華師版第28章-圓知識點總結與練習題

1、第28章圓知識點復習與練習題一、圓的概念集合形式的概念：i、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:二、點與圓的位置關系1、點

2、在圓內dr點C在圓內；2、點在圓上dr點B在圓上；3、點在圓外dr點A在圓外；三、直線與圓的位置關系平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。A,I C2、直線與圓相切有一個交點;3、直線與圓相交有兩個交點;-可編輯修改-四、圓與圓的位置關系外離（圖1）無交點外切（圖2）有一個交點相交（圖3）有兩個交點R r；內切（圖4）有一個交點內含（圖5）無交點五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且

3、平分弦所對的另一條弧3個結論，即:以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個結論中，只要知道其中 2個即可推出其它AB是直徑AB CD CEDE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，AB /CDB-'MAC 弧 BD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結論，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ;弧BA 弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓

4、周角等于它所對的圓心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等?。患矗涸?。中，C、D都是所對的圓周角C D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或C 90C 90，AB是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB. MBC是直角三角形或 C 90注：此推論實是八年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一

5、半的逆定理。八、圓內接四邊形圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。即：在。中，C BAD 180B D 180四邊形ABCD是內接四邊形DAE C九、切線的性質與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：: MN OA且MN過半徑OA外端.MN是。O的切線(2)性質定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2 :過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、

6、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：.PA、PB是的兩條切線PA PBPO平分 BPA、圓騫定理(1)相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點P, .PA PB PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在。中，直徑AB CD ,2. CE AE BE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割 線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在。中，PA是切線，PB是割線PA2 PC PB(4)割線定理：從圓外一點

7、引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)即：在。中，PB、PE是割線. PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分 AB o即：O1、O 02相交于A、B兩點.0102垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1)公切線長： Rt 0102c 中，AB2 CO12 go22 CO22 ;(2)外公切線長： CO2是半徑之差； 內公切線長：CO2是半徑之和-可編輯修改-十四、圓內正多邊形的計算(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有關計算在Rt BOD中進行：O

8、D:BD:OB 1:62；(2)正四邊形同理，四邊形的有關計算在 Rt OAE中進行，OE:AE:OA 1:1: 22 :(3)正六邊形同理，六邊形的有關計算在Rt OAB 中進行，AB:OB:OA 1: 73:2.卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式n R1、扇形：(1)弧長公式：l ；180n R2(2)扇形面積公式：S 36011R 2n ：圓心角 R：扇形多對應的圓的半徑l ：扇形弧長S :扇形面積D1母線長C12、圓柱：(1)圓柱側面展開圖S表 S側 2s底=2 rh 2 r2(2)圓柱的體積：V r h3 .圓錐：(1)圓錐側面展開圖Si S側S底=Rr/12,(2)圓錐的體積：V

9、 r h3十六、內切圓及有關計算(1)三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）祥BC中， C 90,AC b,BC a,AB c,則內切圓的半徑r-1 ，（3） Svabc 2r（a b c）,其中a, b, c是邊長，r是內切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切。O于點B, AB為弦，/ABC叫弦切角，/ ABC= /D。C練習題一、選擇題1 .（北京市西城區(qū)）如圖，BC是。O的直徑，P是CB延長線上一點,于點A,如果PA=由，PB=1 ,那么/APC等于（）（A） 15（B） 30（C） 45（D） 60PA

10、 切。O2.（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國古代著名的數(shù)學菱九章算術中的一個問題，“今在圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是：“如圖，CD為。的直徑，弦 ABXCD,垂足為E, CE= 1寸，AB =寸，求直徑CD的長”.依題意，CD長為 （）（A） 一寸（B） 13 寸（C） 25 寸（D） 26 寸23.（北京市朝陽區(qū)） 已知：如圖，。半徑為5, PC切。O于點C, PO交。O于點A,PA=4,那么PC的長等于 （）（A） 6（B） 2 V5（C） 2 v,10（D） 2 v144.（北京市朝陽區(qū)）如果圓錐的側面積為20兀平方厘米，它

11、的母線長為 5厘米，那么此圓錐的底面半徑的長等于(A) 2厘米（B） 2、5厘米（C）4厘米（D）8厘米5.（重慶市）如圖，。為MBC的內切圓，ZC=90 , AO的延長線交 BC于點D,AC = 4, DC=1 ,則。O的半徑等于（）5(B)45(D)-66 .（重慶市）一居民小區(qū)有一正多邊形的活動場.為迎接“AAPP”會議在重慶市的召開，小區(qū)管委會決定在這個多邊形的每個頂點處修建一個半徑為2米的扇形花臺,花臺都以多邊形的頂點為圓心,比多邊形的內角為圓心角，花臺占地面積共為12兀平方米.若每個花臺的造價為400 元,則建造這些花臺共需資(A) 2400 元(B) 2800 元(C) 3200

12、 元(D) 3600 元AB7.（成都市）如圖，已知AB是。O的直徑,弦CDLAB于點P,CD=10 厘米，AP : PB=1 ： 5,那么。O的半徑是(A) 6厘米(C) 8厘米(D) 5J3厘米8.(成都市)在 RtZABC 中，已知 AB=6, AC=8, /A= 90AC旋轉一周得到一個圓錐， 其表面積為S1；把RtAABC繞直線AB旋轉一周得到另一個圓錐，其表面積為S2 ,那么S1 ： S2等于(A) 2：3(B) 3 ： 4(C) 4 ： 9(D) 5 ： 129.（蘇州市）如圖,O的弦AB=8厘米，弦CD平分AB于點E.若CE=2厘米.ED長(A) 8厘米(B) 6厘米(C)4厘

13、米(D) 2厘米.如果把RtZABC繞直線10.（廣東?。┤鐖D，若四邊形 ABCD是半徑為1和。O的內接正方形，則圖中四個弓形（即四個陰影部分）的面積和為（A） （2兀一2）厘米（B） （2兀一1）厘米（C）（兀一2）厘米（D）（兀一 1）厘米11 .（武漢市）如圖，已知圓心角/ BOC= 100 ,則圓周角/ BAC的度數(shù)是(A) 50(B) 100(C) 130(D) 20012 .（武漢市）已知：如圖,E是相交兩圓。M和。O的一個交點，且 MEXNE,2.（重慶市）如圖,AB是。O的直徑，四邊形ABCD內接于。O,c c cBC CD AD比為3 ： 2 ： 4, MN是。O的切線，C是

14、切點，則/ BCM的度數(shù)為的度數(shù)AB為外公切線，切點分別為 A、B,連結AE、BE.則/AEB的度數(shù)為(A) 145(B) 140 °(C) 135 °( D) 130二、填空題1.（北京市東城區(qū)）如圖，AB、AC是。O的兩條切線，切點分別為是優(yōu)弧 砧上的一點，已知/ BAC= 80 ,那么/BDC =度.4.（重慶市）如圖，四邊形ABCD內接于。O, AD /BC,BC=6,則四邊形 ABCD的面積為A3+CD =AD + B。，若 ad = 43.（重慶市）如圖， P是O O的直徑AB延長線上一點，PC切。O于點C, PC= 6,BC : AC= 1 ：2,則 AB 的

15、長為5 .（哈爾濱市）如圖，圓內接正六邊形 ABCDEF中，AC、BF交于點M .則SzxabmSA AFM6 .（南京市）如圖， AB是。的直徑，弦 CDLAB,垂足是 G, F是CG的中點，延長AF 交。于 E, CF= 2, AF=3,則 EF 的長是7 .（福州市）在。O中，直徑 AB = 4厘米，弦 CDLAB于E, OE= J3 ,則弦CD的長為厘米.8 .（河南省）如圖，AB為。的直徑，P點在AB的延長線上，PM切。于M點.若OA = a, PM= J3a,那么PMB的周長的9 .（四川?。┥刃蔚膱A心角為120 ,弧長為6兀厘米，那么這個扇形的面積為 10.（貴陽市）某種商品的商

16、標圖案如圖所求（陰影部分），已知菱形ABCD的邊長為4,ZA= 60 , BD是以a為圓心，ab長為半徑的弧，CD是以B為圓心，BC長為半徑的弧， 則該商標圖案的面積為 11 .（成都市）如圖，PA、PB與。O分別相切于點 A、點B, AC是。的直徑,PC交。O于點D,已知/APB=60 , AC = 2,那么CD的長為12 .（溫州市）如圖，扇形 OAB中，Z AOB = 90 ,半徑OA = 1 , C是線段AB的中點,OA,交黜于點D,則CD =13 .（常州市）已知扇形的圓心角為 150 ，它所對的弧長為20兀厘米，則扇形的半徑是厘米，扇形的面積是 乎方厘米.14 .（常州市）如圖，D

17、E是。O直徑，弦ABIDE,垂足為C,若AB = 6,CE=1，則CD =OC =三.簡答題：1 .如圖，MN 是半徑為1的。O的直徑，點 A在OO上，/AMN=30 ° , B為AN弧的中點，點 P是直徑 MN上一個動點，則求 PA+PB的最小值2.如圖，AB是。O的直徑，點 D在AB的延長線上，且 BD OB,點C在O O上，/CAB=30 ° ,求證：DC是。O的切線.3.如圖,AB既是。C的切線也是。D的切線，O C與O D相外切，O C的半徑r=2 , O D的半徑R=6 ,求四邊形 ABCD的面積。4 .如圖，BC是O O的直徑，A是弦BD延長線上一點，切線 D

18、E平分AC于E,求證:AC 是。O的切線.（2）若AD : DB=3 : 2, AC=15 ,求。O的直徑.5 .如圖，AB是。O的直徑，點P在BA的延長線上，弦 CD ±AB,垂足為E,且PC2 PE ? PO . （1）求證:PC是。的切線；（2）若OE：EA=1 ：2, PA=6 ,求。的半徑；（3）求Sn PCA的值.（12分）6 .如圖，O O的兩條割線 AB、AC分別交圓。于D、B、E、C,弦DF/AC 交BC于C.（1）求證：AC FG BC CG；（2）若CF=AE.求證：4ABC為等腰三角形.-可編輯修改-7 1 “ 吆 7 .如圖，AB是。的直徑，弦 CD，AB與點E,點P在O O上，/1=/C,（1）求證：CB /PD ;3(2)右 BC 3, Sin P ,求。O 的直徑。5-可編輯修改-8 .如圖，4ABC內接于。O, AB是。O的直徑，PA是過A點的直線，/ PAC=