正交實(shí)驗(yàn)計(jì)算方法

1、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法（1） (2008-12-17 12:59:39)標(biāo)簽： 正交設(shè)計(jì) 雜談分類： 其他5 1試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法概述試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要的分支。多數(shù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法主要用于分析已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，而試驗(yàn)設(shè)計(jì)卻是用于決定數(shù)據(jù)收集的方法。 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法主要討論如何合理地安排試驗(yàn)以及試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)如何分析等。例 5-1 某化工廠想提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，對(duì)工藝中三個(gè)主要因素各按三個(gè)水平進(jìn)行試驗(yàn)（見表 5-1）。試驗(yàn)的目的是為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，尋求最適宜的操作條件。表 5 1 因素水平因素溫度壓力 Pa加堿量 kg水平符號(hào)Tpm1T1(80 )p1(5.0)m 1(2.0)2T(100)

2、p (6.0)m (2.5)2223T3(120)p3(7.0)m3(3.0)對(duì)此實(shí)例該如何進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)呢？很容易想到的是全面搭配法方案（如圖5-1 所示）：此方案數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)次數(shù)多達(dá) 33 27 次（指數(shù) 3 代表 3 個(gè)因素， 底數(shù) 3 代表每因素有3 個(gè)水平）。因素、水平數(shù)愈多，則實(shí)驗(yàn)次數(shù)就愈多，例如，做一個(gè) 6 因素 3 水平的試驗(yàn)，就需 36729 次實(shí)驗(yàn)，顯然難以做到。因此需要尋找一種合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。圖 5 1 全面搭配法方案試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法常用的術(shù)語定義如下。試驗(yàn)指標(biāo)： 指作為試驗(yàn)研究過程的因變量，常為試驗(yàn)結(jié)果特征的量（

3、如得率、純度等）。例1 的試驗(yàn)指標(biāo)為合格產(chǎn)品的產(chǎn)量。因素： 指作試驗(yàn)研究過程的自變量，常常是造成試驗(yàn)指標(biāo)按某種規(guī)律發(fā)生變化的那些原因。如例 1 的溫度、壓力、堿的用量。水平： 指試驗(yàn)中因素所處的具體狀態(tài)或情況，又稱為等級(jí)。如例1 的溫度有用 T 表示，下標(biāo)1、2、 3 表示因素的不同水平，分別記為T1、 T2、 T3。3 個(gè)水平。 溫度常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有： 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、 單純形優(yōu)化法、雙水平單純形優(yōu)化法、回歸正交設(shè)計(jì)法、序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)法等?？晒┻x擇的試驗(yàn)方法很多， 各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法都有其一定的特點(diǎn)。 所面對(duì)的任務(wù)與要解決的問題不同， 選擇的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法也應(yīng)有所不同。由于篇幅

4、的限制，我們只討論正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。5 2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)用正交表安排多因素試驗(yàn)的方法， 稱為正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。 其特點(diǎn)為： 完成試驗(yàn)要求所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)少。數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布很均勻?？捎孟鄳?yīng)的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，引出許多有價(jià)值的結(jié)論。從例 1 可看出，采用全面搭配法方案，需做 27 次實(shí)驗(yàn)。那么采用簡單比較法方案又如何呢？先固定 T1 和 p1，只改變 m，觀察因素 m 不同水平的影響，做了如圖2-2（ 1）所示的三次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn) m m2時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果最好（好的用 表示），合格產(chǎn)品的產(chǎn)量最高，因此認(rèn)為在后面的實(shí)驗(yàn)中因素m 應(yīng)取 m2 水平。圖 5 2

5、簡單比較法方案情案固定 T1 和 m2，改變 p 的三次實(shí)驗(yàn)如圖 5-2（ 2）所示，發(fā)現(xiàn) p p時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果最好，因此認(rèn)為因素 p 應(yīng)取 p 水平。固定 p和 m ，改變 T 的三次實(shí)驗(yàn)如圖 5-2（ 3）所示，發(fā)現(xiàn)因素T宜取T水平。22因此可以引出結(jié)論：為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，最適宜的操作條件為T2p m2。與全面搭配法方案相比， 簡單比較法方案的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)的次數(shù)少，只需做9 次實(shí)驗(yàn)。 但必須指出，簡單比較法方案的試驗(yàn)結(jié)果是不可靠的。因?yàn)?，在改變m 值（或 p 值，或 T 值）的三次實(shí)驗(yàn)中，說 m2（或 p 或 T2 ）水平最好是有條件的。在T T， p p時(shí)， m2 水平不是最好的可能性是

6、有的。在改變m 的三次實(shí)驗(yàn)中，固定T T ， p p應(yīng)該說也是可以的，是隨意的，故在此方案中數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布的均勻性是毫無保障的。用這種方法比較條件好壞時(shí)，只是對(duì)單個(gè)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值上的簡單比較，不能排除必然存在的試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的干擾。運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法， 不僅兼有上述兩個(gè)方案的優(yōu)點(diǎn)， 而且實(shí)驗(yàn)次數(shù)少， 數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻，結(jié)論的可靠性較好。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是用正交表來安排試驗(yàn)的。對(duì)于例1 適用的正交表是 L 9（ 34），其試驗(yàn)安排見表 5-2。所有的正交表與 L9（ 34）正交表一樣，都具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：（ 1） 在每一列中，各個(gè)不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。在表L 9（ 34）中，每一列有三個(gè)水平

7、，水平 1、 2、 3 都是各出現(xiàn) 3 次。（ 2）表中任意兩列并列在一起形成若干個(gè)數(shù)字對(duì)，不同數(shù)字對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)也都相同。在表 L94）中，任意兩列并列在一起形成的數(shù)字對(duì)共有9 個(gè)：（1,1），（1,2），（1,3），（ 2,1），（3（2,2），（ 2,3），（ 3,1），（ 3,2），（ 3,3），每一個(gè)數(shù)字對(duì)各出現(xiàn)一次。表 52試驗(yàn)安排表列號(hào)試驗(yàn)號(hào)因素符號(hào)123456789123溫度壓力 Pa加堿量 kgTpm1（ T1）1（ p1）1（ m1）12）2）1（T ）2（ p2（ m1（ T1）3（ p3）3（ m3）21）2）2（T ）1（ p2（ m2（ T2）2（ p2）3（ m3）

8、23）1）2（T ）3（ p1（ m3（ T3）1（ p1）3（ m3）32）1）3（T ）2（ p1（ m3（ T3）3（ p3）2（ m2）4123312231這兩個(gè)特點(diǎn)稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點(diǎn)，就保證了用正交表安排的試驗(yàn)方案中因素水平是均衡搭配的， 數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布是均勻的。 因素、水平數(shù)愈多， 運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法， 愈發(fā)能顯示出它的優(yōu)越性， 如上述提到的 6 因素 3 水平試驗(yàn)， 用全面搭配方案需729 次，若用正交表L27（ 313）來安排，則只需做27 次試驗(yàn)。在化工生產(chǎn)中，因素之間常有交互作用。如果上述的因素T 的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素p 變化的規(guī)律也發(fā)

9、生變化，或反過來， 因素 p 的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素T 變化的規(guī)律也發(fā)生變化。這種情況稱為因素T、p 間有交互作用， 記為 T p 。5 3正交表使用正交設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)，就必須用到正交表。正交表請(qǐng)查閱有關(guān)參考書。5.3.1各列水平數(shù)均相同的正交表各列水平數(shù)均相同的正交表，也稱單一水平正交表。這類正交表名稱的寫法舉例如下：L 9（3 4）正交表的列數(shù)每一列的水平數(shù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)正交表的代號(hào)各列水平均為2 的常用正交表有：L4（ 23）， L8 （27），L12（ 211）， L16（215）， L20（219），L32（231）。各列水平數(shù)均為3 的常用正交表有：L9 （

10、34）， L 27（ 313）。各列水平數(shù)均為4 的常用正交表有：L16（ 45）各列水平數(shù)均為3 的常用正交表有：L25（ 56）5.3.2混合水平正交表L 8 （41 24）2 水平列的列數(shù)為44 水平列的列數(shù)為1實(shí)驗(yàn)的次數(shù)正交表的代號(hào)各列水平數(shù)不相同的正交表，叫混合水平正交表， 下面就是一個(gè)混合水平正交表名稱的寫法：L 8（ 41 24）常簡寫為 L 8（ 4 24）。此混合水平正交表含有 1 個(gè) 4 水平列， 4 個(gè) 2 水平列，共有 1 4 5 列。5.3.3選擇正交表的基本原則一般都是先確定試驗(yàn)的因素、水平和交互作用，后選擇適用的L 表。在確定因素的水平數(shù)時(shí)，主要因素宜多安排幾個(gè)水

11、平，次要因素可少安排幾個(gè)水平。（ 1）先看水平數(shù)。若各因素全是2 水平，就選用3 水平，就選L(2 )表；若各因素全是L(3 )表。若各因素的水平數(shù)不相同，就選擇適用的混合水平表。（ 2）每一個(gè)交互作用在正交表中應(yīng)占一列或二列。要看所選的正交表是否足夠大，能否容納得下所考慮的因素和交互作用。 為了對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析或回歸分析， 還必須至少留一個(gè)空白列，作為“誤差”列，在極差分析中要作為“其他因素”列處理。（ 3）要看試驗(yàn)精度的要求。若要求高，則宜取實(shí)驗(yàn)次數(shù)多的L 表。（ 4）若試驗(yàn)費(fèi)用很昂貴，或試驗(yàn)的經(jīng)費(fèi)很有限，或人力和時(shí)間都比較緊張，則不宜選實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多的 L 表。（ 5）按原來考慮的因

12、素、水平和交互作用去選擇正交表，若無正好適用的正交表可選，簡便且可行的辦法是適當(dāng)修改原定的水平數(shù)。（6）對(duì)某因素或某交互作用的影響是否確實(shí)存在沒有把握的情況下，選擇 L 表時(shí)常為該選大表還是選小表而猶豫。 若條件許可， 應(yīng)盡量選用大表， 讓影響存在的可能性較大的因素和交互作用各占適當(dāng)?shù)牧小?某因素或某交互作用的影響是否真的存在， 留到方差分析進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)再做結(jié)論。這樣既可以減少試驗(yàn)的工作量，又不致于漏掉重要的信息。5.3.4正交表的表頭設(shè)計(jì)所謂表頭設(shè)計(jì)，就是確定試驗(yàn)所考慮的因素和交互作用，在正交表中該放在哪一列的問題。（ 1）有交互作用時(shí)，表頭設(shè)計(jì)則必須嚴(yán)格地按規(guī)定辦事。因篇幅限制，此處不討論，請(qǐng)查閱有關(guān)書籍。（2）若試驗(yàn)不考慮交互作用，則表頭設(shè)計(jì)可以是任意的。如在例5-1 中，對(duì) L