優(yōu)化探究高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章第五節(jié)橢圓課時(shí)作業(yè)理新人教A版

1、【優(yōu)化探究】2017屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第五節(jié) 橢圓課時(shí)作業(yè)理新人教A版A組考點(diǎn)能力演練221 .點(diǎn)F為橢圓£+(= 1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A使得 AO兩正三角形,那么橢圓的離心率為D.J31解析:由題意,可設(shè)橢圓的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c, 0),因?yàn)?AO耽正三角形，則點(diǎn)乎c)在橢圓上,代入得22C3cr 一4a2+4b2=1，即e2+73e-2=4,得 e2=4 2。3,解得 e=J3- 1,故選 D. 1e-8 -答案:22x y2.已知橢圓E： 1+福=1(2此>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A, B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)

2、為M(1 , 1),則E的方程為()22B.36+27= 122x y ,叫十r122A. y = 145 3622C.271+ 18 =10+11.斛析：kAB= - = -, k。后 一 1 ,3 1 2,b2 b2 12 c,2c 2 “kov a2, 得=， - a = 2b . c=3, - a = 18,2x2 y2b=9,橢圓E的方程為18+9=1.答案：D223. (2016 廈門模擬)橢圓E：與+y=1(a>0)的右焦點(diǎn)為F,直線y = x+m與橢圓E交于 a 3A, B兩點(diǎn)，若 FAB周長(zhǎng)的最大值是8,則m的值等于()A. 0B. 1C.3D. 2解析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)

3、為 F',則4FAB的周長(zhǎng)為 AF+ BF+ ABc AF+ BF+ AF' + BF' = 4a =8,所以a=2,當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)F' ( 1,0)時(shí)， FAB的周長(zhǎng)取得最大值，所以 0= 1 + m所以m= 1.故選B.答案：B224.已知Fi, F2是橢圓 工+ y-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，則 |PFi| |PF| 25 9的最大值是（）A. 9B. 1625C. 25D.-2解析：設(shè) P(x, y),貝U | PF| = a ex, | PF2| = a+ex,| PF| I 困=(a ex)( a+ ex) = a2 -e2x2.當(dāng)

4、x= 0 時(shí)，| PF| I PF2| 取最大值 a2= 25.答案：C5 .已知Fi, F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得PFXPB,則橢圓的離心率的取值范圍是（）解析：設(shè) P(x, y) , PF1 = (-c-x, y), PF2=(c-x, y),由 PFXPF,得 PF - PF2=0,即(一c x, 一 y) (cx, y) = x2+y2 c2= x2+b2 1 x 2cx. 222a21 c = a+bc=。，. x =c2-b22222/2_ 一-c2>0,c b 0,2c 'a ,e>)-.又e<1, ,.橢圓的離心率 e 的取值范圍

5、是承I答案：B 226 . （2016 黃山質(zhì)檢）已知圓（x2）2+y2=1經(jīng)過橢圓與+y2= 1（ a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè) a b焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率e=.解析：因?yàn)閳A（x2）2+y2=1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0） , （3,0）,所以c=1, a=3, e=c 1a=3.答案：13227. （2015 泰安模擬）若橢圓2=1（a>0, b>0）的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)（2,1）作圓x2 + a by2=4的切線，切點(diǎn)分別為A, B,直線 AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程為解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m n）,則n-1 -= - 1,即 m+n2n2m= 0

6、. / n2+ n2= 4, 2m m- 2 m+ n-4= 0,即直線AB的方程為2x+ y 4=0直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，2 2 2x2 y2 ,2c4 = 0, b4=0,斛得 c=2, b= 4,所以 a=b+c=20,所以橢圓方程為 20+16 = 1.林生 x2 y2日水：20+16= 1x228. （2016 保定模擬）直線l過橢圓C： -+y2=1的左焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于P, Q兩點(diǎn)，M為弦PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若 FMO以線段OF為底邊的等腰三角形，則直線 l的斜率為解析：因?yàn)?FMO!以線段OF為底邊的等腰三角形，所以直線OM與直線l的斜率互為相1 2反數(shù).

7、設(shè)直線l的斜率為k,則有k - （-k）=-2,解得k=±+.答案：土 -222，一 ，,一 x y ,一，9. 如圖，橢圓 C：孑+$= 1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)、以上頂點(diǎn)分別為 A, B,且IABmIBF.:(1)求橢圓C的離心率；(2)若斜率為2的直線l過點(diǎn)(0,2),且l交橢圓C于P, Q兩點(diǎn)，OPL OQ求直線l的方程及橢圓C的方程.解：(1)由已知 |AB=|BF,即.a2 + b2 = 2a, 4a2+ 4b2 = 5a2,4a2+ 4( a2 c2) = 5a2,e=2=史a 2 .22(2)由(1)知 a2 = 4b2, 橢圓 C： -x-2

8、+y2=1.4b b設(shè) P(x1, y1), Qx2, v4，直線l的方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.'2x y+2= 0,由 fx2 y2消去 y,得 x2+ 4(2x+2)2-4b2=0,行十1，即 17x2+ 32x+ 16-4b2=0.A = 322 + 16X 17( b2 4)>0 ,解得 b>2-17.一一 ,2X1+X2= , X1X2=-二 .opl oqOp- Oq= 0,1717即 X1X2+ y1y2= 0, X1X2 + (2 Xi + 2)(2 X2+ 2) = 0,5x1X2+4( X1 + X2) +4= 0.伯 4b2128

9、. _2屈從而2彳7 77-+4=0,解得 b=1,滿足 b逐一,X22橢圓C的方程為4+y=1.x2 y2(1)求橢圓C的方程;I j且橢圓C的離心率為1(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線x= 1上，過P作直線交橢圓 C于M N兩點(diǎn)，且P為線段M時(shí)點(diǎn),再過P作直線lLMN證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).10.已知橢圓C：孑+旨=1(2">0)過點(diǎn)力, 一，3 , , ,一 ， , 19 ，一 ，1 ' c 1 r解：因?yàn)辄c(diǎn)1, 2,在橢圓C上,所以孑+后=1.又橢圓C的離心率為2,所以即22a=2c,所以a2=4, b=3,所以橢圓C的方程為%.1.(2)設(shè) P( 1,

10、yo) , yo £3x2+ 4 y2= 12,由 yy0=k x+1當(dāng)直線 MN勺斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN勺方程為y yo=k(X+1), M(X1, y1), N(X2, y2).得(3 + 4k2) X2 + (8 kyo+ 8k2) x+ (4 y0+ 8ky、+ 4k2 12) =0,28ky0+ 8k 所以 X1 + X2 = 一 2 .3+ 4k因?yàn)镻為mN3點(diǎn)，所以Xv2x2=- 1,即一28kyo+ 8k3+4k2 2,一，3所以k=4y(因?yàn)橹本€l ±MfN所以kl =-羋，所以直線l的方程為y yo= 4p ( x+ 1),即y= 331,，一4 !；顯

11、然直線l恒過定點(diǎn)14'當(dāng)直線MN勺斜率不存在時(shí)，直線 MN的方程為x=1,此時(shí)直線l為x軸，也過點(diǎn)綜上所述，直線l恒過定點(diǎn)14'1 . (20 15 高考福建卷)已知橢圓B組高考題型專練22E： |2 + y2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M直線l : 3x 4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF +| BF = 4,點(diǎn)M到直線l的距離不小4于二則橢圓E的離心率的取值范圍是()5A. 0,B. 0，3D.解析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 Fi,半焦距為c,連接AF, BF,則四邊形AFBF為平行四邊形,所以 | AF|+|BR| = |AF +| BF=4

12、.根據(jù)橢圓定義，有 |AR| + |AF +|BF| +|BF=4a.所以 8=4a,解得a= 2.因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l : 3x- 4y = 0的距離不小于即藍(lán)b>1,所以b2>1, 555所以a2-c2，,4-c2，解得。"，所以 哈里所以橢圓的離心率的取值范圍為故選A.答案：AX22b2. (2015 高考浙江卷)橢圓與+E=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c, 0)關(guān)于直線y=°x的對(duì)稱點(diǎn) a bcQ在橢圓上，則橢圓的離心率是 b ，解析：設(shè)左焦點(diǎn)為F1,由F關(guān)于直線y = -x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，得|OQ=| OF,又|OF| c= |OF,所以

13、FQ，QF 不妨設(shè) |QF=ck,則 | QF = bk, | FF| = ak,因此 2c= ak.又 2a=ck+ bk,由以上二式可得 2c=k=b2ac，即2=占，即 a2=c2+bc，所以 b=c，e=2.答案：-22223. (2015 高考陜西卷)如圖，橢圓 E：，+b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0 , - 1),且離心率為 喙(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P, Q(均異于點(diǎn)A),證明:(1)求橢圓E的方程;X22萬十y直線AP與AQ的斜率之和為2.解：(1)由題設(shè)知£=噂，b=1,結(jié)合a2=b2+c2,解得a=，2.所以橢

14、圓的方程為 a 2=1.2(2)證明：設(shè)直線 PQ勺方程為 y= k(x1) + 1( kw2),代入5 + 丫2= 1,得(1 + 2k2)x2 4k( k-1)x + 2k(k-2) = 0.由已知A >0.設(shè) P(X1, y1), Q(X2, y2) , X1X2W0, 4k k-12k k-2則 X1 + X2= -1 + 2k2 -, X1X2= -1 + 2卜2從而直線AP AQ的斜率之和y1 + 1 y2+ 1kAP+ kAQ=+X1X2kX1 + 2- k kX2+2- k十X1X2= 2k+(2 -k)1.X 1= 2k+(2-k)X1 + X2X1X2. 4k kI_

15、= 2k+(2 -k)2k k_? =2k-2(k-1) = 2.4. (2015 高考天津卷)已知橢圓|2 + y2= 1( a>b>0)的左焦點(diǎn)為F( c, 0),離心率為點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓X2+ y2= 2截得的線段的長(zhǎng)為 c, |FM = 4t343(1)求直線FM勺斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線 FP的斜率大于 ® 求直線OPO為原點(diǎn))的斜率的取值范 圍.C21. . O O OO斛：(1)由已知有a2 = 3,又由a=b+c,可得a =3c , b = 2c .設(shè)直線FM的斜率為k(k>0),則直線FM的方程為y=k(X+c).由已知，有(2)由(1)得橢圓方程為3c2+2c2=1,直線FM的方程為y =x + c),兩個(gè)方程聯(lián)立，消去 y,整理得 3x2 + 2cx5c2 = 0,解得 x= 5c,或 x= c.3因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得 M的坐標(biāo)為孚c .2所以橢圓的方程為x+y=i.322=433,解得 c=i,由 |FM=c+c設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),直線， 一 y -FP的斜率為 t ,得 t ,即 y=t(x+ 1)( xw 1),y=t x+i , 與橢圓方程聯(lián)立得x2 y2I= 1,32'消去 V，整理得 2x2+3t2(x+1)2=6