利用導數(shù)研究含參數(shù)不等式

1、全國名校高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)專題匯編(附詳解)當 x>0 時，xf(X) f(x)<0，則使1.設(shè)函數(shù)f'x)是奇函數(shù)f(x)(x R)的導函數(shù)，f( 1)= 0, 得f(x)>0成立的X的取值范圍是()B.(1, 0) U (1 ,+8 )因為f(x)為奇函數(shù)，所以 g(x)為偶函數(shù),A . ( s, 1)U (0, 1)所以g(x)的圖象的示意圖如圖所示.當 x>0, g(x)>0 時，f(x)>0, OvXV 1,當 XV 0, g(x)v 0 時，f(x)>0, XV 1,1) U (0, 1)，故選 A.所以 使得f(x)> 0成立的X

2、的取值范圍是(一s,412.已知函數(shù) f(x) = x+ X, g(x)= 2%+ a，若？冷乜21 ?X2 2 , 3,使得f(xi)> g(X2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A. aw 1g (x) min = 4 + a ,解析：選 A.由題意知 f(X)min(x 1, 1卜 g(X)min(x2 , 3)，因為 f(x)min = 5 ,所以5> 4+ a，即aW 1，故選A.ln X3.(優(yōu)質(zhì)試題 貴州適應性考試)已知函數(shù)f(x)= ax ex(a R), g(x)=X(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；？X0 (0 ,+s )，使不等式f(x) w g(x) ex成立，求a

3、的取值范圍.解：(1)因為刈=a ex, xR.當aw 0時，f'(X)V 0, f(x)在R上單調(diào)遞減;當 a> 0 時，令 f' x(= 0 得 x = In a.由f'x) > 0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一s, In a);由f'x) < 0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(In a ,+s).因為？X0(0，+s),使不等式 f(x) J g(x) ex,則axw ，即a J與xx設(shè)h(x)="爭，則問題轉(zhuǎn)化為aJxxmax,1 2ln x由 h'x) =x3令 h' X)= 0，貝U x當x在區(qū)間(0,+)內(nèi)變

4、化時，h(x), h(x)的變化情況如下表:x(0，說)心+ s )h'(x)+0一h(x)單調(diào)遞增1極大值2e單調(diào)遞減1 1由上表可知，當x=/e時，函數(shù)h(x)有極大值，即最大值為.所以aJ舄4.(優(yōu)質(zhì)試題 高考全國卷n )設(shè)函數(shù)f(x) = (1 x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；當x>0時，f(x) <ax+1,求a的取值范圍.解：(1)f'x) = (1 2x x2)ex.令 f'x) = 0 得 x= 1 V2, x= 1+說.當 x (s, 1 炯時，f'(x)<0 ;當 x ( 1 72, 1 + /2)時，f'(

5、x)>0;當 x ( 1 +近,+ s)時，(刈<0.所以f(x)在(s, 1 寸2), ( 1 + 72,+ s)上單調(diào)遞減，在(一 1 一寸2, 1+(2)上單調(diào)遞增.(2)f(x) = (1+ x)(1 x)ex.當 a> 1 時，設(shè)函數(shù) h(x)= (1 x)ex, h'(x)= xex<0(x>0)，因此 h(x)在0,+s)上單調(diào)遞減,而 h(0) = 1,故 h(x) w 1 所以 f(x) = (x+ 1)h(x) w x+ 1 < ax+1.當 o<a<1 時，設(shè)函數(shù) g(x) = ex x 1, g'(x) =

6、 ex 1>o(x>o),所以 g(x)在o, +8)上單調(diào)遞增,而 g(0) = 0,故 ex>x+ 1.當 o<x<1 時，f(x)>(1 x)(1 + x)2, (1 x)(1 + x)2 ax 1 = x(1 a x x2),取 xo=H'一2則 xo qo, 1), (1 xo)(1 + xo) axo 1 = 0，故 f(xo)>axo + 1.當 aw o 時，取 xo5，貝y xoqo, 1), f(xo)>(1 xo)(1 + xo)2= 1>axo+ 1.綜上，a的取值范圍是1，+ 8).a1 2 x x1.已知

7、函數(shù) f(x)= x (a+ 1)ln X x(a R), g(x)=+ e xe (1)當x 1 , e時，求f(x)的最小值；當a<1時，若存在X1 e, e2，使得對任意的x2 2, o, f(X1)<g(x2)成立，求a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域為(o，+ 8),(x 1)( x a) f'(x) = 當 aw 1 時，x1 , e, f'(x)o, f(x)為增函數(shù)，f(x)min = f(1) = 1 a.當1<a<e時,xq1 , a時，f'(x)w o, f(x)為減函數(shù);xqa, ep, f'(x)>o

8、, f(x)為增函數(shù);所以 f(x)min = f(a)= a (a+ 1)ln a 1.當 a> e 時，x1 , e時，f'(x)w o, f(x)在1 , e上為減函數(shù).f(x)min = f (e)= e (a + 1) e.綜上，當 aW 1 時，f(X)min = 1 a；當 1<a<e 時，f(x)min = a (a+ 1)ln a 1;由題意知f(x)(x e, e2)的最小值小于 g(x)(x 2, 0)的最小值.由知當a<1時f(x)在e, e2上單調(diào)遞增,a f(x)min = f(e)= e (a + 1) e.eg'(x) =

9、 (1 ex)x.當 x 2, 0時，g'(x)w 0, g(x)為減函數(shù),g(x)min = g(0) = 1 ,a所以 e (a+ 1) -<1, e即a>e2 2ee+ 1f2 c 、所以a的取值范圍為e 2e,1le+1丿2.(優(yōu)質(zhì)試題 蘭州模擬)已知函數(shù)f(x) = ax2 + bx+xin x的圖象在(1, f(1)處的切線方程為3xy 2 = 0.(1)求實數(shù)a, b的值;設(shè)g(x)= x2 x，若k Z,且k(x 2)<f(x) g(x)對任意的x>2恒成立，求k的最大值.解：(1)f'x) = 2ax +b+ 1 + in x,所以 2

10、a + b+ 1 = 3 且 a+ b= 1,解得 a= 1, b = 0.f (x) g (x)x+ xln x由(1)與題意知k<=對任意的x>2恒成立,x 2x 2x+ xln xx 4 2ln x設(shè) h(x) =(x>2)，貝U h'x)=x 2(x 2)2 x一 2令 m(x) = x 4 2ln x(x>2)，貝U m'x) = 1 一=>0，所以函數(shù) m(x)為(2,+ )上的增函x x數(shù).因為 m(8) = 4 2ln 8 < 4 2ln e2= 4 4= 0, m(10) = 6 2ln 10 > 6 2ln e3= 6 6= 0,所以函數(shù)m(x)在(8, 10)上有唯一零點X0,即有X0 4 2ln X0= 0成立,(X0-4、x0 1 +X0 2故當 2v XV X0 時，m(x) < 0,即 h'x)v 0