解答繁復，根據(jù)矢量疊加原理和波的干涉特征，大多產(chǎn)生多值問題，在處理這類問題時，一般先不急于代人數(shù)據(jù)，文字運算有助于從物理意義角度思考問題例3如圖73所示，在半徑為45 m的圓形跑道的P點和圓心Q點各有一個相同的揚聲器，發(fā)出的都是波長10 m的完全相同的聲波，一個人從直徑PH的H點出發(fā)，沿逆時針方向繞圓周走一圈，問他離開H點后，到達P點前共聽到幾次最弱的聲音？分析和解：本題是根據(jù)波的干涉原理來解決聲波干涉的現(xiàn)象，解題時可從波程差和振動加強或減弱的條件出發(fā)。如圖74所示，設人走到圓弧

8、上的A點處，APH=，則P、Q兩點波源到A的路程差S滿足：S2Rcos­R考慮人的運動范圍，對于，有， 為使人能聽到最弱的聲音，S又應滿足： 結合，將R=45 m， =10 m代入，得到N=0，±1,±2,±3,±4,­5時，人能聽到最弱的聲音，共10次。波動問題的最大特征就是其多解性，包括速度的正負方向，距離相差整數(shù)倍波長時振動的完全等效，都應仔細考慮，在處理這類問題時，一般應先求出產(chǎn)生多解量的表達式，然后通過文字運算得到所求量的表達式，最后根據(jù)有關物理意義確定題解。例4圖75中的實線和虛線分別表示沿軸方向傳播的正弦波t=0和t=1

9、s時刻的波形。 （1）求該波的頻率和波速； （2）寫出X=0及X=1 m處的質點振動方程。分析和解：本題的特點是波的傳播方向不確定和周期的不確定（或距離相差整數(shù)倍波長時振動的完全等效）形成多解。 （1）由題給圖象可知，如果波向x正方向傳播，則兩時間間隔內(nèi)該機械波可能向前傳播了，其中n=0，1，2，3，同理，如果波沿x軸負方向傳播, （2）如果波向x軸正方向傳播，則有x=0時，x=lm時，同理，如果波向x軸負方向傳播，則有x=0時，x=1時，等效擺的問題也簡諧振動的另一基本模型單擺的變形模型，求振動周期時一般考慮等效擺長和等效重力加速度，但對于剛體構成的復擺，其等效量的計算往往要考慮質心及剛體的

10、轉動慣量才能簡化解題過程。 例5如圖76所示，由勻質金屬絲做成的等腰三角形可在圖示平面內(nèi)作小振幅振動在位置（a）和（b）的情形，長邊是水平的所有三種情形的振動周期均相等試求出該周期分析和解：該題中，懸掛的三角形架為一復擺，而復擺的周期公式為，對象是剛體，I為剛體對懸點的轉動慣量，h為質心與懸點間的距離另外，題中得出兩位置相異、周期相同的置點與質量心間的距離S1、S2滿足，與m，I無關，這是一個非常重要的結論。如圖77，設三個懸點分別距金屬架Sa，Sb，Sc，對于懸掛點距質心為S的復擺的周期T，討論如下： 其中Io為系統(tǒng)繞質心的轉動慣量。將式視為一關于S的一元二次方程，則當T為一確定G位于AC的中點，Sa=Sc=5cm，式的兩解為Sa=5 cm，Sb=21. 6 cm即類型五、多普勒效應的問題是波源或觀察者的運動與波的傳播三者間的相對運動的問題，一般地說可化為行程問題來解，但解題過程會比較復雜，所以直接用推導得出的公式比較簡單。 例6一個人站在廣場中央，對著甲、乙、丙三個伙伴吹哨子（頻率），甲、乙、丙距廣場中央都是100m遠，且分別在廣場中央的南東北面，第四個