雙曲線的簡單幾何性質

1、雙曲線的簡單幾何性質（45分鐘100分）一、選擇題（每小題6分，共30分）2 21. 設雙曲線弋二1的漸近線方程為3x±2y=0,則a的值為（a 9A-4B-3C. 2D. 12 Z2. （2013 昆明高二檢測）設P是雙曲線說二1上一點，雙曲線的一條漸近線方程9為3x-2y=0, Fl, F：分別是雙曲線的左、右焦點，若|PFd=5,則&旳=（）A. 1 或5B. 1 或9C. 1D. 92 23. （2012 福建高考）己知雙曲線寧號 =l（a>0）的右焦點為（3,0）,則該雙曲線的離 aZ S心率等于（）aC 丄14424. （2013 -新課標全國卷I）已知雙曲

2、線C:斗£=l0,b0）的離心率為則 a2 b?2c 4D.-3C的漸近線方程為（B. y=±-x3A. y=±；xC. y=±jx5.雙曲線x-y"=l的右支上一點P（m, n）到直線y=x的距離為返，則m+n的值是D y=±xA.二B.-C. ±-2 2 2二、填空題（每小題8分，共24分）D. ±22 -.26. （2012 -江蘇高考）在平而直角坐標系xOy中，若雙曲線一1的離心率為 mm2+42 27. （2013 -洛陽高二檢測）設雙曲線了會1 （a>0, b>0）的虛軸長為2,焦距為2/3

3、,以 bz則雙曲線的漸近線方程為.以v28. 已知Fi,氏是雙曲線f=l(a>0,b>0)的兩焦點，以線段冉巳為邊作正三角形MFE,若邊MFi的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9. 已知圓M:x+(y-5)-9,雙曲線G與橢圓C:三憐1有相同的焦點，它的兩條漸近 線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程.10. 己知雙曲線的漸近線方程為y=±-x,焦距為10,求雙曲線的標準方程，并求雙2曲線的離心率.2 211. (能力挑戰(zhàn)題)設兀比分別為雙曲線的左、右焦點，打，假分別為這個雙 曲線的左、右頂點,P為雙曲線右支上的任意一點，求證

4、：以AA為直徑的圓既與 以PF2為直徑的圓外切，又與以PFi為直徑的圓內切.答案解析2 21. 【解析】選A. 方程表示雙曲線，a<0,標準方程為9 a 漸近線方程為y=±x, *=解得a=-4.2. 【解析】選D.由條件知aJ4.a 2.|PF.|-|PFd|=2a=4,V I PF, I =5,解得冋2|=9或冋2|=1(舍)3. 【解析】選C由題意知a+5=9, 解得a=2,e=詈.2 2【變式備選】(2013南昌高二檢測)若雙曲線寧9=1 (a>0)的離心率為2, a/ 32a-A. 2B. V3D. 1【解析】選B.由條件知丄二2,解得4. 【解析】選C.因為e

5、二-二亙，所以 =-,又因為cJy+b；所以匚£ = ?,得*a' 4a' 4竽=丄，所以漸近線方程為y=±ix.a' 425.【解題指南】分別利用點到直線的距離公式和點在雙曲線上建立方程，通過解 兩方程求m+n的值.【解析】選B.由條件可知詈即|m-n|=2.T (叫n)在右支上，/ m>n, ：ni-n>0,故 m-n=2 又T點P在雙曲線上,/即(m+n) (m-n) =1,： m+n/.2【舉一反三】本題中，若點P(rn,n)在左支上，結果會怎樣?【解析】選A. T點P在左支上，二水門即也就是 m-n=-2,又(m+n) (m-n

6、)=1, 所以 m+n=-.26.【解析】由題意知，雙曲線的焦點在X軸上,所以e=W尸叫屈 所以m=2. vm答案：2 7.【解析】由條件知2b=2, 2c=2V3, /. b=1, c=V3, aJc?-=2,即 a=Z2,二雙曲線方程為y'=1,2因此其漸近線方程為y=±X.2答案：y二士 X28.【解題指南】利用數(shù)形結合，把MR的中點到R,F2的距離用半焦距C表示出來, 結合雙曲線定義求出.【解析】 AMF,F2為等邊三角形，且邊長I F,Fd二2c, 設 MR 的中點為 P,則 |PF.|=|F,Fd=c,|PF2|=Z3c,由雙曲線的定義得|PF2|-|PFj =

7、(V3-1)c=2a, /.離心率 e=|二畠 <3+1.答案:2 29. 【解析】橢圓的兩焦點為F,(-5, O),FJ5,O), 50 25故雙曲線的中心在原點，焦點在X軸上，且c=5.V 2h設雙曲線G的方程為=1 (a>0, b>0),則G的漸近線方程為y=±-x, 以bza即 bx±ay=0,且 a+b=25.圓M的圓心為(0, 5),半徑為r=3.2 2二雙曲線G的方程為-=1.91610. 【解題指南】由漸近線方程可得a與b的關系，再利用c=a+b可求a, b的值, 但由于焦點的位置不明確，因此應分情況討論.以u2【解析】方法一：當焦點在X軸

8、上時，設所求雙曲線的方程為完h （a>0, b>0）. a/ faz由漸近線方程為y=±-x得2二二2 a 2又 2c=10, cJ+b；得 aJ20,=5,雙曲線的標準方程為=1,這時離心率e=;同理，當焦點在y軸上時，可得20 522 2 雙曲線的標準方程為亠1,這時離心率eV5. 520vS二所求雙曲線的標準方程為丄疋 =1或亡蘭=1,相應的離心率為,V5.20 55202方法二：由漸近線方程為y=±-x,可設雙曲線方程為-y'= X （入壬0）,242 2即-由 a'+bJJ得|4?1 1 + 1 X 1=25,4入入I X 1=5, /

9、入=±5 所求雙曲線的標準方程為二1或江仝二1相應的離心率為邏,20 55202【拓展提升】求雙曲線標準方程的幾種設法2 2與雙曲線3=1 （a>0, b>0）有共同漸近線*2 v22 二=入（入=0）雙曲線的漸近線方程是y=±-x*2 v22 二=入（入=0）與雙曲線（a>°，b>0）共焦點r J =1(-畑韻 Q-k b+k過兩個已知點mx+ny=1 (mn<0)與橢圓卡日（a>b>0）有相同焦點flN bZv22（職心）"【解題指南】設N,M分別是PF艸的中點，只要證明伽=吃曲|,并且|0N|=i|PFj-a即可.注意點P在雙曲線的右支上，&,F2是雙曲線的兩個焦點，滿2足了運用定義的條件特征，故應從雙曲線的定義入手去探索證明的途徑【證明】如圖，以AA為直徑的圓的圓心為0,半徑為a, 令M,N分別是PF2,PR的中點，由三角形中位線的性質, 得|0M|=|PFj.又根據(jù)雙曲線的定義，得|PF,|=