信息技術(shù)整合的一個案例

1、信息技術(shù)整合的一個案例（正方形）黃巖中學(xué)李柏青金克勤（318020）主題詞：信息技術(shù)，案例，數(shù)學(xué)問題，折紙，數(shù)學(xué)實驗。信息技術(shù)作為強有力的工具在問題解決可起到極好的輔助功能，如何在數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中更好地體現(xiàn)教學(xué)與信息技術(shù)、教學(xué)與問題解決的有效整合，是十分重要的一個課題。下文是進(jìn)行這種探索的一個案例 折紙中的數(shù)學(xué)問題 。敬請指正?！締栴}的背景】AD上任意一 觀察圖形動態(tài)的變 你能從中提出哪將邊長為a的正方形紙ABCD勺一個頂點B “折”到它的對邊 AD上。從操作過程發(fā)現(xiàn)“折”的過程其實就是數(shù)學(xué)中的“對稱”，在幾何畫板軟件中，可選取邊 點Bi,則線段BB的中垂線MN就是“折線”。如下圖所示，拖動點

2、 Bi, 化過程?？梢园l(fā)現(xiàn)在這一簡單的過程中蘊含著豐富的量的變化和形的運動，些數(shù)學(xué)問題？【問題的提出及探究】現(xiàn)摘錄幾個典型問題如下:學(xué)生從各個不同的角度提出了自己的問題， 問題一探究所折部分圖形 BCNM勺面積的最值情況。直覺猜想：BCNM勺面積取到最值時，Bi的位置應(yīng)在線段 AD的兩端或中點。 實驗操作：1. 度量線段AD AB的長度及多邊形 CBiMN的面積，拖動點Bi，得到一組數(shù)據(jù)，并利用“制表”功能列成表格。（如圖3），繪制點P（ x，y）,通過B在AD上的運動,2. 以AB的長度為X,以面積CBiMN為y 可得到點P的軌跡。（如圖4）ACi面稅C'6iMND.00 flWMT

3、冊14.753.14W2.08 flW13加計3 51 RXB栄感滬4.67 血 j14巔朋瀘S CO Wft5戲爾1皿曲2AD = 5.95 噢米觀察分析：當(dāng)Bi在AD的中點位置時，面積取到最小值；當(dāng)Bi在線段AD的兩端點時，面積取到最大值。數(shù)學(xué)論證：如圖5所示，設(shè) 在 Rt BAB 中，AB=x，四邊形C/BiMN的面積為由MB=MB可求得2a過 N 作 NQ/BC,則有 NQM BABi，所以2a1 y +戊'/+/、1 小V 1 /a、3 仃A ”“ ax =-當(dāng)2 ,即當(dāng)B點落在AD的中點位置時，使折起部分的面積最小，其最小值為a1若將正方形改為矩形（如圖6，設(shè)BC=a AB

4、=d ）呢？8 。引申實驗操作：1. 利用 幾何畫板 作出一個長和寬可以變化的矩形ABCD B是AD上的一動點，MN是BB的中垂線。2. 當(dāng)ab時，則所折四邊形 C/BiMN的面積隨AB變化的實驗情況如下圖所示。込石底-iA*R 匚耳1, '尸-”亠htt 1 ri - > 11 =1： -.C：±'幵弔-< 1 -2M 它：X ：»*I N 飯;二-主斗13.當(dāng)a>b時，拖動點Bi,所折四邊形CbiMN形狀隨AB變化（如圖7,圖8，圖9）。圖7圖8圖9圖10圖6以所折的各多邊形的面積為y，繪制點P （X，y），通過B在P的軌跡（如圖10）

5、。4.以AB的長度為 AD上的運動，可得到點觀察分析：當(dāng)a<b時，B點折到AD的中點位置時，所折部分的面積最小當(dāng)a>b時，所折部分圖形的形狀隨B不同位置有較大的變化，面積的最小值并非是B點落在AD的中點位置時取到。數(shù)學(xué)證明：（1）當(dāng)a<b時，可求得26，Cn=沏 b ，則a /. S av = X -ax+p =X- 2八2）3+§逢6（0<兀< 逢）當(dāng) 2,即當(dāng)B點落在AD的中點位置時，使折起部分的面積最小，其最小值為8。當(dāng)a>b時，可求得y=(H+砂S加bx0 <兀< (b < J <Li)可求得當(dāng)3 ，使折起部分的面積

6、最小，其最小值為對于求高次函數(shù)的最小值，鼓勵學(xué)生利用TI-92Plus圖形計算器的fMin命令或求導(dǎo)命令輔助完成。VipS b 1ofc 1 總 ujn問題二探究折線所形成的包絡(luò)線。學(xué)生在折紙過程中發(fā)現(xiàn)留在紙上的眾多折線看著雜亂無章，又似是有規(guī)可尋。將問題推廣并加以數(shù)學(xué)化，即為探求一定點（B）與一直線（AD上的動點（Bi）的連線段的中垂線MN的運動區(qū)域。實驗操作：1.2.3.4.運動邊AD上的點B,追蹤中垂線 MN形成一個平面區(qū)域（如圖11）；運動直線AD上的點B,追蹤中垂線 MN得到一個平面區(qū)域（如圖12）;過B1作AD的垂線交直線 MN于點P,運動點B得到點P的軌跡（如圖13）。 分別度量

7、PB與PB的距離（如圖13 )。圖13（1）這些平面區(qū)域的輪廓（2）觀察發(fā)現(xiàn)：（包絡(luò)線）是拋物線，其中B為拋物線的焦點，AD為準(zhǔn)線;所有的中垂線 MN都拋物線相切，即拋物線的焦點與準(zhǔn)線上的點的連線段的中垂線必與拋物線相切；（3） 切點P即為過B1與直線AD的垂線B1P與中垂線MN的交點。（4） 當(dāng)B在AD上運動時，始終有 PB=PB,點P的軌跡為該拋物線。數(shù)學(xué)論證：可以采用代數(shù)的方法求得中垂線MN所經(jīng)過的區(qū)域滿足的條件：以AD所在直線為X軸，過B垂直于AD的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè) B（ 0，a）， Bl（ t，0），其中a為非零常數(shù)，t為任意實數(shù)，則線段 BB的中垂線MN方程為：廠汗（4

8、）2a a因為t為任意實數(shù),則必有:15）。3.移動定點B與定圓C的相對位置,7 -*戶3圖14圖15圖16圖17二 2ay-顯然中垂線MN上的任意一點（X，y）都在拋物線2上或其外部。引申2將問題二中的直線 AD換成一個圓，探究定點B與定圓C上一動點Bi連線段BB的中垂線j的包絡(luò)線。實驗：1.運動圓上的點Bi,追蹤中垂線，觀察中垂線掃過的平面區(qū)域（如圖14）;2. 構(gòu)造圓心C與點Bi的直線交中垂線j的交點P，運動點Bi，得到點P的軌跡，觀察 軌跡的形狀及其與區(qū)域的關(guān)系（如圖再進(jìn)行上述操作（如圖16,圖17）。發(fā)現(xiàn)：（1） 當(dāng)定點B在定圓C外時，包絡(luò)線是雙曲線，點B和點C恰好是雙曲線的兩焦點當(dāng)點B在圓C內(nèi)時，包絡(luò)線是橢圓，點 B和點C恰好是橢圓的兩焦點。（2） 線段BB的中垂線j與雙曲線（或橢圓）的切點即為中垂線j與直線CB的交點。上述結(jié)論得用雙曲線及橢圓的定義容易得到證明。 而且得到橢圓或雙曲線共有的一個性質(zhì)：【性質(zhì)】 以橢圓（或雙曲線）的其中一個焦點為圓心，以長軸（或?qū)嵼S）長為半徑的圓 上任一點與另一個焦點連線段的中垂線，必與該橢圓（或雙曲線）相切。【反思與評價】通過 幾何畫板 以及圖形計算器等信息技術(shù)工具，在教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下， 學(xué)生有條件和能力進(jìn)行自主的探究和拓展， 可以實現(xiàn)對一個問題進(jìn)行自主的操作實驗、 觀察發(fā)現(xiàn)、 理解領(lǐng) 悟，體驗