數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)二

1、實(shí)驗(yàn)二 快速傅里葉變換(FFT)及其應(yīng)用一、思考題(1) 實(shí)驗(yàn)中的信號(hào)序列和在單位圓上的z變換頻譜會(huì)相同嗎?如果不同，說出哪一個(gè)低頻分量更多一些，為什么?答：設(shè) 因?yàn)闉閱挝粓A，故r=1.因?yàn)椋?比較可知頻譜不相同，的低頻分量多。(2) 對(duì)一個(gè)有限長序列進(jìn)行DFT等價(jià)于將該序列周期延拓后進(jìn)行DFS展開，因?yàn)镈FS也只是取其中一個(gè)周期來運(yùn)算，所以FFT在一定條件下也可以用以分析周期信號(hào)序列。如果實(shí)正弦信號(hào) 用16點(diǎn)FFT來做DFS運(yùn)算，得到的頻譜是信號(hào)本身的真實(shí)譜嗎?為什么?答：針對(duì)原來未經(jīng)采樣的連續(xù)時(shí)間信號(hào)來說，F(xiàn)FT做出來的永遠(yuǎn)不會(huì)是信號(hào)本身的真實(shí)頻譜，只能夠是無限接近。FFT頻譜泄露問題是

2、一定會(huì)存在的，因?yàn)楫吘共蓸勇试俑?，也不能完全達(dá)到原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)準(zhǔn)確。原題的采樣率是1/10，就是將2*pi分成10份，即每個(gè)正弦波周期進(jìn)行10次采樣，這樣的采樣率很低，而最后你只截取16個(gè)點(diǎn)來做分析，泄露一般會(huì)挺嚴(yán)重，看到的頻譜，應(yīng)該是一個(gè)上頭尖，下面慢慢變寬的尖錐形，而純正的正弦波的理想頻譜應(yīng)該是在某頻點(diǎn)只有一個(gè)尖峰。二 實(shí)驗(yàn)原理： （1）混疊：采樣序列的頻譜是被采樣信號(hào)頻譜的周期延拓，當(dāng)采樣頻率不滿足奈奎斯特采樣定理的時(shí)候，就會(huì)發(fā)生混疊，使得刺癢后的序列信號(hào)的頻譜不能真實(shí)的反映原采樣信號(hào)的頻譜。 （2）泄露：根據(jù)理論分析，一個(gè)時(shí)間的信號(hào)其頻帶寬度為無限，一

3、個(gè)時(shí)間無限的信號(hào)其頻帶寬度則為有限。因此對(duì)一個(gè)時(shí)間有限的信號(hào)，應(yīng)用DFT進(jìn)行分析，頻譜混疊難以避免。對(duì)一個(gè)時(shí)間無限的信號(hào)雖然頻帶有限，但在實(shí)際運(yùn)算中，時(shí)間總是取有限值，在將信號(hào)截?cái)嗟倪^程中，出現(xiàn)了分散的擴(kuò)展譜線的現(xiàn)象，稱之為頻譜泄露或功率泄露。 （3）柵欄效應(yīng)：DFT是對(duì)單位圓上Z變換的均勻采樣，所以它不可能將頻譜視為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，就在一定意義上看，用DFT來觀察頻譜就好象通過一個(gè)柵欄來觀看一個(gè)景象一樣，只能在離散點(diǎn)上看到真實(shí)的頻譜，這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點(diǎn)和谷點(diǎn)被“尖樁的柵欄”所擋住，不能被我們觀察到。 （4）圓周卷積：把序列X（N）分布在N等份的圓周上，而序列Y（

4、N）經(jīng)反摺后也分布在另一個(gè)具有N等份的同心圓的圓周上。兩圓上對(duì)應(yīng)的數(shù)兩量兩相乘求和，就得到全部卷積序列。這個(gè)卷積過程稱做圓周卷積。 （5）互相關(guān)函數(shù)反映了兩個(gè)序列X（N）和Y（N） 的相似程度，用FFT可以很快的計(jì)算互相關(guān)函數(shù)。二、上機(jī)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)中用到的信號(hào)序列: a) 高斯序列 b) 衰減正弦序列 c) 三角波序列d) 反三角波序列實(shí)驗(yàn)內(nèi)容思考題：1、觀察高斯序列的時(shí)域和幅頻特性，固定信號(hào)xa（n）中參數(shù)p=8，改變q的值，使q分別等于2、4、8，觀察他們的時(shí)域和幅頻特性，了解當(dāng)q取不同值時(shí)，對(duì)信號(hào)序列的時(shí)域和幅頻特性的影響；固定q=8，改變p，使p分別等于8、13、14，

5、觀察參數(shù)p變化對(duì)序列的時(shí)域和幅頻特性的影響，注意p等于多少時(shí)，會(huì)發(fā)生明顯的泄漏現(xiàn)象，混疊是否也隨之出現(xiàn)？記錄實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象，繪出相應(yīng)的時(shí)域和幅頻特性曲線。答：時(shí)域：當(dāng)p固定，q變化時(shí)，由時(shí)域波形可知，q代表了波形以p為中心向兩側(cè)衰減的速度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)q越大時(shí)，衰減的速度越快，反之，衰減的速度相對(duì)較慢，高頻分量越小。頻域：當(dāng)q固定，p變化時(shí)，由時(shí)域波形可知，p代表了波形的移序，在頻譜上，顯而易見，在p更大的時(shí)候產(chǎn)生了更多的高頻分量。右移之后，序列相當(dāng)于被截?cái)?，那么相?duì)應(yīng)的其頻譜泄漏的情況更加的嚴(yán)重，從而出現(xiàn)了高頻分量較多的情況。信號(hào)的頻譜中高頻分量逐漸增加，頻譜泄漏逐漸明顯，并逐漸出現(xiàn)頻譜混疊現(xiàn)

6、象。當(dāng)p=16時(shí)，能力泄漏至旁邊的頻率，出現(xiàn)較明顯的頻譜泄漏與頻譜混疊現(xiàn)象。隨著p值增大，信號(hào)被截?cái)嗖糠衷龆?，截?cái)嗖糠值倪^渡帶過陡，產(chǎn)生高頻分量增多，而造成頻譜泄漏與混疊。2、觀察衰減正弦序列xb（n）的時(shí)域和幅頻特性，a=0.1，f=0.0625，檢查譜峰出現(xiàn)位置是否正確，注意頻譜的形狀，繪出幅頻特性特性曲線，改變f，使f分別等于0.4375和0.5625，觀察這兩種情況下，頻譜的形狀和譜峰出現(xiàn)位置，有無混疊和泄漏現(xiàn)象？說明產(chǎn)生現(xiàn)象的原因。答： 如圖可知滿足Nyquist定理時(shí)， f0.5，f=0.5625時(shí)不滿足Nyquist定理。隨著f的增大，頻譜的譜峰逐漸向右平移，兩譜峰逐漸

7、向中間靠攏。因?yàn)?.4375=0.5-0.0625,0.5625=0.5+0.0625， f=0.4375和f=0.5625頻譜圖關(guān)于w=p對(duì)稱 ，造成觀察到的頻譜完全相同，但實(shí)際上表示的意義卻不相同。由于存在泄漏現(xiàn)象，出現(xiàn)了高頻分量，雖然在f=0.4375時(shí)滿足Nyquist定理但實(shí)際上已發(fā)生了頻譜混疊。3、一個(gè)連續(xù)信號(hào)含有兩個(gè)頻率分量，經(jīng)采樣得 xn=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+df)*n) n=0,1,2，···，N-1 已知N=16，df分別為1/1和1/64，觀察其

8、頻譜；當(dāng)N=128時(shí)，df不變其結(jié)果有何不同，為什么？答：正三角波和逆三角波的時(shí)域波形上的走勢是不一樣的。在頻域上可以發(fā)現(xiàn)，N=8時(shí)，兩者的fft互為相反數(shù)，因?yàn)閮烧叩暮蛯?shí)際上就是一個(gè)矩形窗函數(shù)，rectwin(8)，由于rectwin（8）的fft為80000000，所以除了fft（0）以外，其他都為相反數(shù)。而當(dāng)N=16時(shí)，兩者之間的和為一個(gè)補(bǔ)零了的rectwin（8），對(duì)于N不同時(shí)得到的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)上同一個(gè)序列補(bǔ)零以后的頻譜并沒有發(fā)生太大的變化，補(bǔ)零后的序列相當(dāng)了有了更多的采樣點(diǎn)，在對(duì)應(yīng)位置處的fft值還是相同的，不同的是，當(dāng)N變大時(shí)，補(bǔ)零長度變大時(shí)，暴露出來的更多的采樣點(diǎn)值可以減輕ff

9、t的柵欄效應(yīng)。4、一個(gè)連續(xù)信號(hào)含兩個(gè)頻率分量，經(jīng)采樣得 x(n)=sin2*0.125n+cos2*(0.125+f)n    n=0,1,N-1 已知N=16，f分別為1/16和1/64，觀察其頻譜；當(dāng)N=128時(shí)，f不變，其結(jié)果有何不同？答：由fft頻譜圖可知，在N=16時(shí)，deltaf=1/16時(shí)，fft頻譜是正確的應(yīng)該是兩個(gè)沖激，但是在deltaf=1/64時(shí)，此時(shí)的信號(hào)的帶寬減小，由于采樣點(diǎn)數(shù)是固定的，導(dǎo)致卷積的過程中出現(xiàn)了泄露的情況，因此在第二種情況下出現(xiàn)了譜線擴(kuò)散的情況。在N=128時(shí)，相當(dāng)于擴(kuò)展了加窗的寬度，因而沒有出現(xiàn)頻譜的泄漏。源程序：第一題圖：第二題圖：第三題圖： 第四題圖：第五題圖：第六題圖：第七題圖：第八題圖：三、實(shí)驗(yàn)總結(jié)與分析 （1）利用FFT來估計(jì)模擬信號(hào)的頻率，F(xiàn)FT的點(diǎn)數(shù)越多，信號(hào)的頻譜分辨率越高，利用頻譜估計(jì)得到的信號(hào)頻率與實(shí)際的誤差越小。要想提高估計(jì)精度，應(yīng)當(dāng)使FFT點(diǎn)數(shù)在允許的范圍內(nèi)盡可能的大。 （2）當(dāng)信號(hào)發(fā)生截?cái)嘈?yīng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生高頻分量，這種情況下會(huì)出現(xiàn)頻譜混疊和頻譜泄漏現(xiàn)象，截?cái)嘈?yīng)越明顯，泄漏越大。 （3）對(duì)信號(hào)