疑難問題幾點解釋

1、1、最小的一位數(shù)是 0 還是 1？九年義務教育六年制小學數(shù)學第八冊教師教學用書第 98 頁“關于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“ 405 ”是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù) 但是要注意：一般不說 0 是幾位數(shù)。專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定 義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為 有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)所以，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第 一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。于此，所謂最大的幾位數(shù)，

2、最小的幾位數(shù)，通 常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。所以0不是最小的一位數(shù)。2000 年教育2、為什么 0也是自然數(shù) ?課標教材對 “0也是自然數(shù) ”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認識。部主持召開教材改編會議時，已明確提出將 0 歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。從教學實踐層面來說，將 “0 ”規(guī)定為 “自然數(shù) ”也有著積極的現(xiàn)實意義。第一： “0”作為自然數(shù)的 “好處”。眾所周知，數(shù)學中的集合被分為有限集合和無限集合 兩類。 有限集合是含有有限個元素的集合， 像某班學生的集合。 無限集合是含有的元素個數(shù) 是非有限的集合， 如分數(shù)的

3、集合。 因為自然數(shù)具有 “基數(shù)”的性質(zhì)， 因此用自然數(shù)來描述有 限集合中元素的個數(shù)是很自然的。 但在有限集合中， 有一個最主要也是最基本的集合， 叫空 集 ,元素個數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)有限集合元素個來表示了。如果把 “0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫 數(shù)”的任務了。于此，從 “自然數(shù)的基數(shù)性 ”這個角度，我們看到了把 “0”作為自然數(shù)的 好處。第二：把 “ 0”作為自然數(shù)，不會影響自然數(shù)的運算功能 ”。 “0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合0,1,2,n ,中的任何兩個自然數(shù)都可以進行加法和乘法運算，而運

4、算結果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運算的結合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。所以， “0” 加盟到自然數(shù)集合實屬理所當然，而不僅僅是人為的規(guī)定 ”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能， 同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數(shù)學的定義”和規(guī)定 ”，還應該思考 “規(guī)定 ”背后的數(shù)學涵義。3、什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時， 保留的有效數(shù)字多， 就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。 這時， 從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。如

5、近似數(shù) 0. 0 0 3 0 9有三個有效數(shù)字：3、0、9；0.520也有三個有效數(shù)字：5、2、0。而0. 0 0 3 0 9中左邊的三個零,0.5 2 0中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。4、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算?加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如：加法“2 + 3 = 5”，其逆算為“ 52 = 3”，“53 = 2”。故此，加法的逆運算只有減法；減法“ 52 = 3”其逆算有 “53=2”，“23=5”。故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。綜上可知， 只能說減法是加法的逆運算， 而不能說加 法與減法互為逆運算。

6、 同理， 也只能說除法是乘法的逆運算， 而不能說乘法與除法互為逆運 算。5、為什么不寫“倍”？在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應用題時，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了 12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？ ”為什么“ 12+ 3= 4”的后面不寫 “倍”呢？我們首先應該肯定學生的質(zhì)疑（學生有較強的解題規(guī)范意識）。同時又該對學生說明：在解答應用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如：12 只的“只”；8 克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關系。例如，上面的計算結果“4”，表示12 里面

7、有 4 個 3，就是12 只小雞是 3 只小鴨的 4 倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別： 在第一學段我們學習了“倍的初步認識”， 認識了概念“倍”， 而在第二學段 , 我們又學習到“倍數(shù)”這個概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是 不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？倍”指的是數(shù)量關系，它建立在乘除法概念的基礎上。例如：男生有 10 人，女生有 30人，因為“10 X3=30 ”或者30 +10=3 ”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10 ）的3倍,也可以說，男生人數(shù)（ 10）的 3倍等于女生人數(shù)（ 30）。勿寧說，“倍”其

8、實表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以是整數(shù)、 小數(shù)、分數(shù)等各種表現(xiàn)形式） ?！氨稊?shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎上。例如， 30 能被 6 整除， 30 就是 6 的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6X5 = 30, 6 X5”表示6的5倍。所以從這個角度來說,倍”的涵義應寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。時”和“小時”有什么不同？怎樣使用“時”和“小時”？首先應該明確的是，小時并非國際時間單位。在1984 年國務院發(fā)布的關于我國統(tǒng)一法定計量單位的命令中

9、，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天日） 、小 時、分作為輔助單位。 （注：里的字， 在不致混淆的情況下， 可以省略） 。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）、小時、分、秒。由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆， 在實際應用時間單位“時”時，現(xiàn)行教材作了如下處理： 第一 ：當列式計算出時間的長短時， 在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間： 21-9=12 （時）。（此處可省 略“小”字）第二 、在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產(chǎn)生混淆， 則在“時”的前面加上一個

10、“小”字例。如：超市營業(yè)時間 12 小時。第三、在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：公園每天早上 7 時 30 分開園（而非 7 小時 30 分）。8、改寫”和“省略”是一樣的嗎？改寫”與“省略”本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：第一 、目的不同。“改寫”的目的是方便對然后大數(shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。 第二、方法不同。“改寫”是去掉“億”位后面0的， 再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位還，要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾， 用四舍五入法求出近似數(shù)。 第三、符號不同?！案膶憽敝桓淖償?shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用=”號連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)

11、的大小，所以用連接。9、路程”就是“距離”嗎？這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然?！奥烦獭笔侵笍囊粋€地點到 另一個地點所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度?！奥烦獭彼?經(jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線， 還可能是折形線。一般情況下，兩個地點之間 的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相 等。10、最大的分數(shù)單位是 1/2 還是 1/1 ？分數(shù)單位的含義是：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。顯然，在分數(shù)意1/1 也可義中，關鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因為把單位1“”平均分成的最

12、少份數(shù)是 2 份，由 此得到的分數(shù)單位是 1/2 ，所以 1/2 是最大的分數(shù)單位。盡管就廣義的分數(shù)來說，在平均分的基礎上所視作分數(shù)， 但它已不是我們通常意義上認識的與整數(shù)對立的那種分數(shù) 產(chǎn)生），故此，最大的分數(shù)單位應以 1/2 為宜。11、像 0/3 、0.2/3 、 3/0.2 這樣的數(shù)是不是分數(shù) ?分數(shù)的定義明確告訴我們 :把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù) ,叫分數(shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分數(shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。由此可知，分數(shù)的分子和 分母都應該是非零自然數(shù)。 從這個意義來說， 以上這幾個數(shù)徒具分數(shù)的形式， 而不具分數(shù)的 實質(zhì)，因此都不應該視為分數(shù)。進而，在考查

13、學生對“分數(shù)”涵義的理解時，應著眼于通常意 義上的分數(shù)， 將上述這些變異形式納入思考的范圍， 其本身對訓練學生的思維并無多大實際 意義，而且會令諸如“分數(shù)都大于 0”等命題的真與假陷入尷尬。12、比 6 多 1/2 的數(shù)”應該是“ 6+1/2”還是“ 6+（ 1+1/2 ）”？要弄清這個問題， 先得弄清“6 ”的性質(zhì)。顯然，此處的“6 ”其實質(zhì)是一個“數(shù)”而，非一個“量”， 求“比6多1/2 的數(shù)”應屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)， 這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。所以，這里的“ 1/2”是指在6 的基礎上“多1/2”這個“1/2 ”數(shù)的本身，

14、而非“6的 1/2”。所以， “比6多1/2 的數(shù)”應該是“6+1/2”。當然，如 果題目確定為“比 6 多它的 1/2 的數(shù)”，那答案則屬于后者。13、計算出勤率可不可以不乘100%?求“XX率”其結果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的百 分之幾。 如果公式只寫成： 出勤率 =實際出勤人數(shù)應出勤人數(shù)， 我們說這只是分數(shù)形式 （也 即是求實際出勤人數(shù)占應出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分數(shù)。因此，在公式后面乘上“10 0%”，既可以使計算數(shù)值大小不變，又能保證結果形式滿足百分數(shù)的要求。因此，計算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率的公式中，都應乘“1 0 0%”。14、小

15、于9 0度的角都是銳角嗎?但由此又產(chǎn)生一個根據(jù)課標教材定義： 小于90度的角叫做銳角。 答案似乎是肯定的， 新的問題： 0度的角是什么角， 也是銳角嗎?事實是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學數(shù)學中所討論的角都是正角。 習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時， 就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。由此，嚴格意義 上的銳角定義應是：大于0度而小于9 0度的角叫做銳角。（建議教材作出修改）15、足球比賽記分牌上的“ 3：2 ”是數(shù)學中的“比”嗎?我們至少可以從兩個方面來理解它們的