專題一解決集合與常用邏輯用語問題

1、專題一解決集合與常用邏輯用語問題考試說明要求 ：1. 集合及其表示(A 級) ；子集（ B 級），交集、并集、補(bǔ)集（B 級），命題的四種形式（A 級），充分條件、必要條件、充分必要條件（B 級），簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞（A 級），全稱量詞與存在量詞（A級）；2. 理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念，了解空集和全集的意義，了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義，能掌握有關(guān)的述語和符號，能正確地表示一些較簡單的集合；3. 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 “或 ”、 “且 ”、“非 ”的含義，理解四種命題及其相互關(guān)系，理解必要條件、充分條件和充要條件，會判斷這三種關(guān)系，了解全稱量詞的意義，能正確的對帶有一個量詞的命題進(jìn)行否定

2、；4. 學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、 分類討論的思想方法分析和解決有關(guān)集合問題， 形成良好的思維品質(zhì)， 學(xué)會判斷和推理，解決簡易邏輯問題，培養(yǎng)邏輯思維能力高考命題方式 ：近年來對集合與常用邏輯用語問題問題的考查常以填空題的形式出現(xiàn)，題量 12 題，分值 510.高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應(yīng)用、判斷命題的真假、四種命題的關(guān)系、充要條件的判定等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn). 另外集合新定義信息

3、題在近幾年的命題中也有出現(xiàn)答題方法提示 ：概念多是本章內(nèi)容的一大特點，一是要抓好基本概念的過關(guān)，一些重點知識（如子、交、并、補(bǔ)集及充要條件等） 要深刻理解和掌握； 二是各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在本章題型中都有較好體現(xiàn)，特別是數(shù)形結(jié)合思想，要善于運用韋氏圖、數(shù)軸、函數(shù)圖象幫助分析和理解集合問題一、能力展示1.設(shè)集合 P1,2,3,4， Qx x2, x R ，則 PQ_ 1,22.命題 “若 ab ，則 2a2b 1”的否命題為 _若 ab ,則 2a2b13.已知函數(shù) f (x)4sin(2 x)1 ，給定條件p ：x，條件 q ：2f ( x)m2 ，342若 p 是 q 的充分條件，則實數(shù)m

4、 的取值范圍為 _3,54.對集合 M、 N，定義 MNx xM 且 xN ， MNMNNM設(shè) A y yx23x,xR, By | y2x, x(0, ),則A B_ (, 9 )0, )45. 下列命題：設(shè)命題p:函數(shù) ysin 2 x 的最小正周期為;命題q :ycosx的圖象關(guān)于直線x2函數(shù)2對稱 .則命題 p q 為假；命題“x0R,ex00 ” 是真命題；“ a1,b1 ”是“ ab 1”的充分條件；命題 “若實數(shù) a 滿足 a2 ，則 a 24”的否命題是真命題 .1其中正確命題的序號是.6.若命題：“x1x21log 2 x”是真命題，則實數(shù)a 的取值范圍為.1,)( ,2)

5、， ax2二、能力培養(yǎng)2例 1. 已知函數(shù) f ( x)2x1x22 x ( xR) （ 1）求函數(shù) f ( x) 的最小值；（ 2）已知全集 UR，集合 AmxR, f ( x)m22m2 ， B m 指數(shù)函數(shù) y(m21)x是 (,) 上的增函數(shù) ，求 ()B eU Ax1,x 2解：（ 1） f (x)2x1x 22 x = x3, 2x1 ，25x11,x2x2 , f (x )x 1 1x1, f( x )x 3x1,15x 1 1,22, f ( x)2x2時， f (x) minf (2)1.（2） AmxR, f ( x)m22m2m m22m2 1 3,1，eU A(,3)(

6、1,) ，B m 指數(shù)函數(shù) y(m21)x 是 (,) 上的增函數(shù) m m211(,2)(2,) .(eU A)B(,3)(2,) .例 2. 已 知 函 數(shù) f ( x)在，上 是 增 函 數(shù) ， a、 b R 對 命 題 ： “若 a b0 ， 則f (a )f ( b)f ( a ) f ( b) ”（ 1）寫出逆命題，判斷真假，并證明你的結(jié)論；（ 2）寫出逆否命題，判斷真假，并證明你的結(jié)論；（ 3）解關(guān)于 x 的不等式 f (lg 1x )f (lg x) f (lg 1x)f (lg 1 ) 1x1xx解（:1）逆命題：已知函數(shù) f (x) 在，上是增函數(shù)， a、bR 若 f (a)

7、 f (b) f ( a ) f ( b) ，則 ab 0 . 是真命題；證明: 假設(shè)由條件得ab0 , 則 ab, ba,f (a)f ( b) , f (b)f ( a) ,f (a) + f (b)f ( a)f ( b) . 與條件矛盾 .命題是真命題；(2)逆否命題：已知函數(shù)f (x) 在，上是增函數(shù)， a、bR 若 f ( a)f (b)f ( a)f ( b) ，則 ab0 . 真命題；證明 : 假設(shè) ab0 , 則 ab , ba , 由條件得f (a)f ( b) , f (b)f ( a) ,2f (a)f (b)f (a)f (b) . 與條件矛盾 .命題是真命題；1x)

8、f (lg x) f (1xf ( lg x) ,(3) 原不等式變形為 : f (lgxlg)11x由 (1) 得 , lg1xlg x0,即 1x10 ，解之得21x 1 .1x1xx原不等式的解集為21,1) .例 3. 已知 p :|1x122 x20 (m 0) ；p 是q 的必要不充分條件，求實數(shù) m3| 2 , q : x1 m的取值范圍 .解：由x 1|得2x10 ，|132，由 x 22x1m20(m0)，得1mx1m(m0) ，由p 是q的必要不充分條件，知qp ，即 pq .設(shè)A x |2x10，B x |1mx1m( m0) ，1m2，則有 AB ，故1m10，且不等式

9、中的第一、二兩個不等式不能同時取等號，m0，解得 m9 ，此即為“p 是q 的必要不充分條件”時實數(shù)m 的取值范圍 .例 4.設(shè)函數(shù) f ( x)x cosx sin x ， a1 試探求“x(0, ， f (ax) ax cosax a sin x ”成立的充要條件，并證明你的結(jié)論解 :x(0, ， f ( ax)ax cosaxa sin x 的充要條件為 0a1.證明如下 :(1).必要性 .若 x(0, , f (ax)axcos axa sin x ,即x(0, , sin axa sin x(*),令x則asina1,又 a1,1 a1;,令 x22,則 sin a0 ,1a1 ,

10、a,0a,0a1;(2).充分性 .若 0a1，當(dāng) a0 或 a 1時 ,(*) 式成立 .當(dāng) 0a 1時 ,令 g( x)sin x(0 xxx(0, 時, f(x)(cos xx sin x)x(0, 時, f (x)f (0)0 ,x(0, 時, g ( x)0, g (x) 在 (0,x(0, , 0a 1,0ax x) ,則 g ( x)xcos x sin xf ( x),x2x2cosxx sin x 0 , 上單調(diào)遞減 .，g( ax)g (x) ,從而 (*) 式成立 .3由 (1),(2) 知 ,結(jié)論成立 .例 5. 已知集合 A1,2,3,2 n (n N * ) .對于

11、 A 的一個子集 S，若存在不大于 n 的正整數(shù) m，使得對于 S 中的任意一對元素s1, s2 ，都有 s1s2m ，則稱 S 具有性質(zhì) P .（ 1）當(dāng) n10 時，試判斷集合Bx xA, x 9是否具有性質(zhì)P？并說明理由；（ 2）若集合 S 具有性質(zhì) P ，試判斷集合Tt t (2n1)x, xS )是否一定具有性質(zhì)P ？并說明理由 .解：（ 1）當(dāng) n10時，集合 A1,2,3,19,20， BxA x 910,11,12,19,20不具有性質(zhì) P .因為對任意不大于 10 的正整數(shù) m ，都可以找到集合B 中兩個元素 b110 與 b210 m ，使得 b1b2m 成立；（ 2）若集

12、合 S 具有性質(zhì) P ，那么集合 T(2 n1)x xS 一定具有性質(zhì)P .首先因為 T(2 n1)x xS ，任取 t(2n 1)x0T ,其中 x0S ，因為 SA ，所以 x01,2,3,2 n ，從而 1(2n1)x02n ，即 tA,所以TA .由 S 具有性質(zhì) P ，可知存在不大于n 的正整數(shù)m ，使得對 S 中的任意一對元素s1 ,s2 ，都有s1s2m ，對上述取定的不大于n 的正整數(shù) m ，從集合 T(2n1)x x S 中任取元素 t12n1x1 ,t22n 1 x2 ，其中 x1, x2S ，都有 t1t2x1x2；因為 x1, x2S ，所以有 x1x2m ，即t1t2

13、m所以集合 T(2 n1)x xS 具有性質(zhì) P三、能力測評1.已知全集 Iy ylog 2 x, x1，集合 Ay y1，則 e I A 1,), x 2x22.設(shè)命題 P :函數(shù) f x2x a 在 4,上單調(diào)遞增 .如果“p ”是真命題，那么實數(shù)a 的取值范圍是 _ 4,3. 下列命題：若命題 p : “xR, x220”，則 p : “x R, x220”；x0R ，13sin x0cosx0 1；22“ MN”是“ (2)M(2) N ”的充分不必要條件；33設(shè) fxcos(x) ，則函數(shù) y f (x) 是奇函數(shù) .36其中正確命題的序號是_4. 設(shè)函數(shù) f ( x)x，區(qū)間 M

14、a, b( a b) ，集合 Ny yf (x), x M ，則使 MN 成立的1x實數(shù)對 ( a, b) 的集合為 _45. 設(shè)全集 UR ， fxx23x2 ， gxx2(m1)xm, mR （ 1）設(shè)集合Ax | fx0， Bx | gx0 若 (eU A)B，求 m 的值；（ 2）設(shè)集合Py | yfx, Qm | gx在區(qū)間 -1 ，+上是增函數(shù)，求P Q.解：（ 1） A1,2，當(dāng) m1時， B1，此時 (eU A)B， m1適合，當(dāng) m 1時， B1, m，由 (eU A)B得 m 2 ，綜上： m1或 2；（ 2）由題意： P 1 ,) ， Qmm11=1,， PQ=1,.24

15、6. 已知函數(shù) f (x)x1a ln x(aR) .（ 1）若曲線 yf ( x) 在 x1 處的切線的方程為 3x y30 ，求實數(shù) a 的值；（ 2）求證：x(0,), f ( x)0 恒成立的充要條件是a1；（ 3）若 a0 ，且對任意 x1, x2(0,1 ，都有 | f ( x1 )f (x2 ) |11|，求實數(shù) a 的取值范圍4 |x2x1解： (1)f (x)1af(1)1a ,又在 x1處的切線方程為y3x3 ,x1a3a2 .(2) 充分性 : a1恒有 f (x)0 ;當(dāng) a1時 , f ( x) x ln x 1 , f ( x) 1 1x 1 ,xxf (x) 在

16、(0,1)單調(diào)遞減 , (1,) 單調(diào)遞增 ,所以 f (x)f (1)0 ;必要性 : f (x)0 恒成立a1.f ( x)1axa(x0) .xx當(dāng) a0時 ,f(x)0恒成立 ,f ( x) 在 (1,) 單調(diào)遞增 ,而 f (1)0,x(0,1)時 , f ( x)0 與 f (x)0恒成立矛盾 ,所以 a0 不合題意 ;當(dāng) a0 時 ,f ( x) 在 (0, a) 單調(diào)遞減 , ( a,) 單調(diào)遞增 ,f ( x) f (a) a 1 a ln a 0a 1.綜上 : f ( x)0 恒成立的充要條件是a1;5(3)由(2),a0 時, f (x)在(0,1,y在(0,1單調(diào)遞減

17、,知單調(diào)遞增 又函數(shù)1x不妨設(shè) 0x1x2 1,則 f ( x1 )f ( x2 )f (x2 )f ( x1 ) ,1111.x1x2x1x2f ( x1 ) f ( x2 )411f (x2 )f (x1)11f ( x2 )4f ( x1 )4.x1x24()x2x1x1x2令 h( x)f ( x)4x 1a ln x4, x(0,1 ,xx則原不等式h(x2 )h( x1 )h(x) 在 (0,1 單調(diào)遞減 ,h (x)a4x2ax4,x(0,1 時恒有 x2ax40成立 ,1x2x2xx24x4,令 g(x)x4,g ( x) 在 (0,1 單調(diào)遞增 ,即 axxxg(x)maxg

18、(1)143,a3,1又 a 0 ,a3,0) 為所求 .能力提升 :1. 設(shè)集合 A1,1,3， Ba2,a24，A B3 ，則實數(shù) a _ 12. 在 ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分別為abcABC 是a, b, c 設(shè)命題 P :sin C，命題 q :sin Bsin A等邊三角形，那么命題p 是命題 q 的 _條件（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）充要3. 下列命題：若(, ) ，則 sincos ；若銳角、滿足 cossin，則;422在ABC 中，“ A B”是“ sin Asin B ”成立的充要條件 ;要得到函數(shù)ysin( x) 的圖24

19、象 , 只需將 ysin x 的圖象向右平移個單位其中真命題的序號是.244. 下列 4 個命題：p1 :x(0,),(1) x(1) x ；p:x(0,1),log1xlog1x ；23223p3 :x(0,),(1) xlog 1 x ；p4:x(0,1),(1) xlog 1x 22323其中的真命題是 _ p2 , p45.集合Mf ( x)存在實數(shù) t 使得函數(shù) f ( x) 滿足 f (t1)f (t )f (1) ，下列函數(shù) (a, b, c, k 都是常6數(shù)） :（ 1） y ax2bx c(a0) ；（ 2） yx(0 a1) ；（ 3） yk0) ；（ 4） ysin x 其a( k中屬于 M 的函數(shù)有 _ (只須填序號 )（ 1）（4）x6.設(shè)集合 A( x, y) | m( x 2) 2y2m2 , x, yR, B( x, y) | 2mx y2m1,x, yR ,2若 A B，則實數(shù) m 的取值范圍是 _ 1m2 127.已知條件 p :| 5x1|a 和條件 q :10 ，請選取適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a 的值，分別利用所給的212x3x兩個條件作為 A、 B 構(gòu)造 命題：“若 A 則 B ”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題 .則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題.解：已知條件 p 即 5 x 1a 或 5