基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設計與仿真(論文)

1、本科畢業(yè)設計論文題 目 基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設計與仿真專業(yè)名稱 電子信息工程 學生姓名 王星 指導教師 令前華 完成時間 2012年6月 西北工業(yè)大學明德學院本科畢業(yè)設計論文目錄摘 要1ABSTRACT2前 言3第1章 濾波器的基本概念41.1 濾波器的定義41.2 濾波器的發(fā)展41.3 濾波器的分類5第2章 濾波器的原理與設計72.1 模擬濾波器的原理與設計72.2 數(shù)字濾波器的原理與設計8第3章 IIR數(shù)字濾波器的設計103.1 IIR數(shù)字濾波器簡介103.2 IIR數(shù)字濾波器的主要技術(shù)指標103.3 IIR數(shù)字濾波器的設計過程123.3.1用脈沖相應不變法設計IIR數(shù)字濾

2、波器133.3.2雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器16第4章 IIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)204.1 matlab簡介204.1.1 matlab的概況204.1.2 matlab的語言特點204.1.3 matlab的功能224.2 利用模擬原型進行IIR數(shù)字濾波器的設計和仿真234.2.1巴特沃斯(Butterworth)和橢圓數(shù)字低通濾波器的設計244.2.2切比雪夫（Chebyshev）數(shù)字濾波器的設計304.3 IIR數(shù)字濾波器的直接設計法34第5章 IIR數(shù)字濾波器的綜合設計和仿真405.1數(shù)字低通濾波器設計實例與仿真405.2數(shù)字帶通濾波器設計實例與仿真42結(jié) 論45致 謝46參考文獻

3、47畢業(yè)設計小結(jié)48II摘 要在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N噪聲和干擾，所以很多信號分析都是基于濾波器而進行的，而數(shù)字濾波器是通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，具有處理精度高、穩(wěn)定、靈活、不存在阻抗匹配問題等優(yōu)點，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器。實現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應用很廣。Matlab軟件以矩陣運算為基礎，把計算、可視化及程序設計有機融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研

4、究和應用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處理工具箱使各個領域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究與工程應用。本文根據(jù)模擬濾波器的設計原理，提出了IIR數(shù)字濾波器的設計方法，并在MATLAB環(huán)境下實現(xiàn)了IIR 數(shù)字濾波器的設計和仿真。其主要內(nèi)容概括為：首先對濾波器的原理和設計進行了介紹；接著描述了IIR數(shù)字濾波器的基本概念，其中包括系統(tǒng)的描述、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、系統(tǒng)的模型；接著簡單介紹MATLAB，并對數(shù)字濾波器在MATLAB環(huán)境下如何實現(xiàn)進行了介紹；重點描述了IIR數(shù)字濾波器的設計過程，最后對IIR濾波器進行仿真。關(guān)鍵詞： MATLAB， IIR數(shù)字濾波器， 模擬濾波

5、器ABSTRACTIn modern communication system, because the signal is often mixed with various noise and interference, so a lot of signal analysis are based on the filter and the digital filter, and through numerical arithmetic to realize filtering, has high processing precision, stable, flexible, there is

6、 no problem of impedance matching and other advantages, can realize analog filter can achieve special filtering function.Digital filter based on the impulse response function in the time domain characteristics, can be divided into two types, namely, infinite impulse response (IIR) digital filters an

7、d finite impulse response (FIR) digital filter.Realization of IIR filter order is relatively low, the storage unit is less, high efficiency, high precision, and can retain some analog filter of excellent properties, so the application is very wide.Matlab software for matrix computation based on the

8、calculation, visualization, and the program design of the organic integration of the interactive environment, and digital filtering for applications in research and provides an intuitive, efficient, convenient tool.Especially the Matlab signal processing toolbox to various fields of research personn

9、el can undertake scientific research and engineering application. In this paper, according to the analog filter design theory, puts forward the design of IIR digital filter method, and MATLAB environment in the realization of IIR digital filter design and simulation.Its main content is wraparound fo

10、r: first on the filter principle and design are introduced; then described the IIR basic concepts of digital filter, which includes system is described, the transfer function of the system, system model; then a brief introduction of the MATLAB, and the digital filters in the MATLAB environment how t

11、o realization are introduced; focus on the description of IIR digital filter design process, the last of the IIR filter simulation.KEY WORDS: MATLAB, IIR digital filter, Dimulation filt前 言濾波是信號處理的基礎，濾波運算是信號處理中的基本運算，濾波器的設計也就相應成為數(shù)字信號處理的最基本問題之一。濾波器可廣義的理解為一個信號選擇系統(tǒng)，它讓某些信號成分通過又阻止或衰減另一些成分。在更多的情況下，濾波器可理解為選頻

12、系統(tǒng)，如低通、高通、帶通、帶阻。濾波器可分為三種：模擬濾波器、采樣濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器可以是由RLC構(gòu)成的無源濾波器，也可以是加上運放的有源濾波器，是連續(xù)時間系統(tǒng)；采樣濾波器由電阻、電容、電荷轉(zhuǎn)移器件、運放等組成，屬于離散時間系統(tǒng)，幅度連續(xù)；數(shù)字濾波器由加法器、乘法器、存儲延遲單元、時鐘脈沖發(fā)生器和邏輯單元等數(shù)字電路構(gòu)成，精度高，穩(wěn)定性好，不存在阻抗匹配問題，可以時分復用。數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置，其輸入、輸出均為數(shù)字信號，實質(zhì)上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或

13、信號波形，讓有用頻率的信號分量通過，抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念，數(shù)字濾波器根據(jù)其單位脈沖響應的性質(zhì)可分為無限長單位脈沖響應濾波器IIR和有限長單位脈沖響應濾波器(FIR)兩種，按其頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比，數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外，還有靈活性強、穩(wěn)定性好、濾波精度高等優(yōu)點。49第1章 濾波器的基本概念1.1 濾波器的定義濾波器是一種用來消除干擾雜訊的器件，凡是可以使信號中特定的頻率成分通過，而極大地衰減或抑制其他頻率成分的裝置或系統(tǒng)都稱之為濾波器，相當于頻率“篩子”。 濾波器的功能就是允許某一部分頻

14、率的信號順利的通過，而另外一部分頻率的信號則受到較大的抑制，它實質(zhì)上是一個選頻電路。濾波器中，把信號能夠通過的頻率范圍，稱為通頻帶或通帶；反之，信號受到很大衰減或完全被抑制的頻率范圍稱為阻帶；通帶和阻帶之間的分界頻率稱為截止頻率；理想濾波器在通帶內(nèi)的電壓增益為常數(shù)，在阻帶內(nèi)的電壓增益為零；實際濾波器的通帶和阻帶之間存在一定頻率范圍的過渡帶。1.2 濾波器的發(fā)展在近代電信設備和各類控制系統(tǒng)中，濾波器應用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多，技術(shù)最為復雜的要算濾波器了。濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各國所重視。 1917年美國和德國科學家分別發(fā)明了LC濾波器，美

15、國第一個多路復用系統(tǒng)的出現(xiàn)，20世紀50年代無源濾波器日趨成熟，60年代起由于計算機技術(shù)、集成工藝和材料工業(yè)的發(fā)展，濾波器發(fā)展上了一個新臺階，并且朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩(wěn)定可靠和價廉的方向努力，70年代以后的主攻方向為小體積、多功能、高精度、穩(wěn)定可靠導致RC有源濾波器、數(shù)字濾波器、開關(guān)電容濾波器和電荷轉(zhuǎn)移器等各種濾波器的飛速發(fā)展，到70年代后期，上述幾種濾波器的單片集成已被研制出來并得到應用，80年代，致力于各類新型濾波器的研究，努力提高性能并逐漸擴大應用范圍，90年代至現(xiàn)在主要致力于把各類濾波器應用于各類產(chǎn)品的開發(fā)和研制。當然，對濾波器本身的研究仍在不斷進行。 我國于50年代后

16、廣泛使用濾波器，當時主要用于話路濾波和報路濾波。經(jīng)過半個世紀的發(fā)展，我國濾波器在研制、生產(chǎn)和應用等方面已踏入國際發(fā)展步伐，但由于缺少專門研制機構(gòu)，集成工藝和材料工業(yè)跟不上來，使得我國許多新型濾波器的研制應用與國際發(fā)展有一段距離。1.3 濾波器的分類安縣好處理的類型分，濾波器分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器由電阻，電容，電感等原器件構(gòu)成；而數(shù)字濾波器則可由數(shù)字電路實現(xiàn)或軟件實現(xiàn)。按脈沖響應來分類，數(shù)字濾波器分為IIR和FIR，即無限沖激響應濾波器和有限沖激響應濾波器；其中IIR網(wǎng)絡中有反饋回路，F(xiàn)IR網(wǎng)絡中沒有反饋回路。從小的方面分：a.按所處理的信號分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種。b.按

17、所通過信號的頻段分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器四種。低通濾波器：它允許信號中的低頻或直流分量通過，抑制高頻分量或干擾和噪聲。 高通濾波器：它允許信號中的高頻分量通過，抑制低頻或直流分量。帶通濾波器：它允許一定頻段的信號通過，抑制低于或高于該頻段的信號、干擾和噪聲。 帶阻濾波器：它抑制一定頻段內(nèi)的信號，允許該頻段以外的信號通過。圖1.1 由通過信號的頻段劃分的四種濾波器c.按所采用的元器件分為無源和有源濾波器兩種: 無源濾波器：僅由無源元件(R、L 和C)組成的濾波器，它是利用電容和電感元件的電抗隨頻率的變化而變化的原理構(gòu)成的。這類濾波器的優(yōu)點是：電路比較簡單，不需要直流電源供電，可靠性高；缺

18、點是：通帶內(nèi)的信號有能量損耗，負載效應比較明顯，使用電感元件時容易引起電磁感應，當電感L較大時濾波器的體積和重量都比較大，在低頻域不適用。 有源濾波器：由無源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成運算放大器）組成。這類濾波器的優(yōu)點是：通帶內(nèi)的信號不僅沒有能量損耗，而且還可以放大，負載效應不明顯，多級相聯(lián)時相互影響很小，利用級聯(lián)的簡單方法很容易構(gòu)成高階濾波器，并且濾波器的體積小、重量輕、不需要磁屏蔽(由于不使用電感元件）；缺點是：通帶范圍受有源器件(如集成運算放大器）的帶寬限制，需要直流電源供電，可靠性不如無源濾波器高，在高壓、高頻、大功率的場合不適用。第2章 濾波器的原理與設計濾波器是一種用來

19、過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的?？梢栽O計系統(tǒng)的頻率響應，讓它滿足一定的要求，從而對通過該系統(tǒng)的信號的某些特定的頻率成分進行過濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個連續(xù)系統(tǒng)，則濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個離散系統(tǒng)，則濾波器稱為數(shù)字濾波器。2.1 模擬濾波器的原理與設計模擬濾波器可以分為無源和有源濾波器，濾波器是一種能使有用信號順利通過而同時對無用頻率信號進行抑制（或衰減）的電子裝置。工程上常用它來做信號處理、數(shù)據(jù)傳送和抑制干擾等。以往主要采用無源元件R、L和C組成模擬濾波器，六十年代以來，集成運放獲得了迅速地發(fā)展，由它和R、C組成的有源濾波

20、器，具有不用電感、體積小、重量輕等優(yōu)點。此外，由于集成運放的開環(huán)電壓增益和輸入阻抗均很高，而輸出阻抗又很低，而且，由其構(gòu)成的有源濾波器還具且一定的電壓放大和緩沖作用。因此，基于放大器和R、C構(gòu)成的有源濾波器應用日益廣泛。模擬濾波器的設計，就是用模擬系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近所要求的理想特性。標準的模擬低通濾波器的設計公式有巴特沃思和切比雪夫等，它們都是根據(jù)幅度平方函數(shù)來確定的。為逼近理想低通濾波器，其模擬理想低通濾波器的幅度特性可用幅度平方函數(shù)表示，即 （2.1）式中，為所設計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它是s的有理函數(shù)；是其穩(wěn)態(tài)響應，即濾波器頻率特性為濾波器的穩(wěn)態(tài)振幅特性。由幅度平方函數(shù)確定的方法是：

21、（a） 在中，令，得到；(b) 將的有理式進行分解，得到零點和極點。如果系統(tǒng)函數(shù)是最小相位函數(shù)，則s平面左半平面的零點和極點都屬于，而任何在虛軸上的極點和零點都是偶次的，其中一半屬于(c) 根據(jù)具體情況，比較和的幅度特性，確定增益常數(shù)，這樣就完全確定了。在模擬濾波器中，低通濾波器的設計是最基本的，高通，帶通和帶阻濾波器等可以用頻帶變換方法由低通濾波器轉(zhuǎn)變得到。2.2 數(shù)字濾波器的原理與設計所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器和模擬濾波器相比，因為信號的形式和實現(xiàn)濾波的方法不同，數(shù)字濾波器具有比模擬濾

22、波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配等優(yōu)點。數(shù)字濾波器從功能上分類:可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。從濾波器的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應分類:可分為IIR濾波器(即無限長單位沖激響應濾波器)和FIR濾波器(即有限長單位沖激響應濾波器)。IIR數(shù)字濾波器可用一個n階差分方程表示： （2.2）或用它的Z域系統(tǒng)函數(shù): （2.3）對照模擬濾波器的傳遞函數(shù): （2.4）可以看出,設計數(shù)字濾波器的思路與模擬濾波器相仿,設計實質(zhì)都是尋找一組系數(shù)b,a,去逼近所求的頻率響應,以便在性能上滿足預定的技術(shù)要求；不同的是數(shù)字濾波器是在Z平面尋找合適的H(Z), 模擬濾波器則是

23、在S平面用數(shù)學逼近法尋找近似的所需特性H(S)。由于模擬濾波器的設計在理論上已十分成熟,因此數(shù)字濾波器設計的關(guān)鍵是將H(S)變換至H(Z),即利用復值映射將模擬濾波器離散化。已經(jīng)證明,脈沖響應不變法和雙線性變換法能較好地擔當此任。IIR數(shù)字濾波器的單位響應是無限長的,而模擬濾波器一般都具有無限長的單位脈沖響應,故與模擬濾波器相類似。第3章 IIR數(shù)字濾波器的設計3.1 IIR數(shù)字濾波器簡介數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理的各種應用中發(fā)揮著十分重要的作用。它是通過對采樣數(shù)據(jù)信號進行數(shù)學運算處理來達到濾波的目的。其中無限沖擊響應數(shù)字濾波器也稱IIR是采用對離散采樣數(shù)據(jù)作差分方程運算來進行濾波。IIR數(shù)字濾

24、波器的優(yōu)點在于可以利用模擬濾波器設計的結(jié)果，然后采用雙線性變換法或沖激響應不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，而模擬濾波器的設計方便簡單、有大量的圖表可查。IIR數(shù)字濾波器具有以下特點：（1） IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。  （2） IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。  （3） IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特

25、沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。  （4） IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡。3.2 IIR數(shù)字濾波器的主要技術(shù)指標在設計IIR數(shù)字濾波器之前，首先了解數(shù)字濾波器的技術(shù)指標，才能將其轉(zhuǎn)化成滿足要求的模擬濾波器技術(shù)指標，再將模擬濾波器轉(zhuǎn)化成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的主要技術(shù)指標為：(1) 特征頻率參數(shù)濾波器的頻率參數(shù)主要有：通帶截止頻率：為通帶與過渡帶的邊界

26、點，在該點信號增益到規(guī)定的下限。阻帶截頻：為阻帶于過渡帶的邊界點，在該點信號衰減到規(guī)定的下限。轉(zhuǎn)折頻率：為 信號功率衰減到(約為3)時的頻率，但在多數(shù)情況下也常以作為通帶或阻帶截頻。當電路沒有損耗時，固有頻率，就是其諧振頻率。(2) 增益和衰減濾波器在通帶內(nèi)的增益并不是常數(shù)。對低通濾波器來說，通帶增益一般指時的增益；對于高通而言，通帶增益指時的增益；對于帶通而言，通帶增益則指中心頻率處的增益。對帶阻濾波器而言，應給出阻帶衰減，衰減定義為增益的倒數(shù)。通帶增益變化指通帶內(nèi)各點增益的最大變化量，如果以為單位，則指增益值的變化量。(3) 阻尼系數(shù)與品質(zhì)因數(shù)阻尼系數(shù)是表征濾波器對角頻率為信號的阻尼作用，

27、同時是濾波器中表示能量衰減的一項重要指標，也是與傳遞函數(shù)的極點實部大小相關(guān)的一項系數(shù)。阻尼系數(shù)的倒數(shù)1/稱為品質(zhì)因數(shù)Q，是評價帶通和帶阻濾波器頻率選擇特性的一個重要指標，它可以表示為。其中為帶通或帶阻的帶寬，為中心頻率，在多數(shù)情況下中心頻率等于固有頻率。(4) 靈敏度濾波器的濾波電路是由很多元件構(gòu)成的，每個元件的參數(shù)值變化都會影響它的性能。當濾波器的某一個性能指標對另一個性能指標變化的靈敏度記為，定義為： (3.1)靈敏度是濾波電路設計中的一個重要參數(shù)，但該靈敏度與測量儀器或電路系統(tǒng)靈敏度概念不同，該靈敏度越小，標志著電路容錯能力越大，穩(wěn)定性也就越高。(5) 群延時函數(shù)當濾波器幅頻特性滿足設計

28、要求時，為保證輸出信號失真不超過允許范圍，對其相頻特性也相應提出了一定要求。在濾波器設計中，常用群延時函數(shù)評價信號經(jīng)濾波后相位失真程度，越接近常數(shù)，信號相位失真越小。3.3 IIR數(shù)字濾波器的設計過程IIR數(shù)字濾波器的設計一般有兩種方法：一個是借助模擬濾波器的設計方法進行。其設計步驟是，先設計模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因為模擬濾波器的設計方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時域內(nèi)進行，由于需要解聯(lián)立方程，設計時需要計算機做輔助設計。其設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾

29、波器的系統(tǒng)函數(shù)。另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。為了保證轉(zhuǎn)換后的穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求:（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。（2）數(shù)字濾波器的頻率相應模仿模擬濾波器的頻響特性，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應的頻率之間呈線性關(guān)系。利用模擬濾波器成熟的理論設計IIR數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成相應的模擬低通濾波器的技術(shù)指標。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設計過渡模擬低通濾波器。(4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將

30、模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的設計流程圖如下：數(shù)字濾波器技術(shù)指標模擬濾波器 技術(shù)指標 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器設計方法變換變換圖3.1 IIR數(shù)字濾波器的設計步驟流程圖成熟的數(shù)字濾波器設計方法主要有脈沖響應不變法和雙線性變換法。3.3.1用脈沖相應不變法設計IIR數(shù)字濾波器一 設計原理利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)

31、的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)，式中T是采樣周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得 (3.2)則可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標準變換關(guān)系式。圖3.2 脈沖響應不變法的映射關(guān)系由（3.2）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關(guān)系為 (3.3)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 (3.4

32、)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而不產(chǎn)生混疊失真，即 (3.5)但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖3.3脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響

33、應各周期延拓分量之間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。二 脈沖響應不變法的優(yōu)點從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。脈沖響應不變法的最大缺點是有頻率響應的混疊效應。所以，脈沖響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高

34、通和帶阻濾波器采用脈沖響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數(shù)。3.3.2雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器一 設計原理脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上

35、去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖3.4所示。圖3.4雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) (3.6)式中,T仍是采樣間隔。當1由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（2-6）寫成 (3.7)將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得 (3.8)再將S1平面通過以下標準變換關(guān)系映射到Z平面 (3.9)從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為： (3.10) (3.11)式（3.10）與式（3.

36、10）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（3.6）與式（3.10的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ej，可得 （3.12）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（2-12），得 （3.13）因此 （3.14）由此看出，當<0時，|z|<1；當>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。二 雙線性變換法優(yōu)缺點雙線性

37、變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關(guān)系。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（3.10）所示，重寫如下： （3.15）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖3.5所示。由圖3.5看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖3.5雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是

38、靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如式（3.12）及圖3.4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖3.6所示:圖3.6雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的

39、臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸變來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。第4章 IIR數(shù)字濾波器的實現(xiàn)利用MATLAB設計濾波器,可以按照設計要求非常方便地調(diào)整設計參數(shù),極大地減輕了設計的工作量,有利于濾波器設計的最優(yōu)化。MATLAB因其強大的數(shù)據(jù)處理功能被廣泛應用于工程計算,其豐富的工具箱為工程計算提供了便利,利用MATLAB信號處理工具箱可以快速有效地設計各種數(shù)字濾波器,設計簡單方便。4.1 MATLAB簡介4.1.1 MATLAB的概況MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的

40、數(shù)值計算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多.MATLAB擁有數(shù)百個內(nèi)部函數(shù)的主包和三十幾種工具包(Toolbox).工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包.功能工具包用來擴充MATLAB的符號計算,可視化建模仿真,文字處理及實時控制等功能.學科工具包是專業(yè)性比較強的工具包,控制工具包,信號處理工具包,通信工具包等都屬于此類.開放性使MATLAB廣受用戶歡迎.除內(nèi)部函數(shù)外,所有MATLAB主

41、包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件,用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構(gòu)造新的專用工具包.4.1.2 MATLAB的語言特點MATLAB最突出的特點就是簡潔。MATLAB用更直觀的，符合人們思維習慣的代碼，代替了C和FORTRAN語言的冗長代碼。MATLAB給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發(fā)環(huán)境。以下簡單介紹一下MATLAB的主要特點：（1）語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。MATLAB程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的子程序編程任務，壓縮了一切不必要的編程工作。由于庫函數(shù)都由本領域的專家編寫，用戶不必擔心函數(shù)的可靠性。可以說，用MATLAB進行科技開發(fā)是站

42、在專家的肩膀上。（2）運算符豐富。由于MATLAB是用C語言編寫的，MATLAB提供了和C語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用MATLAB的運算符將使程序變得極為簡短。（3）MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如for循環(huán)，while循環(huán)，break語句和if語句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦?。?）程序限制不嚴格，程序設計自由度大。例如，在MATLAB里，用戶無需對矩陣預定義就可使用。（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。（6）MATLAB的圖形功能強大。在FORTRAN和C語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。MATLAB還具

43、有較強的編輯圖形界面的能力。（7）MATLAB的缺點是，它和其他高級程序相比，程序的執(zhí)行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預處理，也不生成可執(zhí)行文件，程序為解釋執(zhí)行，所以速度較慢。（8）功能強大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含兩個部分：核心部分和各種可選的工具箱。核心部分中有數(shù)百個核心內(nèi)部函數(shù)。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學科性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充其符號計算功能，圖示建模仿真功能，文字處理功能以及與硬件實時交互功能。功能性工具箱用于多種學科。而學科性工具箱是專業(yè)性比較強的，如control,toolbox,signl proceessing tool

44、box,commumnication toolbox等。這些工具箱都是由該領域內(nèi)學術(shù)水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學科范圍內(nèi)的基礎程序，而直接進行高、精、尖的研究。（9）源程序的開放性。開放性也許是MATLAB最受人們歡迎的特點。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構(gòu)成新的工具箱。4.1.3 MATLAB的功能MATLAB包含的內(nèi)容非常豐富，功能強大，可以概括為以下幾個方面：（1）可以在多種操作系統(tǒng)下運行，如DOS、Windows 95/98/2000/2000/NT、Compaq Alpha、Lin

45、uxSun Solaris等。（2）有超過500種的數(shù)學、統(tǒng)計、科學及工程方面的函數(shù)，使用簡單快捷，并且有很強的用戶自定義函數(shù)的能力。（3）有強大的圖形繪制和可視化功能，可以進行視覺數(shù)據(jù)處理和分析，進行圖形、圖像的顯示及編輯，能夠繪制二維、三維圖形，使用戶可以制作高質(zhì)量的圖形，從而寫出圖文并茂的文章。（4）有和用其他高級語言（如C，C+，F(xiàn)ORTRAN，JAVA）編寫的外部程序相接口的能力，也可把MATLAB程序轉(zhuǎn)換成上述高級語言的子程序。（5）有從外部文件及外部硬件設備讀入數(shù)據(jù)的能力。（6）有豐富的網(wǎng)絡資源，從相關(guān)的Web網(wǎng)站可以直接獲得全套的MATLAB聯(lián)機幫助文件和說明書的電子文檔，還可

46、以獲得各類技術(shù)支持與幫助。（7）有豐富的工具箱toolbox。各個領域的專家學者將眾多學科領域中常用的算法編寫為一個個子程序，即m文件，這些m文件包含在一個個工具箱中。其工具箱可以分為兩大類，即功能性工具箱和科學性工具箱。功能性工具箱主要用來擴充MATLAB的符號計算、圖形可視化、建模仿真、文字處理等功能以及與硬件實時交互的功能。學科性工具箱是按學科領域來分類的，如信號處理、控制、通信、神經(jīng)網(wǎng)絡圖像處理、系統(tǒng)辨識、魯棒控制、模糊邏輯、小波等工具箱。MATLAB中的信號處理工具箱內(nèi)容豐富，使用簡便。在數(shù)字信號處理中常用的算法，如FFT，卷積，相關(guān)，濾波器設計，參數(shù)模型等，幾乎都只用一條語句即可調(diào)

47、用。數(shù)字信號處理常用的函數(shù)有波形的產(chǎn)生、濾波器的分析和設計、傅里葉變換、Z變換等。MATLAB是一個功能十分強大的系統(tǒng)，是集數(shù)值計算、圖形管理、程序開發(fā)為一體的環(huán)境。除此之外，MATLAB還具有很強的功能擴展能力，與它的主系統(tǒng)一起，可以配備各種各樣的工具箱，以完成一些特定的任務。用戶可以根據(jù)自己的工作任務，開發(fā)自己的工具箱。在國際學術(shù)界，MATLAB已經(jīng)被確認為準確、可靠的科學計算標準軟件。在許多國際一流學術(shù)刊物上，（尤其是信息科學刊物），都可以看到MATLAB的應用。 在設計研究單和工業(yè)部門，MATLAB被認作進行高效研究、開發(fā)的首選軟件工具。如美國National Instruments公

48、司信號測量、分析軟件LabVIEW，Cadence公司信號和通信分析設計軟件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。 4.2 利用模擬原型進行IIR數(shù)字濾波器的設計和仿真用MATLAB進行模擬原型的數(shù)字濾波器的設計，一般步驟如下:（1）按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標使用濾波器階數(shù)選擇函數(shù)，確定最小階數(shù)N和固有頻率Wn，根據(jù)選用的模擬低通濾波器的類型可分別用: buttord,cheblord，cheb2ord，ellipord等函數(shù)；（3）運用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬濾波器原型，模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)

49、有:buttap,cheblap,cheb2ap,ellipap,besselap等；（4）運用固有頻率Wn把模擬低通濾波器原型轉(zhuǎn)換成模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可分別用函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs；（5）運用沖激響應不變法或雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，分別用函數(shù)impinva和bilinear來實現(xiàn)。低通Chebyshevl型數(shù)字濾波器的設計:設計中需要限定其通帶上限臨界頻率Wp,阻帶臨界濾波頻率Ws，在通帶內(nèi)的最大衰減Rp，阻帶內(nèi)的最小衰減Rs。其步驟如圖4.1所示。模擬濾波器的參數(shù)指標參數(shù)變化數(shù)字濾波器的參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器離散化標模擬濾波器

50、的設計圖4.1 數(shù)字濾波器設計步驟4.2.1巴特沃斯(Butterworth)和橢圓數(shù)字低通濾波器的設計設計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器和橢圓數(shù)字低通濾波器，要求通帶邊界頻fp=2.1kHZ，通帶最大衰減Rp=0.5dB；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ。A 巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)為 （4.1）式中，N為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。N值越大，通帶和阻帶的近似特性就越好。在截止頻率處，幅度平方響應為=0處的1/2，相當于幅度響應的3dB衰減點。其系統(tǒng)函數(shù)為 （4.2）式中，為歸一化常數(shù)，一般；為s平面左半平面的極點。低通巴特沃斯濾波器設計步驟如

51、下：（1） 確定階數(shù)N。 取N=4（2） 求極點， 歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為由N=4直接查表得到：極點： 歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為式中，0.0000,0.0999,0.1914,0.0252（3） 將去歸一化最終得到通過計算可以總結(jié)出過程太麻煩，而且容易出錯，結(jié)果不直觀。下面用M程序設計來實現(xiàn)。用脈沖響應不變法設計的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的M程序如下：fp=2100;fs=8000; Fs=20000;Rp=0.5;Rs=30;T=1/Fs; %設計指標W1p=fp/Fs*2;W1s=fs/Fs*2;%求歸一化頻率N,Wn=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,'s')

52、;%確定butterworth的最小介數(shù)N和頻率參數(shù)Wnz,p,k=buttap(N); %設計模擬低通原型的零極點增益參數(shù)bp,ap=zp2tf(z,p,k); %將零極點增益轉(zhuǎn)換成分子分母參數(shù)bs,as=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs);%將低通原型轉(zhuǎn)換為模擬低通bz,az=impinvar(bs,as,Fs); %用脈沖響應不變法進行模數(shù)變換 sys=tf(bz,az,T); %給出傳輸函數(shù)H(Z)H,W=freqz(bz,az,512,Fs); %生成頻率響應參數(shù)subplot(2,1,1);plot(W,20*log10(abs(H); %繪制幅頻響應grid on; %加

53、坐標網(wǎng)格xlabel('頻率/Hz'); ylabel('振幅/dB');subplot(2,1,2); plot(W,abs(H); grid on; xlabel('頻率/Hz'); ylabel('振幅/H');運行后的波形如下：圖4.2 典型濾波器在Matlab上運行波形運行結(jié)果：N =4bz = 0.0000 0.0999 0.1914 0.0252az= 1.0000 -1.4336 1.0984 -0.4115 0.0627可以看出：通過編程，結(jié)果非常直觀，題目中要求的通帶邊界頻fp=2.1kHZ，通帶最大衰減Rp=0.5dB；阻帶邊界頻率fs=8kHZ，阻帶最小衰減Rs=30dB,采樣頻率為Fs=20kHZ，等設計指標都達到，濾波器設計符合要求。B 橢圓低通濾波器橢圓低通濾波器采用有限零點設計來逼近理想的低通濾波器的特性。因為零點的位置與橢圓函數(shù)的許多特性有關(guān)，所以稱之為橢圓低通濾波器。它的幅度平方函數(shù)為： (4.3)式中的是雅可比橢圓函數(shù)，是與通帶衰減有關(guān)的參數(shù)，階數(shù)N等于通帶和阻帶內(nèi)最大點和最小點的總和。階數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)由通帶的截止頻率，通帶內(nèi)最大衰減，阻帶截止頻率及阻帶內(nèi)的最小衰減等參數(shù)確定。雙線性變換法設