三垂線定理(1)

1、最新高一數(shù)學(xué)學(xué)案（附經(jīng)典解析）三垂線定理課 型：新授課、課題：三垂線定理、教學(xué)目標(biāo)：1.掌握科學(xué)的概念，了解射影、斜線的定 義;2. 掌握三垂線定理及其逆定理，利用三垂線定理及其逆定理解決有關(guān)線線垂直問題。三、教學(xué)重、難點(diǎn)：三垂線定理及其逆定理；三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關(guān)系.四、教學(xué)過程:（二）新課講解:1.射影的有關(guān)概念:（1）點(diǎn)的射影：自一點(diǎn)P向平面引垂線，垂足P叫做P在平面 內(nèi)的正射影（簡(jiǎn)稱射影）最新高一數(shù)學(xué)學(xué)案（附經(jīng)典解析）最新高一數(shù)學(xué)學(xué)案(附經(jīng)典解析)(2)圖形的射影：如果圖形 F上所有點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F，則F叫做F在這個(gè)平面內(nèi)的射影.2.斜線的有關(guān)概念:(1

2、)斜線：如果一條直線和一個(gè)平面相交但不垂直，那么 A這條直線叫做平面的斜線;(2)斜足：斜線和平面的交點(diǎn);(3 )斜線段：斜線上一點(diǎn)和斜足間的線段叫做斜線段.由此，斜線段AB在平面內(nèi)的射影仍為線段，3. 三垂線定理:定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線 的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：PO,PA分別是平面 的垂線和斜線，OA是PA在平面內(nèi)的射影，a ，且a OA求證：a PA ；P證明： POPO a，又 a OA,POI OA O a 平面 POA ,說明：（1）定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的（2）推理模式:POPAI a條斜線的垂直關(guān)系;,OAa PA .,

3、a OA4. 三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。（證明略）推理模式:PO ,OPAI A a ,a A P練習(xí)：Rt ABC在平面內(nèi)，指出圖形中的直角三角形。C 90。, PC,CD AB 于點(diǎn) D，請(qǐng)PRt ABC,RtRt PDA,RtRt PCA,RtADC, Rt BDCPDBPCB, Rt PCDA丄AD所以，由三垂線定理知， PABC .三.例題分析:例1.已知：點(diǎn)0是ABC的垂心，PO 平面ABC，垂足為O ,求證：PA BC .證明:點(diǎn)0是ABC的垂心，ADBC又PO 平面ABC，垂足為O ,C最新高一數(shù)學(xué)學(xué)案（附經(jīng)

4、典解析）例2.如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線上.已知:BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P別為 E,F,O, PE PF ,求證:BAOCAO .證明：PEAB,PFAC,PO PE AEOE, ACPF, PAOF （三垂線定理逆定理）PA , Rt PAE Rt AOF ,AF，又 AO AO ,Rt AOERt AOFBAO CAO .例3.如圖，道路兩旁有一條河，河對(duì)岸有電塔只有量角器和尺作測(cè)量工具，能否測(cè)出電塔頂與道路的距離?AB，咼 15m ,解：在道路邊取點(diǎn)C,使BC與道路邊所成的水平角等于90。,再在道路邊取一點(diǎn)D，使水平角 CDB 45。,測(cè)得C,D的距離等于20m , BC是AC在平面上的射影， 且CD BC CD AC （三垂線定理）因此斜線段AC的長(zhǎng)度就是塔頂與道路的距離，CDB 45o,CD BC,CD 20m , BC 20m ,最新高一數(shù)學(xué)學(xué)案（附經(jīng)典解析）在 Rt ABC 中得 |AC| Jab2 BC2 J152 2tf 25(m),答：電塔頂與道路距離是 25m .四、課堂小結(jié): 1.射影和斜線的有關(guān)概念;2.三垂線定理及其逆定理.五、作業(yè):1 .在正方體AG中，求證：正方體的對(duì)角線P AC垂直于平面2.如圖，ABCD是矩形，PA 平面abcdM,N分別是AB, pc的中點(diǎn)，八、C求證：AB MN .