常微分方程初值問題答案

1、1.（10分）對常微分方程初值問題=一(lxy(0) = 1(0<x<l)取步長/? = 0丄 分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kuila法作數(shù)值訃算，寫出公式和簡要推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：（1）改進(jìn)的Euler方法：代入公式得兒4=0.905兒，即凡=0.905"2分(2)標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta方法j兒+1 =凡 + 字& +2/C, +2*3 +匕)=0.9048375兒 0匕=一兒d = 一(兒 +0.05處)=一0.95 兒3=-(兒+0.05© = -0.9525 兒玄4=一(兒+0.蟲)=一0.90475 兒

2、即兒=0.9048375"（4分）斗改進(jìn)的Euler法兒經(jīng)典四階R-K法兒準(zhǔn)確值y（xj0. 10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820.74081820.40.67080200.67032030. 67032000.50.60707580.60653090. 60653070.60.54940350.54881200. 54881160.70.49721020.49658560. 49658530.80.44997530.44932930. 44932900.90.

3、40722760.40657000. 4065697L00.36854100.36787980.36787942.對常微分方程初值問題(ly I=一一ydx 2y(0) = 1(0<x<l)取步長/? = 0丄 分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kuila法作數(shù)值訃算，寫出公式和推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：（1）改進(jìn)的Euler方法：代入公式得兒4=0.95125兒，即兒=0.95125”（2分）（2）標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutla方法j=凡 + 字 & + 2*2 + 2匕 + 可=0.951219兒 0即兒=0.95145314"（4分）匕

4、=-兒/2込=_（幾 + 0.05k|）/2 =-0.4875 兒匕=一（兒 + 0.05妬）/ 2 = -0.4878125兒jtq =-（兒+0"3）/2 = -0.47622兒斗改進(jìn)的Euler法兒經(jīng)典四階R-K法兒準(zhǔn)確值y（兀）0. 10.9512500.9512190. 9512290.20.9048770.9048180. 9048370.30. 8607640.8606970. 8607080.40. 8188020.8186950.8187310.50. 7788850.7787580. 7788010.60.7409140.7407700. 7408180.70.7

5、047950. 7046340. 7046880.80.6704360.6702610. 6703200.90. 6377520.6375650.6376281.00. 6066620.6064640.606531（10分）數(shù)值分析復(fù)習(xí)題一、填空題1. 絕對誤差限=束位的一半+單位，相對誤差限=絕對誤追限/原值*100%1. 度量一根桿子長250厘米，則其絕對誤差限為,相對誤差限是O,測量的相對誤差限2. 測量一支鉛筆長是16cm,那么測量的絕對誤差限是_是。,相對誤差限3. 稱量一件商品的質(zhì)量為50千克，則其絕對誤差限為是O2. 利用平方差的方法 4在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)"是較大的正數(shù)時(shí)

6、計(jì)算-石應(yīng)變成.5.在數(shù)值計(jì)算中，計(jì)算6-后應(yīng)變成來訟算。6.在數(shù)值計(jì)算中計(jì)算1-COS3應(yīng)變?yōu)閬碛囁?3f的位數(shù)與f(x)的垠高次柑同的話，就是最高位的常數(shù)，大于的話為0 7.若/Cr) = 2x'-7+9疋-2X + 100.則/1,44444'= /1333333"=&函數(shù)/(X)關(guān)于三個(gè)節(jié)點(diǎn)xz/2的拉格朗日二次插值多項(xiàng)式為.3f(x=f(xO)(xx 1 )(xx2/(xOx 1 )(x0x2l 4S,(/,%) = Lf <k/n) Pk(x)=x 9.當(dāng) fM = x時(shí)，B"x) =KX代數(shù)式“) = 1A + 2x + 31 O

7、Xj 3x 一 X3 = 1IL已知方程組-2%,+7x,+3x3=2 ,那么收斂的Jdco加迭代格式為:Xj + 一 11"丫3= 5,收斂的G-S迭代格式為:收斂理由是嚴(yán)格對角Ji優(yōu)矩陣'3 -11 f"1"12.已知線性方程組9-3 2£=3_4 -I 8_尤34那么收斂的Jacobi迭代格式:12化為線性方程2調(diào)整排序收斂的GS迭代格式:收斂理由是嚴(yán)恪對角占優(yōu)矩陣X它是插值型13.求積公式人=工4/(孔)至少有n次代數(shù)精度的充要條件是當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，牛頓柯特斯公式人)至少有+1_P1O3次代 數(shù)精度:2n+l_P116次代數(shù)精度。高斯求枳公

8、式1 fx)p(x)dx Q若A/g)至少有,14 設(shè) 4 =杯，則矩陣A的特征值的界為 (22)與7的和、差為界,矩陣A"的特征值的界為界的倒數(shù)制L=max (l<=i<=n)£ (j(l,n) laij等價(jià)于每一列中最大值的和=max (l<=j<=n)L(iCl.n)|aij!等價(jià)于毎一行中最大值的和A,=作業(yè)第五章12PI16"3""-12,x =-1-35_4_15.已知A =,那么A服 III =其中相等的范數(shù)有.二、判斷題1如果插值節(jié)點(diǎn)勺，環(huán)，人互不相同.則滿足插值條件的"次插值多項(xiàng)式是存在且唯一

9、。2.迭代改善法能夠解決一切方程組的病態(tài)問題。3. 區(qū)間匕切I:的三次樣條插值函數(shù)SCO在仏切匕具有直到三階的連續(xù)函數(shù)。(4已知A =-I 2.5一3 -3.55.求解的近似值，我們能用函數(shù)逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛頓法來完成。6.插值法是函數(shù)逼近、數(shù)值微分和微分方程數(shù)值解的基礎(chǔ)。7,&在使用松弛法(SOR)解線性代數(shù)方程組AX=b時(shí)，若松弛因子Q滿足6?-1 >1.則迭代法一泄不收斂。9.求解單變量非線性方程/(%) = 0,弦截法具有1.618階收斂，拋物線法具有1.840階收斂,1)牛頓法具有2階收斂。10,常微分方程初值問題數(shù)值解法的理論根據(jù)是函數(shù)的泰勒

10、展開。1L解單變量非線性方程/(%)=0,牛頓法在單根附近具有2階收斂，若再用Steffensen迭代法，則為3階收斂。三、il算解答題和證明題1、已知函數(shù)表如下:X0002040.608L00001.22141.49181.82212,2255構(gòu)造差分表，用三點(diǎn)牛頓插值多項(xiàng)式，求嚴(yán)2和/"的近似值。1 列出牛頓的插值表2Px=f (xO) +P322、用適當(dāng)?shù)亩尾逯刀囗?xiàng)式求Ink 14和lnl88,并估計(jì)誤差，函數(shù)表如下:XLI13L51.719Inx0.09530.26240.40550.53060.64193、試用最小二乘法求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)，并求出均方誤差，某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

11、如下:P75(1)7521-14、二分法求根作業(yè)第七章1(1)方程- 3 = 0在山2附近的根，使絕對誤差不超過0.01 (絕對誤差估計(jì)式:b-a<_ 2訕方程f(x) = x + x-3x-3在厲2附近的根，使絕對誤差不超過001;方程+2兀-1 = 0在21附近的根，使絕對誤差不超過O.Olo第六章5、用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M:4X| + 22 + 4*3 = 4(1)« 2%| +10%2 +5%3 = 11；524X| +52 + 21兀3 =9"3 10""4"1 31Xq=5_0 13.4作業(yè)第四章146、寫出復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛

12、普生公式、復(fù)合柯特斯公式及龍貝格公式之間的關(guān)系，并用 龍貝格方法il算積分,誤差限不超過10-3。7、寫出復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普生公式、復(fù)化柯特斯公式及龍貝格公式關(guān)系式，并訃算積 分Cos.Mx,已知7； =-34.778519, 7； =-17.389259, 7； =-13.336023 7； =-12.3821628、設(shè)方程組7x _牙，+2尤3_3兀,=_92x +X.+10%, -X, =6丁 CC，寫出人"O仞迭代法和G-S迭代法的迭代格式._召 _8x,+3X3 _尤4 =03x, X2+2x -9%4 = 10并證明它們是收斂的。9、對常微分方程初值問題dy = _y

13、dxy(O) = I (0<x<l)</y _ 0=2 V Sdxy(0) = l (0<A<l)/v1 =ydx2y(0) = 1(0<x<I)取步長/? = 0丄 分別用Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutla法作數(shù)值il算，列表寫出結(jié)果,并與準(zhǔn)確值比較。10、求屁？，至少用三種方法求值，并簡要敘述求解過程。11、設(shè)A是正交矩陣，證明CM(A)2 = 1。12、(1)當(dāng) /(%) = % 時(shí)，B,f,x) = x :(Ag) = £Ag+gA/i(3如果A是正交陣，則cond(A),=.13、證明：適當(dāng)選取待世參數(shù)4.求積公式/(兀

14、皿/(0) + /(力)+腫/(0)-/(力)的代數(shù)精度可達(dá)到川=3° j()214、試證明：適當(dāng)選取待；4參數(shù)人門A，人2,求積公式£ /(Q厶y AJ(0) + ?VG) + A(2")的代數(shù)精度可達(dá)到用=2。15、證明Chebyshev多項(xiàng)式7；(x)滿足微分方程(-x-)T(x)-xT(x) + n-T(x) = 0.16、已知方陣4 =(1) 證明：A不能分解成一個(gè)單位下三角陣厶和一個(gè)上三角陣U的乘積:(2) 試通過交換A的行.進(jìn)行ZZ/分解。二課本習(xí)題1.每章的“復(fù)習(xí)打思考題” 2 P4& 24&16;P9471(U31619:P135

15、.L14:P1767&9J 0,139.20:P209.12P23&13712:P275.12P315.1410.1.(10分)對常微分方程初值問題dv = -y(IXy(0) = 1(0<x<l)取步長/? = 0丄 分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kuila法作數(shù)值訃算，寫出公式和簡要推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：(1)改進(jìn)的Euler方法：代入公式得y訕=0.905兒，即凡=0.905"2分<2)標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutia方法j兒+1 =兒 + 字& +2k, +2& +心=0.9048375兒 0k嚴(yán)-

16、兒£ =一(兒+00北)=一0.95 兒*3 =-(兒 +0.05© = -0.9525 兒玄4=一(兒+0譏3)= -0.90475 兒即兒=09048375"(4分)改進(jìn)的Euler法兒經(jīng)典四階R-K法兒準(zhǔn)確值y(兀)0. 10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820. 74081820.40.67080200.67032030. 67032000.50.60707580.60653090. 60653070.60.54940350.548812

17、00. 54881160.70.49721020.49658560. 49658530.80.44997530. 44932930. 44932900.90.40722760.40657000.40656971.00.36854100.36787980.36787942.對常微分方程初值問題2取步長/? = 0丄 分別用改進(jìn)的Euler法和標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kuila法作數(shù)值訃算，寫出公式和推導(dǎo)過程，并把結(jié)果填入表內(nèi)。解：(1)改進(jìn)的Euler方法：代入公式得兒+嚴(yán)0.95125兒，即兒=0.95125"(2分)(2)標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta方法j 兒+1 =兒 + 字 & + 2 匕 +R J = 0.951219兒0&=-川2即兒=0.95145314"(4分)柑=一(兒 + 0.05«) / 2 =-0.4875 兒ky = 一(兒 + 0.05£ )/2 = -0.4878125兒心=一(兒+0"3)/2 = -0.47622兒改進(jìn)的Euler法兒經(jīng)典四階R-K法兒準(zhǔn)確值y(兀)0. 10.95