平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面向量的極化恒等式及其應(yīng)用一.極化恒等式的由來(lái)定理：平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍證法1（向量法）設(shè) AB = a, AD = b.貝U AC = a + b,DB = a - b,AC證法推論+ DBAC+ DB（解析法）2由ACL2AB + AD2 /=2 AB + AD證法3 （余弦定理）.2+ DB= 2(AB2 + ADJ知,22AO+ 2OB2=2.2+ AD22AB2+AD2胡AO2+Ob推論極化恒等式.推論3:在MBC中，O是邊BC的中點(diǎn)，則AB -AC = AO2 .-OB2 =AO-BC4極化恒等式的幾何意義.亦即向量數(shù)量積的第二幾何意

2、義.二.平行四邊形的一個(gè)重要結(jié)論平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍2 2f.2 AC+DB=2AB+AD2推論推論【應(yīng)用】已知點(diǎn)22<2ABAC=2AOOB22三.三角形中線的一個(gè)性質(zhì)：AO21AB2Ac1 Ob2 1丿1:22AO2-氓丿4P是直角三角形ABC斜邊AB上中線CD的中點(diǎn)，則PA2 +1PBPC學(xué)習(xí)必備歡迎下載34四.三角形“四心”的向量形態(tài)1. O是平面上一定點(diǎn),A, B,C是平面上不同的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足0P = 0A + ZA. 外心ABABB.2.0是平面上一定點(diǎn),0P = 0A + 幾AC+AC內(nèi)心，0, +辺），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò) AABC的C

3、. 重心D.垂心A, B, C是平面上不同的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 、AB +ACAB sin B，幾迂b, +處P滿足AC sinC/則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò) 衛(wèi)ABC的-A. 外心B. 內(nèi)心 C. 重心D.垂心3. 0是平面上一定點(diǎn)，A, B,C是平面上不同的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=0A 乜B+ ACAB cosB則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò) MBC的4. P是 MBC所在平面上一點(diǎn)，若A. 外心B. 內(nèi)心5.0是 MBC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),是MBC的() A.五.典型案例分析AC cosC)A.外心B. 內(nèi)心 C. 重心 D.垂心PA ”PBC.=PB ”PC = PC ”PA，P 是 MBC 的重心D.垂心M

4、BC2 2 2滿足 AB+0C = AC外心 B. 內(nèi)心問(wèn)題1在 MBC 中,M是BC的中點(diǎn)，【變式】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,問(wèn)題2已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為的取值范圍是【變式】（2010福建文11題）若點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，貝y 0P FPA. 2 B. 3C.2 2+ OB = BCC. 重心AM =3, BC =10，貝y AB*ACQ+ 0A，則點(diǎn)OD.垂心點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝y DE DA -2的圓0，點(diǎn)P是圓0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA*PB0和點(diǎn)F分別為橢圓的最大值為D.2+ L = 1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) p學(xué)習(xí)必備歡迎下載1問(wèn)題3 （ 2013浙江理7）在 MBC中，P

5、0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B = AB，且對(duì)于邊4I1I1AB上任一點(diǎn)P,恒有PB*P C>P0B*RC，則C. AB = AC D. AC = BC兀A. ZABC =-2兀B. ZBAC =-2【變式】（2008浙江理9題）已知a,b是平面內(nèi)的兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 C滿足G -C bfo -c )=0，則+；J 2C的最大值是() A. 1 B. 2 C. V2 D.J2問(wèn)題3已知直線AB與拋物線y2 =4x交于點(diǎn)A, B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若C0滿足C7A*CB=mi n伍*©6,則下列一定成立的是A.CqM 丄 AB B.C0M丄丨，其

6、中是拋物線過(guò)點(diǎn)的切線C.C0A 丄 C0BD.C0M =AB （ 2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第5題)問(wèn)題4在正三角形AABC中,D 是 BC 上的點(diǎn)，AB = 3, BD = 1，則 A AD -15（2011年上海第11題）【】2問(wèn)題5在心ABC中，AB=2, AC=3, D是BC的中點(diǎn)，貝U ADBC=-5（2007年天津文科第15題）【-】2問(wèn)題6正方體ABCD - ABiCiDi的棱長(zhǎng)為2，MN是它內(nèi)切球的一條弦 （把球面上任意兩PM PN的最大值為點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí),.（2013年浙江省湖州市高三數(shù)學(xué)二模）【2】.問(wèn)題7點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的

7、正方體ABCD AiBiCiDi的底面AiBiCiDi上一點(diǎn)，貝U PA PC的取值范圍是（2013年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三數(shù)學(xué)二模）【丄訂】.匕問(wèn)題8 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知 AB=8, AD =5 ,CP =3PD，則 AP BP =2. AB AD 的值為-.(2014 年高考江蘇 卷第12題）【22】學(xué)習(xí)必備歡迎下載AB與0C交于點(diǎn)P，則OP BP =2最小值為的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF, MF2 <0，貝y y。的取值范圍是(A.B.C.(242D.(243 243 y【橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形的幾個(gè)結(jié)論】:22X2 a在橢圓 C :+ 每=1(a Ab aO )中，設(shè) NF1MF0 ,bMF1 MF2b22 -b tan-22cos222在雙曲線C :篤每=1(a0,b >0 )，設(shè)Z F1MF2 =日，則a bMF1 MF2b27sin 2=b2 cot?,2b2cot2課外探究1.已知點(diǎn)P是橢圓16+厶=1上任意一點(diǎn)，EF是圓8X2 +(y -2；2 =1 的直徑，貝U PE WF的最大值為【23】問(wèn)題9如圖，在半徑為1的扇形AOB中，N AOB =600,C為弧上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn)題10已知M(Xo,yo )是雙曲線C：4=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1