第五節(jié) 隱函數(shù)的偏導數(shù)

1、第五節(jié) 隱函數(shù)的偏導數(shù) 5.1 隱函數(shù)的偏導數(shù) 與方程確定隱函數(shù)類似, 方程確定隱函數(shù), 即將代入方程有 . （4.1） 應用復合函數(shù)求偏導公式，將上式兩邊關于求偏導，有 , 解得 .同理，對（4.1）式兩過關于求偏導，有 , 解得 . 注意：這里是關于對中間變量求偏導，F(xiàn)對中間變量求偏導時，視為常數(shù)，是關于對中間變量求偏導，, z視為常數(shù)，是關于對中間變量求偏導，視為常數(shù)，關于方程確定多元隱函數(shù)，并且偏導存在的條件與證明比較復雜，讀者可參看數(shù)學分析教材. 在實際中求方程確定多元隱函數(shù)偏導數(shù)時，不一定要用公式, 尤其在方程中含有抽象函數(shù)，可利用求公式的方法較方便. 例1 方程確定隱函數(shù)，求.

2、解：由,方程兩邊關于求偏導，有 , 解得. 方程兩邊關于求偏導，有，解得.,將代入上式，化簡整理有 . 例2 確定, 求. 解：由, 方程兩邊關于求偏導，有， 解得，由稱性，得. 例3 設, 求證=1. 解 由題意知方程確定,方程兩邊取微分，有 有, 即 有，兩邊同除以,有, 于是, , 則 . 從上面幾個例題可知，我們在求方程確定隱函數(shù)的偏導數(shù)時，可用公式或用求公式的方法或用微分，可靈活選擇. 5.2 隱函數(shù)組偏導數(shù) 方程確定隱函數(shù)可以推廣到方程組確定一組隱函數(shù)，設方程組, 確定隱函數(shù)組, 即 上式兩邊對求偏導，有 解方程組， 得 , . 稱為函數(shù)的雅可比（Jaco bi）行到式,記作 ,

3、則 , .從上面兩式我們發(fā)現(xiàn)，的值是一個分式，前面是負號，分母是，分子是把中換成，即. 而的分子恰好是中換成. 同理，我們可求出，也符合這種規(guī)律，即, . 如果方程組確定 ，你能寫出嗎？試一試，并且驗證是否正確. 當然在實際計算時，可以不必用這些公式，要掌握求隱函組偏導數(shù)的方法. 例4 設 求. 解 由題意知, 方程組確定隱函數(shù)組, 方程組兩邊對求偏導，有 利用克萊姆法則，解出 , . 例5 設 求. 解 由題忌知方程組確定隱函數(shù), 方程組兩邊取微分，有 把看成未知，解得 , 有 , 同理，我們還可求出，得到 , . 例6 設, 且 ,求. 解法一 由題意知，, ，因此 , （1） 由 （2）

4、方程 兩邊對求導, , 解得 . （3）把（2）、（3）代入（1）, 有 . 如果我們利用多元函數(shù)的一階微分不變性及四則運算就更方便.只要求出 這個式子就是. 解法二 由 , （4） , 有 , 有 , 有 , 解得 （6）把（5）、（6）代入（4）,有 ,因此 5.3 反函數(shù)組的偏導數(shù) 對于物理中一些問題的解釋與計算及重積分的計算，通常都要選擇適當?shù)淖鴺讼?，寫出坐標變換，例如平面上的坐標與另一種坐標之間的關系，即 （7） 有 （8） 方程組（8）可確定函數(shù)組, .稱為 方程組（7）的反函數(shù)組. 從方程組（8）可利用方程組確定隱函組求偏導數(shù)的方法，來求反函數(shù)組的偏導數(shù). 下面我們來研究函數(shù)的雅

5、可比行列式與反函數(shù)組雅可比行列式之間的關系.將代入（8），有 將上式分別對和求偏導，有和 和由=, 即 .這個結果與一元函數(shù)的反函數(shù)的導數(shù)公式是類似的.這一結果可推廣到三維以上空間的坐標變換. 例如，函數(shù)組, , 確定反函數(shù)組.在滿足一定條件下，有. 例7 確定反函數(shù)組 求. 解 由, 方程組兩邊對求偏導，有 解得 同理, 方程兩邊對求偏導,可得. 例8 設確定反函數(shù)組 求. 解 由, 方程組兩邊對求偏導，得 解得 , .同理，方程組兩邊對求偏導，可得第六節(jié) 方導數(shù)與梯度 6.1方向導數(shù) 我們知道，偏導數(shù)能表達沿三個坐標軸方向的變化大小，但僅知道這一點，在實際應用中是不夠的. 例如用混凝土來澆

6、注水壩時，水壩中各點的溫度就不一樣，由熱脹冷縮，生產(chǎn)了溫度應力會使壩發(fā)生裂縫.在點,如果溫度沿某一方向變化來得大，那么裂縫就很可能在這個方向發(fā)生. 對于靜電位也是如此，如果在某一點沿某一方向的電位變化大，在這一方向就可能會引起放電現(xiàn)象. 由此可見，對于函數(shù)需要研究在一點沿某一方向的變化率. 定義 設三元函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，l為從點出發(fā)的射線，為 l上且含于內(nèi)的任一點，以表示與兩點的距離，若極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)在點沿方向l 的方向導數(shù)，記作或或. 容易看到，若在點處存在對的偏導數(shù)，則在點沿軸正方向的方向導數(shù)就是 當方向為軸負向時，則有 .一般情形下，方向導數(shù)與有什么關系呢？ 定理8

7、 若函數(shù)在點可微，則在點處沿任一方向的方向導數(shù)都存在，且 , 其中 （1）證 設為上任一點， 由, 有 （2）由在點可微，則有. 上式兩端同除以 結合（2）式, 有=, 所以對于二元函數(shù),相應于（1）的結果是.其中是平面向量分別與軸、軸正向的夾角. 例1 求函數(shù)在點處沿點A指向點）方向的方向導數(shù). 解 由, ,有, . 由, ,則, , . 于是 . 例2 如圖8-14所示，這個函數(shù)在原點不連續(xù)（因為 ）所以在原點處不可微. 但在始于原點的任何射線上，都存在包含原點的充分小一段， 圖8-14在這一段上的函數(shù)恒為零，于是,由方向導數(shù)定義, 在原點處沿任何方向, 都有. 這個例子說明(i)函數(shù)在一

8、點可微是方向導數(shù)存在的充分條件而不是必要條件, (ii)函數(shù)在一點連續(xù)同樣不是方向導數(shù)存在的必要條件，當然更不是充分條件，我們還可以說明偏導數(shù)存在也不是方向導數(shù)存在的充分條件. 對此，讀者可舉例子來說明 6.2 梯度 研究了函數(shù)在點沿方向的變化率之后，我們還需進一步研究，當點取定之后，取什么方向時，取到最大值，最大值是多少?由 , 即可看成兩矢量的數(shù)量積由, 因此, 把看成一個矢量. 定義 矢量稱為函數(shù)在點處的梯度，記為grad（grad是gradient縮寫），即 , 于是 . 其中是矢量與的夾角. 由此得出下面的結論：(i)在點處沿方向的方向導數(shù)，等于梯度在方向上的投影，如圖8-15. 圖

9、8-15(ii)當，即的方向與梯度方向一致，或者說函數(shù)在點沿梯度方向的方向導數(shù)取到最大值，最大值等于梯度的摸, 即 .這就是說，當在可微時，在的梯度方向是值增長最快的方向.當, 即的方向與梯度方向相反，或者說，函數(shù)在點沿梯度的反方向，方向導數(shù)取得最小值為. 綜上所述，函數(shù)的梯度描述了函數(shù)的變化最大的方向和最小方向的變化率，雖然上述結果是在直角坐標系下討論時，但梯度這個矢量實質上是和坐標系的選擇無關的. 例3 求在點處沿哪個方向導數(shù)最大，最大值是多少. 解 由,則., . 于是在處沿方向的方向導數(shù)最大，最大值是. 例4 確定常數(shù)，使在右半平面上的向量 為某二元函數(shù)的梯度, 解 由,有, 又, 得

10、 , 化簡; 解得. 梯度具有以下運算法則: 設可微， 為常數(shù)，則 (1); (2); (3). (讀者自己證明） 例5 求. 其中為可微函數(shù), 其中 ， 解 由公式（3）知 =. 由,于是第七節(jié) 多元函數(shù)的極值及應用 7.1 多元函數(shù)的泰勒公式 我們知道一元函數(shù)的泰勒公式的效果是可以按給定的精度要求用多項式逼近一個函數(shù)，那么多元函數(shù)是否也有類似的結果，我們可利用一元泰勒公式的結論，得到 定理9 （泰勒定理）若函數(shù)在點某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導數(shù)，則對內(nèi)任一點，存在相應, 使得 (6-1)(6-1)式稱為二元函數(shù)在點的階泰勒公式.證 作函數(shù) ，由定理條件知 一元函數(shù)在上滿足一元函數(shù)的泰勒定理條

11、件. 因為由的定義知=, 由數(shù)學歸納法可得 .所以 ,取，有, .由, , ,.因此 , .稱為泰勒公式的拉格朗余項. 如果用公式中關于及的次多項式作為的近似值，由此產(chǎn)生的誤差怎樣呢？若在內(nèi)所有階偏導數(shù)的絕對值不超過某一個確定的正數(shù)M,則 .表明當時是一個比高階的無窮小，即有 , .特別地, 當時，則稱為二元函數(shù)的馬克勞林公式，就可寫為.設，, , 則二元函數(shù)的泰勒公式可用點函數(shù)形式表出來，即.全增量可表示為 . 有興趣的讀者，類似可證m元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)編導數(shù)，對任一點，有其中 , . 這里m元函數(shù)的記號與二元函數(shù)的記號相同. 在二元函數(shù)的泰勒公式中，當n=0時，有 , 或.

12、 這就是二元函數(shù)的拉格朗日中值公式，我們有下面的推論. 推論 設在區(qū)域G上具有連續(xù)的一階偏導. (i)若, 則在G上僅是的函數(shù)； (ii)若,則在G上僅是的函數(shù)； (iii)若 則在G上是常值函數(shù). 證 (i)我們只要證任給，則, 設, 對在區(qū)間（不妨設）上利用拉格朗日定理，有, , 因此得證, 同理可證(ii)成立.(iii)任給 ，利用二元函數(shù)中值定理，, 因此，在G上是常值函值. 例1 寫出函數(shù)在點的鄰域內(nèi)的展開式，到二次項為止. 解 , ,.由, 于是，按二元函數(shù)的泰勒公式有, . 其中其中. 從這里，我們看到余項的形式是很復雜的. 因此，如果不需要指出，我就寫或. 7.2多元函數(shù)的極

13、值 一、多元函數(shù)的極值概念 在解決實際問題中，我們已經(jīng)看到了最大值，最小值的重要性. 求函數(shù)的最大值，最小值時，涉及到函數(shù)的自變量往往不止一個，因此，就需要求多元函數(shù)的最大值，最小值. 而最大值與最小值與極值有著密切的聯(lián)系.首先我們給出多元函數(shù)的極值概念，并利用一元函數(shù)極值的性質，推斷出多元函數(shù)極值的性質. 定義 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若對任何點, 都有 （或 ）. 則稱函數(shù)在點取到極大（或極?。┲?，點稱為的極大（或極?。┲迭c. 極大值，極小值統(tǒng)稱極值，極大值點，極小值點統(tǒng)稱為極值點. 由定義知，若在點取極值，則當固定時，一元函數(shù)必定在取相同的極值，若也存在，即 存在，利用一元函數(shù)取極值

14、的必要條件知，即. 同理一元函數(shù)在也取相同的極值，若也存在，則，因此，有 定理10 （極值的必要條件）若函數(shù)在點存在偏導數(shù)且在取極值，則有, . （7.1）反之，若函數(shù)在點滿足式，則稱點為的穩(wěn)定點或駐點. 定理指出，若存在偏導數(shù)，則其極值點必是穩(wěn)定點，但反之不一定成立. 例，有，但在點處不取極值. 因為在O點的任何一個鄰域中，若，當在一，三象限時，. 當在二，四象限時，. 因此，不是極值. 若 在點 取極值，的偏導數(shù)只有兩種情形: (i) 都存在，則，.即點為穩(wěn)定點. (ii) ，至少有一個不存在. 因此，的極值點一定包含在穩(wěn)定點或偏導數(shù)不存在點之中. 例2 設,在點處偏導數(shù)不存在，但時,有,

15、 因此，為極小值. 極值點的懷疑點找出來后，若是偏導數(shù)不存在的點, 用函數(shù)值不等式來檢驗點是否為極值點. 若極值點的懷疑點是穩(wěn)定點，我們有下面的定理. 定理11 （極值的充分條件）設函數(shù)在點的某鄰域連續(xù)，且有一階與二階連續(xù)偏導數(shù)，如果，,設 , 則 （1）當時，一定為極值，并且當A（或C）0時，為極小值；當A（或C）0時，為極大值； （2）當時，不是極值； （3）當，還不能斷定是否為極值，須作進一步研究. 證 設是內(nèi)任意一點，且即不同時為0，由二元函數(shù)在點處的一階泰勒公式，有, .由 , 有, 設, ,. 于是 其中當時是無究小量，因此，上式左邊差值的符號當?shù)慕^對值是較小時（不同時為0）, 取

16、決于右端第一個式子的符號. 記. （1） (i)當時，則A，C都不為0，并且A， C同號，從而. （2）不論取什么值（不同為零），上式方括號內(nèi)總是正數(shù)，A，C同號，所以當，有，有, 即所以為極大值. 當，有，有，即所以為極小值. (ii)當，當A，C有一個不為0時，不妨設,由不同時為0，不妨設，有 設=由是一個拋物線，由，拋物線開口向上，由 所以拋物線與t軸相交，有兩個根由的范圍是（-，+）, 當在兩根之間時，在兩根之外時，, 因此的符號有時正有時負.當A，C同時為0時, 由式知由，則B, 顯然W隨的變動時正時負，因此，函數(shù)在點（）處不取極值. (iii)當時，若，則從（2）式的第一個多項式看

17、到，當時，有，這時無法判斷值的符號, 而函數(shù)在點處可能取極值，也可能不取極值, 須進一步研究. 證法二 在判斷的符號時，若用二次型中的定理來判斷就很方便. (i)當時,由不同時為0, 對應的矩陣為,當(或, 即時，有, 即為極大值.當（或）, 即時，有, 即為極小值. (ii)若時，為不定的, 即可正可負，從而也不保持定號. (iii)當，對于某些，從而也不能判定的符號，還須進一步討論. 例2 求函數(shù)的極值. 解 由函數(shù)無偏導數(shù)不存在的點.解方程組 解得及，由，,在點，, 所以不是極值.在點，, 所以為極小值. 二、多元函數(shù)的最大值，最小值 由定理: 若在有界閉區(qū)域G上連續(xù)，則在G上一定能取到

18、最大值與最小值. 即存在，有, 對一切，有. 最大值，最小值也可以在邊界點取到，也可以在內(nèi)部取到. 當在內(nèi)部取到時，最大值，最小值點一定是極值點，則一定是穩(wěn)定點或偏導數(shù)不存在點. 因此，最大值、最小值點一定包含在區(qū)域內(nèi)部的穩(wěn)定點和偏導數(shù)不存在的點及邊界點（邊界函數(shù)值最大值與最小值點）之中（注意與區(qū)間端點不同的是閉區(qū)域G的邊界點有無數(shù)個，若，邊界點是邊界曲線上的點，若, 邊界點是曲面上的點），這些懷疑點中函數(shù)值中的最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值. 若根據(jù)實際問題一定有最大值（或最小值）, 而內(nèi)部有唯一的可疑點，則該點的函數(shù)無須判斷一定是最大值（或最小值）. 例4 設D是由軸，軸及直線所圍成的三角形區(qū)域（如圖求函數(shù) 在D上的最大值.解 由函數(shù)無偏導數(shù)不存在的點，解方程組解得，而在邊界或或上. 圖8-16因此是唯一的可疑點，所為最大值.三、條件極值 前面我們討論的極值問題，其極值點的搜索范圍是目標函