二項(xiàng)式定理(1)

1、全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案經(jīng)典專(zhuān)題寒暑假自學(xué)輔導(dǎo)學(xué)案匯編(附 詳解)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義(71)二項(xiàng)式定理(1)一. 復(fù)習(xí)目標(biāo)：1. 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)， 并能用它們討論整除、近似計(jì)算等相 關(guān)冋題.2. 能利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式的指數(shù)、求滿(mǎn)足條件的項(xiàng)或系數(shù).二. 知識(shí)要點(diǎn)：1 .理：2.二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)：(1) 在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)(2) 若n是偶數(shù)，則的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若n是奇數(shù)，則 式系數(shù)最大.(3) 所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 .(4) 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和 三. 課前預(yù)習(xí)：1.設(shè)二項(xiàng)式(3坂+丄)的展開(kāi)式的

2、各項(xiàng)系數(shù)的和為x若的二項(xiàng)P,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S(A(A)4P + S =2(B)5(C)6(D)82.當(dāng) n 忘N 4且 n 2時(shí)，1+2+22 +24n=5p + q (其中 p,q 忘 N ,且0蘭q cS)，貝U q的值為(A )(A)0(B) 1(C)2(D)與 n有關(guān)3.在(2x2 -丄)6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是T5 =60 ;中間項(xiàng)是T4=T60x3 .x 4.在(坂-命)10的展開(kāi)式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為第 3, 6, 9項(xiàng).全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案經(jīng)典專(zhuān)題寒暑假自學(xué)輔導(dǎo)學(xué)案匯編(附 詳解)5. 求(1+2X-3x2)6展開(kāi)式里X5的系數(shù)為沁.6. 在(ax+1)7的展開(kāi)式中，x3的

3、系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)數(shù)a 1，那么a=1+如5四.例題分析: 例1 .求(3 -2x)9展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).解：(3-2x)9展開(kāi)式的通項(xiàng)為 T* =C9 9(-2x)r =(-2)r C9xrr2r Cr 39丿CF 38設(shè)第E項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大，即仁爲(wèi)“二/嚴(yán)所以卩+3二18 一 2r， 3蘭r蘭4且r壬N，a ,3或,4， 20 -2r 3r故系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)為T(mén)4 = -48988X3或Ts =489888x4 .例2.已知(2xlgf2 +1)n展開(kāi)式中最后三項(xiàng)的系數(shù)的和是方程 lg(y2 -72y -72) =0的正數(shù)解，它的中間項(xiàng)是104地更，求x的

4、值.解：由 Ig(y2 -72y -72) =0得 y2 -72y -73 = 0，y = -1 (舍去)或 y =73 ,全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案經(jīng)典專(zhuān)題寒暑假自學(xué)輔導(dǎo)學(xué)案匯編（附 詳解）由題意知，Cn，4 + C：二.2 +cn =73，二 n=6 已知條件知，其展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第 4項(xiàng)，即xBdgx七2)=160 ”x3(Igx也2)=104臨1gF2 =2000，二 Ig2 X+Ig2，lg X+lg 21 =0，；lgx = 1 或 Ig x = 1-Ig 2 = Ig 5，二 x =或10經(jīng)檢驗(yàn)知，它們都符合題意。例3 .證明32n -8n -9能被64整除（n- N.證明: 32

5、 8n-9 =9n中一8n-9 =(8+1)n十一8n-9=8n比 +4+ 8n + + 1-8n-9 = 8n+ +C1+ 8n +C：* 62 =82(82 +C二82 + 8n-1 +cn+ 8+ +Cnn；是整數(shù)， 32-8n-9能被 64整除.五.課后作業(yè)：1.若（2x+73）4值（A ）（A）1班級(jí)學(xué)號(hào)姓名= aa1a2xa3xa4x4，貝U (aaa4) (aC；十 2十7!即2 r!(7-r)!7!2r+1)!(r)!即 jr+12(7 r)7!，2(8-r)r(r -1)!(8-r)!二豎蘭且0蘭r33=5 .所以系數(shù)最大項(xiàng)為T(mén)625 X5 =672x5全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)

6、案經(jīng)典專(zhuān)題寒暑假自學(xué)輔導(dǎo)學(xué)案匯編(附 詳解)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取 得，故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右，故只需比較 T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可.又因?yàn)門(mén)5 =C；(-2)4x4 =560x4，T7 =C；(-2)6x6 =448x6，所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)為T(mén)5 =C；（2）4x4 =560x4 .7. 設(shè)f(x) +x)m+(1+x)n(m,n亡N，若展開(kāi)式中關(guān)于x的一次項(xiàng)系數(shù)和為11,試問(wèn)m,n為何值時(shí)，含X2項(xiàng)的系數(shù)取得最小值.解：由題意知Cm+C； =11，即m+n =11，221=Cm +Cn = m(m-1)+ n(n-1)又展開(kāi)式中含X2

7、項(xiàng)的系數(shù)2，=n2 -11 n +55 =(n -口)2 十4924當(dāng)門(mén)=5或門(mén)=6時(shí)，含X2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為25 .此時(shí) n= 5,m=6 ；或 m =5,n=6 .8. 設(shè)(2A -3)n展開(kāi)式中第2項(xiàng)的系數(shù)與第4項(xiàng)的系數(shù)的比為4: 45,試求x2X項(xiàng)的系數(shù).解：第 r +1 項(xiàng)十=C；=Cnr *2X，即 4 6n459 F（n-1）（ n-2）（舍負(fù)）.7-2， r2 222 （3）= -1344 . Cn 尹（-3） C3 2n -3）3 n = 7 或 n = V令 n -3r =2，即2 2 X2項(xiàng)的系數(shù)c7_ 445n 3r、（-3）rx2P n 3n 28 = 0，全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案經(jīng)典專(zhuān)題寒暑假自學(xué)輔導(dǎo)學(xué)案匯編