初中學生常見數(shù)學錯誤分析及解決辦法

1、學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考初中學生常見數(shù)學錯誤分析及應對策略大關縣玉碗鎮(zhèn)中學楊光平一、引言：學生的數(shù)學錯誤一直是數(shù)學老師關注的熱點問題。 大多數(shù)初中學數(shù)學教師，每天都在和學生的數(shù)學錯誤打交道。 他們把很多時間都花費在尋找錯誤、糾正錯誤、分析錯誤上。傳統(tǒng)的教育是“永遠正確”的教育，是消滅錯誤、輕視錯誤的教育。長期以來，這樣的教育觀念深深地影響著廣大教育工作者， 在教學的各個過程中， 大家所關注的都主要是那些正確的、 積極的部分，而對于學習過程中所產(chǎn)生的錯誤，大家更多地是持一種否定的、排斥的、消極的態(tài)度和做法。比如，作業(yè)批改“一叉”了事，學生犯錯“一罵”了之，使學生對于“錯誤”產(chǎn)生畏懼心理，在“

2、錯誤”中不能獲得任何有益的啟示，不能汲取錯誤中一些合理成分。 其實，我們每一個人都會在數(shù)學學習過程中會犯不同程度的錯誤，這里的每一個人不僅指學生也指教師。因此，學生在數(shù)學學習中出現(xiàn)錯誤是非常自然的現(xiàn)象。問題是學生為什么一而再，再而三地重復同樣的錯誤，糾錯為什么這樣難 ?一方面，肯定有學生的原因，如上課沒有專心聽講、作業(yè)馬虎、訂正不到位、知識沒有及時消化理解等；另一方面，教師選擇教法是否恰當、教學設計是否合理、作業(yè)的布置是否合適、糾錯是否及時等等，這些都是我們需要分析和研究的問題。對學生數(shù)學錯誤的研究不僅可以幫助學生找出錯誤產(chǎn)生的原因、提學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考出改正的意見， 還有助

3、于幫助教師完善自身的知識結構， 改進教學觀念，提高教師的專業(yè)能力。 隨著國內(nèi)外學者們對錯誤的研究領域在不斷擴大和深入， 人們對錯誤的理解以及認識也在不斷發(fā)生變化， 學生錯誤的合理性逐漸得到一些數(shù)學教育專家和一線數(shù)學教師的認可。 英國數(shù)學學會會長施瓦茨伯格，在 1984 年會上的長致詞中曾提出這樣的觀點：錯誤在數(shù)學中和正確答案一樣重要， 錯誤幫助了數(shù)學的發(fā)展；錯誤幫助我們了解數(shù)學的來龍去脈； 錯誤可作為診斷工具， 讓我們能了解學生心里可能的想法，錯誤并非漫無目地發(fā)生，而是有其理由。數(shù)學錯誤的地位和價值由此可見一斑。目前在許多教育研究中， “錯誤率”的測量已經(jīng)被當作是一種研究的重要工具， 許多研究

4、者已開始逐漸重視對錯誤的關注。 這些研究大都試圖將學生所犯的錯誤予以特征化，通過分析學生錯誤的類型與性質(zhì)， 建立起有效的教學策略和方法。研究數(shù)學錯誤對于數(shù)學教師來說， 可以將學生所犯的數(shù)學錯誤作為檢驗學生數(shù)學知識掌握情況的一種工具， 也可以借此了解學生內(nèi)心的想法，從而使學生的錯誤得以有效地糾正。 而教師對于數(shù)學錯誤的研究，目的不僅僅是診斷與治療， 更應該把錯誤看作一種有效的教學資源。數(shù)學學習過程中的錯誤一直是教師們關注的熱點問題。 錯誤的產(chǎn)生并非偶然， 而是反映了學生產(chǎn)生這些錯誤的各種潛在因素。 因此對錯誤的辨別、歸納、總結、分析與研究，以及在錯誤中吸取經(jīng)驗和教訓，應當成為數(shù)學教育過程中一個不

5、可忽視的重要方面。 本論文從不同角度闡述了錯誤在數(shù)學學習中的重要作用。 根據(jù)筆者在教學實踐中對初中學生常見錯誤的收集和分類， 歸納總結了初中學生常見的五學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考種錯誤類型： 1概念性錯誤； 2審題錯誤； 3運算錯誤；4邏輯型錯誤； 5思維錯誤。并根據(jù)錯誤的不同錯誤的表現(xiàn)，對這些錯誤的常見類型進行了更加具體的再分類，列舉了一些常見的實例， 并對產(chǎn)生這些錯誤的原因進行了分析和研究。在此基礎上提出了在教學中可行的策略與方法， 即培養(yǎng)學生解題能力和通過課堂糾正學生的數(shù)學錯誤。本論文試圖通過系統(tǒng)研究學生在數(shù)學學習中產(chǎn)生錯誤的各種表現(xiàn)，尋找錯誤的根源，全面解決初中學生在學習數(shù)學

6、時常犯錯誤，有效地推動初中數(shù)學的教學與實踐。二、初中學生常見數(shù)學錯誤的類型及錯誤原因分析(一)概念性錯誤對數(shù)學概念的正確理解是掌握數(shù)學基礎知識的前提， 也是數(shù)學解題的基礎。對數(shù)學概念的透徹理解和正確把握十分重要。 如果學生對數(shù)學概念或基本的數(shù)學事實缺乏準確理解， 對概念的適用范圍把握不住，對一個概念和另一個概念之間的區(qū)別和聯(lián)系模糊不清， 那么在運用概念時，錯誤就會暴露出來。 對數(shù)學概念似是而非的理解都將造成學生的解題失誤， 并進一步阻礙學生數(shù)學能力的發(fā)展， 對其學習態(tài)度的影響也是消極的。比如，在二次根式的學習中， 學生容易出現(xiàn)” 16 = 4”這樣的典型錯誤。顯然，學生是將平方根與算術平方根的

7、概念混淆了，錯誤地認為 16 表示的是求 16 的平方根。這說明學生對二次根式 a (a0)的意義沒有掌握。 a (ao)的意義是“非負數(shù) a 的算術平方根”， a 本身也是個非負數(shù)。如果學生能理解二次根式的這一概念，就不會出現(xiàn)類似“ 16 =+4”的錯誤了。另外，一些學生會把學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考“不大于”理解為“小于” ，把兩條直線“不平行”理解為兩條直線“相交”，把“點不在圓內(nèi)”理解為“點一定在圓外”等等。概念性錯誤的表現(xiàn)主要有：1概念、性質(zhì)含糊不清學生在接受新概念的過程中，由于概念的抽象性， 容易造成學生認識的偏差，另外對概念的條件與結論不能完整把握也會造成理解的支離破碎

8、。這種對概念和性質(zhì)理解的不深刻性， 都極易造成數(shù)學錯誤。例 1：在下列的有理式中，屬于分式的是( )A. m nB. a +c C. 5m2D. 8a2 1 b8m2錯解：顯然 A 式和 D 式中分母不含有字母，所以它們都是是整式；對于 C 式雖然是形如分式 A 的形式，但化簡后的結果為5m，學生認B為因為 5m 腳是整式，所以 5m2也是整式；而 B 式中分母含有字母，m而且可化為分式 A 的形式的形式，即 ac ，故應選 B。B分析：學生錯誤的原因是沒有能正確理解分式的概念。一般來說，分式可以表示成 A 的形式， A、B 表示兩個整式， A 既可含字母，也可B以不含字母，但分式的分母 B

9、中必須含有字母。若 B 不含有字母，那么式子 A 就是整式。因此判斷 A、D 是整式是正確的，問題是對于BB 中分母雖然含有字母，但通常情況下表示圓周率， 是一個常數(shù)，2所以彥式雖然可以化成ac 形式，但仍然是一個整式。 c 式中的 5mm是一個分式，雖然可以化成整式5m 的形式，但在化簡的過程中運用學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考的正是分式的基本性質(zhì)，另外5m 2m與 5m 中字母的允許取值范圍也是不一樣的，前者的m0，后者的 m 是一切實數(shù)。正解：選 C。2忽略公式和重要結構存在的條件任何時候?qū)W習一個新的數(shù)學公式或定理時， 都要先分清楚它適用的條件是什么， 產(chǎn)生的結論又是什么， 如何用

10、數(shù)學符號或數(shù)學式子來表達。對公式或定理中的關鍵詞，要理解正確，不可偏頗。尤其要注意公式或定理成立的條件， 任何一個數(shù)學公式或定理總是在一定范圍內(nèi)成立的，公式或定理與它成立的條件是不可分割的。 單純地記憶公式或定理，而對其本質(zhì)缺乏深刻理解，不考慮公式成立的條件，生搬硬套公式或定理就有可能造成數(shù)學錯誤。例 2：試判斷函數(shù)y =ax2+bx+c 的類型，下列說法中正確的是( )(A) 它是二次函數(shù)；(B)當 a0 時，它是二次函數(shù)；(C)當 a0 時，它是二次函數(shù)；當a=0 時，它是一次函數(shù)；(D)以上說法都不正確錯解：選 C。分析：部分學生在做選擇題時，有一個不好的習慣，在沒有閱讀完全部的選項后就

11、匆匆作答。比如此題，一些學生看到y(tǒng) =ax2+bx+c 的形式馬上就認為它是二次函數(shù)，忽視了二次函數(shù)成立的條件a0。而選擇 B 的學生是因為看到了條件“a0”，而忽視了對“ a=0”這種情況的討論。有的學生認為選項C 的說法更完整，但卻沒有考慮到一學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考次函數(shù) y=bx+c 同樣要求 b0。產(chǎn)生這種錯誤的原因，歸根到底是對一次函數(shù)、二次函數(shù)成立的條件概念不清，是由于函數(shù)概念的抽象性和初中學生思維的具體性的矛盾引起的。正解：選 D。(二)審題錯誤審題是解答數(shù)學題目的第一步， 也是非常重要的一個環(huán)節(jié)， 它是整個解題的基礎。學生往往忽視審題的重要性，具體表現(xiàn)為：有的同學

12、在拿到試卷后， 匆匆一覽便急于下手， 以致題目的條件與要求都沒有理解，也就無法找到正確的解題思路， 解題也就及其容易出現(xiàn)錯誤。審題錯誤的表現(xiàn)主要有：1審題不仔細一般來說，初中生對于短小的、直接用數(shù)學語言表示的題目閱讀得比較準確；相反，對那些冗長的、需要他們自己轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言的文字題，閱讀起來就比較吃力。 有些學生做題急于求成， 讀題馬虎，忽視問題的關鍵詞句，經(jīng)常出現(xiàn)還未理解題意就已經(jīng)開始答題的現(xiàn)象。例 3：填空： 16 的算數(shù)平方根是 _錯解： 16 的算數(shù)平方根是 4分析：正確的解題過程應該包含兩次運算，一次是求出 16 =4；第二次是求出 4 的算數(shù)平方根是 2。兩次運算放在一起，容易造成

13、學生審題不清，只做了其中的一種運算。正解： 16 的算數(shù)平方根是 _2_.學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考2題意理解不清數(shù)學題意的理解包括語法的理解和數(shù)學知識的理解。 當題中有復雜長句時，有些學生弄不清楚主、謂、賓結構，不能把復雜的語句轉(zhuǎn)化為簡單的語句，造成對題意理解的不準確。比如： “順次連接對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的是什么四邊形 ?”有的學生搞不清連接的究竟是對角線各邊，還是各邊中點。對于數(shù)學知識的理解，則體現(xiàn)學生在對數(shù)學概念的把握和將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言與符號的能力上。另外， 還有些同學沒有對題目所給出的條件，以及條件與結論之間的聯(lián)系進行思考和分析，最后造成無法確定解決問題的

14、方向。例 4：一個數(shù)增加 5 倍與 7 的差等于 10，求這個數(shù)。錯解：設所求的數(shù)為 x，依據(jù)題意得： 5x-7=10所以， x=3.4答：這個數(shù)為 3.4分析：“增加 5 倍”與”增加到原來的 5 倍”是截然不同的兩個量，顯然學生對這部分數(shù)學知識的理解上產(chǎn)生了混淆。 “增加 5 倍”指增加的量是 5 倍，加上本身的量，得到的量是原來量的 6 倍?！霸黾拥皆瓉淼?5 倍”指增加后的量就是原來量的5 倍。正解：設所求的數(shù)為x，依據(jù)題意得： 6x-7=10所以， x= 176答：這個數(shù)是 1763忽視題目中的隱含條件許多數(shù)學題目中的條件， 有些是明確給出的， 我們稱之為顯性條學習資料學習資料收集于

15、網(wǎng)絡，僅供參考件；另一些則是隱含在習題的其它條件、結論中的，我們稱之為隱性條件。正所謂明槍易躲，暗箭難防。學生在解題過程中，往往容易忽視或不能發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件而導致錯誤的產(chǎn)生。其實，數(shù)學問題的難易程度標志之一就是隱含條件的深度與廣度。一般來說，隱含條件通常隱藏在定義、 公式或定理中。 如果學生在解題中挖掘條件不夠深入，那么就會造成解題錯誤。一般認為，造成錯誤的原因主要有以下三個方面，一是未能正確理解題意，分析條件不夠仔細縝密，對關鍵條件缺乏深入了解， 未能發(fā)掘條件背后的隱藏信息；二是解題過程不夠規(guī)范完整；三是對解得的結果不作檢驗。例 5：當 x 為何值時，分式x24的值為零。x25x142x

16、 24的值為零。錯解：當 x 4=0，即 x= 2，分式25xx14分析：學生錯誤的原因是忽視了分式的分母不能等于0 這個隱含條件。當 x=2 時，分母 x2一，此時原分式就無意義，所以應+5x14=0該把 X=2 這一解舍去。正解：要使分式x 24的值為零，只要分子 x24=0，且分母 x2x 25x14+5x一 140，即 x=-2。所以當 x=-2 時，分式x 24的值為零x25x144隨意添加條件 (潛在假設 )在解題過程中，有的學生往往不自覺地將某些并不存在的條件作為已知條件，或者輕易把從一些特殊情況下得出的結論作為解題的依學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考據(jù)或結論，甚至根據(jù)解題的

17、需要，人為地制造出一些“為我所用”的條件。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，從心理上分析，是由于主體在缺乏對事物完整全面、深入細致了解的情況下，基于一些不正常心理態(tài)勢的誘導，而做出了直覺性判定。 這種判定存在于主體的潛意識中， 一旦被某些因素激活，就會被主體用以作為解題的依據(jù)， 且主體對依據(jù)的真實性深信不疑。例如， 有些學生在一說起直角三角形，馬上得到較小的直角邊是斜邊一半的結論 (誤認為有一個銳角是 30 度)。在心理學上，我們把這種現(xiàn)象稱為“潛在假設” 。引潛在假設作為一種曲解題意的錯誤表現(xiàn)，其中有一定的心理性因素， 它不是深思熟慮或不加考察的結果，而是對某些事物尚未建立清晰概念而在置身于新環(huán)境的人， 當他

18、們對新事物尚未認識清楚時， 過去的經(jīng)驗很可能促成一種 “潛在假設”而影響他的正確思維。例 6：求 a2 的值。錯解： a2 =a分析：學生在解題過程中，受到一些類似 9 等具體值運算的影響，對于字母的二次根式運算， 沒有對字母的取值范圍進行討論， 因為“潛在假設”而添加了條件 a0，造成解題錯誤。正解：a2 = a =a a0a，a0(三)運算錯誤運算能力是中學數(shù)學的基本能力之一。 但在數(shù)學學習中， 許多學生往往比較重視思維能力的發(fā)展， 忽視對運算能力的培養(yǎng)和訓練， 從學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考而造成基本運算技能不過關，解題時容易產(chǎn)生錯誤。 運算能力的薄弱是許多初中學生的突出問題，如

19、公式記憶不準確、運算法則混亂、運算過程繁瑣復雜等。造成運算錯誤的主要原因有：1分母為零，任意約分對于分式中的分母不能為零這一概念，很多同學都非常熟悉。 在等式兩邊同時除以一個代數(shù)式(等式兩邊公因式 )的過程中，其實就是一個分式分母不能為零的問題(也可以用等式的基本性質(zhì)2 來解釋 )，所以要分情況討論，以免造成漏解的現(xiàn)象，當然也可以移項、分解因式后再解。例 7：解方程： x2=x錯解：在等式兩邊同時除以x，得： x=1所以，方程的解是： x=1分析：學生在解題過程中的思考是不全面的，方程x2=z 與 x=1 并不等價?；蛘哒f，在方程兩邊同時除以x 的前提條件是x0，而 x=0恰好是方程的一個解，

20、所以這種錯誤屬于不等價變形最后造成漏解。正解： x2=xx2-x=0因式分解得： x(x-1)=0所以，方程的解是： x1=0；x2=12運算法則、順序混亂一些學生由于對實數(shù)運算的一些概念、性質(zhì)、運算順序不熟悉，因而造成計算上的錯誤。 另一些學生在練習過程中片面追求答案，沒學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考有養(yǎng)成良好解題習慣， 解答時隨心所欲，從而導致解題過程的不完整，證明過程的條理不清，表現(xiàn)為解題結果的漏洞百出。mn例 8：不改變分式的值，把分式34 的分子、分母中的各項系數(shù)都m n2 3化為整數(shù)。分析：根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以 (或除以 )同一個不等于零的整式，分式的值

21、不變。而本題錯誤的原因是將分子、分母同時乘以兩個完全不同的數(shù)， 雖然這樣可以將各項系數(shù)都化為了整數(shù)，但實際上卻改變了分式的值。顯然，在這個解題中，學生沒有真正掌握分式的基本性質(zhì)，造成了在化簡過程中的錯誤。分析：在運算中，哪些運算在前，哪些運算在后，應該牢記在心，運算中不能違反相關的運算順序。 錯解的原因是看到后兩項的分式中含學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考有因式 (a-2)可約分，就違背應有的運算順序，約去了這兩個因式，以致錯解。3符號錯誤去括號法則和添括號法則是整式變形中常見的兩個法則， 掌握得如何，直接關系到學生以后的學習。盡管這兩個法則都十分明確，但學生應用起來還是經(jīng)常出現(xiàn)差錯。分析

22、：符號錯誤是學生運算中比較常見的錯誤，比如此題，根據(jù)分式的基本性質(zhì)應該同時改變分式的分子與分母的符號，分式的值不變；而錯解只改變了分子與分母第一項的符號，改變了分式的值。 顯然學生沒有正確掌握去括號的法則和添括號的法則，造成運算混亂。4忽視條件的取值范圍任何一個數(shù)學命題都是由條件和結論兩個部分組成的。 所以在解題前，要仔細審題，弄清楚題中給定的條件和需要的結果。對條件存在的范圍既不能擴大，也不能縮小。例 11：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4-4學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考錯解： x4-4=(x 2 2)(x2+2)分析：初看此題的錯誤原因是因式分解不夠徹底，但是仔細分析題目后，真正造成錯誤

23、的原因是， 因式分解的形式在不同數(shù)集的范圍內(nèi)是不同的，學生的解答是在有理數(shù)范圍內(nèi)的分解，說明學生缺乏對條件中的取值范圍的概念，造成因式分解的不夠徹底。分析：學生解題時利用換元法，令x22 ，解得a=-2或a=4然后直+y =a接填上答案，忽視了字母a 允許的取值范圍是非負數(shù)這個條件。正解： x2+y2=45混淆“或”、 “和”與“且”?！盎颉北硎具x擇的關系， “甲或乙”表示甲、乙二者必居其一。如果用“和”則表示甲乙兩部分連起來才是正確的。“且”表示并且、而且，有同時滿足的意思。在使用時三者不能混淆。分析：”且”與”或”在數(shù)學上是表示不同意義的，”且與”和”學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考相

24、同，表示相連的關系，而”或”表示選擇關系，兩者不能混淆。上題中的錯解就是混淆了” “或”與“且”之間的關系，當 a=-3 時，分母等于零；當 a=-1 時，分母也等于零。所以要使分式中的分母不等于 0，a 既不能等于 -3 也不能等于 -1，兩者是一個并列的關系，所以應該用“且”。6亂套公式定理、誤用法則性質(zhì)有些數(shù)學題目在形式上相似， 在解法上也雷同。 也有些題目在形式上雖然類似， 但在解法上卻大相徑庭。 還有些題目在形式和解法上大致相同，但在一些細節(jié)處卻有本質(zhì)的區(qū)別。 比如不等式與解方程的求解。學生也常因知識相近而機械地套用某些公式與定理， 結果張冠李戴，發(fā)生錯誤。分析：部分學生違背運算順序

25、，誤認為除法也有類似乘法的分配率，導致錯誤發(fā)生。說明學生運算法則模糊，亂套公式定理、誤用法則。7不等價轉(zhuǎn)化不等價轉(zhuǎn)換是學生在已知條件進行轉(zhuǎn)化的過程中，對已知條件沒有做等價的變化，導致了條件的擴大或縮小。一般來說，用已知條學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考件的充分條件代替已知條件， 就有可能造成失解； 而用已知條件的必要條件代替己知條件， 就有可能出現(xiàn)增解。 所以我們在轉(zhuǎn)化已知條件時，轉(zhuǎn)化的一定要是已知條件的充要條件，這樣就可以避免失解、增解的現(xiàn)象出現(xiàn)。分析：一切實數(shù)，故在變化后需要驗根。如果缺少這個過程，那么分式方程化為整式方程的變化就不等價， 會產(chǎn)生增根，所以解分式方程一定要注意驗根。8結

26、論錯誤在數(shù)學解題過程中， 學生往往比較重視問題的求解， 但卻忽視了對所得結論的檢驗。解題的結論錯誤一般有三種表現(xiàn)形式： 忽視檢驗，取舍不當；結論表達不清或不完整；結論與實際情況不符。分析：學生往往解到此了事， 認為答案已求出。 實際上應該檢驗一下，答案是否符合題意。當x=-1 時，則 3x-1=x-3=-4 ，這時 5m-4 與 7m-4學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考不是整式，就不能有同類項的定義。由此可見，在求得答案后對其結論進行檢驗是必不可少的。正解： x 無解例 17：已知五個三角形的三邊長分別為：(1) 3、4、5；(2) 5、6、6；(3) 6、7、12；(4) 6、 6、6；

27、(5) 5、12、13。問這些三角形可以分成哪幾類 ?(結論表達不清或不完整 )分析：上述分類沒有按照統(tǒng)一標準進行。 三角形可分別按邊和角來分類。按邊來分，可以分成兩類：即 (1)、(3)、(5)是不等邊三角形； (2)、(4)是等腰三角形；按照角來分，也可以分成兩類，即 (1)、(5)是直角三角形； (2)、(3)、(4)是斜三角形。正解：見分析。例 18：已知：一個等腰三角形的一條邊長為 1 厘米，另一條邊長為 3 厘米，求這個等腰三角形的周長。 (結論與實際情況不符 )錯解： (1)當腰長為 1 厘米，底邊長為 3 厘米時，其周長為 21+3=5 厘米； (2)當腰長為 3 厘米，底邊長

28、為 l 厘米時，其周長為 23+1=7 厘米。分析： (1)中的三角形是不存在的，因為三角形的基本性質(zhì)是“三角形任意兩邊之和大于第三邊” ，而三角形的兩條腰長都為1 厘米，其學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考和是 2 厘米，小于底邊長 3 厘米，不能構成三角形， 應當舍去。同樣，也要對 (2)中的情況進行檢驗，有些同學在解題中喜歡運用排除法，認為剩下的結果就是一定是正確的結果，這也是非常不可取的。正解：依據(jù)題意可知， 3 厘米長的邊為等腰三角形的腰，l 厘米長的邊必為等腰三角形的底邊長答：其周長為 23+1=7 厘米。(四)邏輯性錯誤嚴謹性是數(shù)學學科的主要特征之一， 表現(xiàn)在證明過程中都要遵守

29、邏輯推理的規(guī)則。 數(shù)學證明是根據(jù)確定了真實性的公理、 定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學命題，來論證其他數(shù)學命題真實性的推理過程。數(shù)學證明過程表現(xiàn)為一系列的邏輯推理， 它關系到學生推理論證能力與邏輯思維能力的培養(yǎng)。 在證明過程中， 學生容易犯的邏輯性錯誤主要表現(xiàn)為：1偷換論題一些同學在解題過程中，因為某些原因人為地增加或者減少論題中的條件，導致論題改變，造成錯誤發(fā)生。例 22：敘述命題“若 a、b 均為偶數(shù)，則 a+b 也為偶數(shù)”的逆否命題。錯解：逆否命題為：若 a+b 為奇數(shù)，則 a、b 均為奇數(shù)。分析：原命題與逆否命題是等價命題。 若原命題為真，則逆命題亦真。但上述逆否命題不真。其實“ a、 b

30、 均為偶數(shù)”的否定應包括兩種情況：(1)a、b 均為奇數(shù)； (2)a、b 為一奇、一偶。而 (1)、(2)的統(tǒng)稱應為“a、b 不全為偶數(shù)”或“ a、b 至少有一個奇數(shù)”?！癮、b 均為奇數(shù)”學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考偷換了論題，造成了命題錯誤。正解：逆否命題為”若a+b 為奇數(shù)，則 a、b 不全為偶數(shù)”。2論據(jù)不足在推理論證的過程中， 邏輯規(guī)則必須正確， 推理論證所依據(jù)的原理、原則必須充分和恰當。 由于數(shù)學推理過程的復雜性和形式演變的多樣性，極易產(chǎn)生由于論據(jù)不足而導致的“推不出”的錯誤。分析：以上證明方法似乎沒錯， 但是仔細一想， 為什 AB+BE=AE 呢?這實質(zhì)是默認A，B，E

31、三點共線，這是毫無根據(jù)的，所以這個論證是錯誤的。正證：設AB 不平行于 CD，聯(lián)結 BD，取 BD 的中點 E，學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考再連 ME、NE，如圖 3-3 所示。3循環(huán)論證我們知道，每一個證明都是由論題、 論證和論據(jù)這三個部分所構成的，在論證過程中，論據(jù)的真實性不能依賴于論題的真實性，否則就產(chǎn)生了循環(huán)論證。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考5推理過程錯誤推理過程所選擇的論證進程依據(jù)的原理、原則是否恰當， 在局部推理上所引用的論據(jù)是否充分等都應嚴格審查。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考分析：在上證中，為什么呢?顯然這是由于圖的幾何

32、直觀所造成的。學習平面幾何借助幾何直觀是有很大的益處的， 但是只靠幾何直觀沒有嚴密的邏輯推理， 有時會導致解題或證明的錯誤。 幾何直觀并不能代替邏輯證明，嚴格的論證如下：6混淆問題的“特殊性”和“一般性”數(shù)學問題的過程和結論都具有一般性， 在這種一般性中包含著特殊性，所以一般性成立了， 特殊性當然也能成立。但因為問題的特殊性代表了問題的本質(zhì)基礎， 所以在數(shù)學解題過程中， 往往把特殊作為研究問題的起點， 由特殊性來研究它的一般性。 但是一些數(shù)學問題的特殊性并不包含在一般性之中， 這往往是思考中容易疏漏的地方， 而忽視這種特殊性， 就有可能造成數(shù)學錯誤， 所以我們要處理好數(shù)學問題的“一般性”和“特

33、殊性”之間的關系。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考7混淆條件的“充分性”與“必要性”若由 A 可以推出 B，即 A B，則稱 A 是 B 的充分條件， 若由 B 可以推出 A，即 B A，則稱 B 是 A 的必要條件。學生在進行邏輯推理時，容易混淆充分性與必要性之間的關系，以致思維導向失當，造成數(shù)學錯誤。例 28：解方程 2x2+x-6=1錯解：原方程化為 (2x-3)(x +2)=1則： 2x-3=1；x+2=1解得： x1=2，x2=一 1分析： ab=1 能推出 a=1 且導致了錯誤。a、b 互為倒數(shù)，若a=1 且 b=1ab=1，但 ab=1 不

34、b=1。上述解法由于混淆了條件的充分性和必要性，而正解：原方程可化為2x2+x-7=0(五)思維因素思維品質(zhì)有著很高的要求，其表現(xiàn)的形式也更為多樣。通常我們以“深刻性”、“靈活性”、“嚴謹性”、“批判性”等方面來評價學生的思維品質(zhì)。1思考不夠深入缺乏思維深度的學生，往往不能深入地鉆研與思考問題，不善于從復雜的情況中把握住事物的本質(zhì)，而是被一些表面現(xiàn)象所迷惑，學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考把問題絕對化，或者犯了不求甚解的毛病。比如在概念學習中，弄不清一些容易混淆的概念，如正數(shù)和非負數(shù)、倒數(shù)和相反數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)等等；在公式、定理、法則的學習中， 也不能完全地掌握它們，包括條件、結論和適用

35、的范圍等； 具體表現(xiàn)為思維的表面化、 絕對化、形式主義、一知半解等。分析：當 x+y+z0 時，等式 2(x+y+z)=k(x+y+z) 的兩邊才可以同時除以 x+y+z；當 x+y+z=0 時，則應當另行討論。綜上所述： k=2 或一 1。2思維不夠靈活缺乏思維靈活性的學生不能對具體問題作具體分析，不善于根據(jù)學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考實際情況的變化而及時調(diào)整原有的思維過程與方法， 不能靈活地運用相關的知識和方法來解決問題， 并且局限于固有的思維模式， 不具有較強的應變能力。3思維不嚴謹 (考慮不周，主觀臆斷 )思維不嚴謹具體表現(xiàn)在思維進程中的各種不全面、不完整、不嚴密。由思維的不嚴

36、謹所產(chǎn)生的錯誤在學生中非常常見。比如需要分類討論的題目往往是學生學習的難點問題。而分類討論也是初中數(shù)學常見的，體現(xiàn)學生思維嚴謹性的數(shù)學思想方法，要求學生掌握和應用。分類討論是根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，分別對各種情況予以考查， 這也是學生容易犯錯的地方。 究其主要原因是對所討論變量的取值范圍分類不明確；分類不按同一標準進行；分類有遺漏；分類不互斥，有重復等。例 31 某人乘船由 A 地順流而下到 B 地，然后又逆流而上到C 地，乘學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考船共需要 4 個小時。已知船在靜水中的速度為每小時75 千米，水流速度為每小時25 千米。如果 A、C 兩地相距 10 千米，試求 A

37、、B 兩地的距離。錯解：設 A、B 兩地的距離為 x 公里，根據(jù)題意得：解得 x=20(千米 )答： A、B 兩地的距離為 20 千米。分析：學生是在默認 C 地在 A、B 兩地之間的條件下來解題的， 遺漏了符合題意的另一情形，即 C 地位于 A 地的上游。所以還應該考慮當 C 地在 A 地上游時的情況：答：綜上所述， A、B 兩地間的距離為20 千米或 20 千米。3正解：過程見分析， 4思維定勢的影響思維定勢是一種思維慣性，即：總是按照某種習慣的思路去思考問題。在解題時，有些學生常常先對問題進行模式辨認，當在解決相似的新問題時，具有試圖把新的問題納入到已建立的模式中加以解決的心理傾向，如此

38、就造成了“先入為主”的思維惰性。此外，學生對已經(jīng)接受的知識、 解題方法等內(nèi)容， 往往在心目中有比較深刻的印象，這些固然對新知識的建構是很好的經(jīng)驗， 但也會限制學生對問題作出更加深入細致的探討，從而產(chǎn)生思維定勢。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考例 32：如果直角三角形的兩邊長分別為 6 和 8，那么第三條邊等于 _。錯解：因為在直角三角形中，所以利用勾股定理可得第三條邊長為10。分析：在解此題過程中，部分學生產(chǎn)生了思維定勢 (6，8， 10 為學生非常熟悉的一組勾股數(shù) )，默認第三條邊一定是斜邊，造成漏解。正解：當 6 和 8 為直角邊時，第三邊長為 10。當 8 為斜邊時，第三邊長為2 7

39、。三、 克服初中學生數(shù)學錯誤的教學策略和方法學生數(shù)學錯誤的出現(xiàn)，一方面與學生在學習過程中對數(shù)學知識的理解與掌握、邏輯能力、 思維能力、學習數(shù)學的方法和策略密切相關。另一方面也與教師在教學過程中的教學有著重要的關系。 在教學中怎樣避免和利用數(shù)學錯誤， 是教師應該認真研究和分析的。 對于數(shù)學錯誤的有效減少和預防，筆者提出以下一些措施。(一)培養(yǎng)學生解題能力1加強對數(shù)學概念的理解對數(shù)學的概念理解是學習數(shù)學的基礎， 許多學生由于對概念理解的程度不夠?qū)е铝私忸}時的錯誤， 所以加強概念的教學尤其重要。 由于概念有較強的抽象性和概括性， 所以我們在平時的教學中必須要重視概念的形成過程。 在數(shù)學概念的教學中，

40、 教師要注重學生概念的形成過程。教師可以從大量生活中的實際例子出發(fā)， 對相似的概念和容易混淆的概念要進行比較與分類，找出這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，進而提煉出這一類事物的本質(zhì)屬性， 然后再通過一些具體的例子對所學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正， 概括總結后再讓學生用定義的形式表達出來。從這個形成過程中， 學生可以得到概念的來龍去脈，能夠有效地幫助他們理解概念。2提高審題能力有一位數(shù)學家曾經(jīng)說， “善于解題的人，用一半的時間來理解問題，而用另一半時間完成解題” ，可見審題在解題中的地位和重要性。對于一些簡單的題目，只要認真審題，完成解題并不困難。但對于一些條件比較復雜、

41、隱蔽的題目，則需要認真閱讀，仔細推敲，準確把握問題的條件和結論。在審題時，可以引入一些圖形、表格、符號等來幫助理解題意。對于條件既不能遺漏，也不能隨意添加。同時也要兼顧條件和結論，因為結論往往暗示了對條件進行轉(zhuǎn)化的途徑與方向。審題一定要注意抓關鍵詞，想辦法挖掘題目的內(nèi)涵和外延。認真審題，提高審題能力可以幫助學生從題目中獲取盡可能多的信息， 是提高學生數(shù)學解題能力的重要途徑。3提高計算能力計算能力是初中數(shù)學重要內(nèi)容之一，作為教師應當在平時的教學中重視學生計算能力的訓練與培養(yǎng)。掌握合理的算理和算法是計算的基礎，在計算過程中要準確無誤地運用概念、公式、法則，有根有據(jù)地一步一步運算，不能跳步驟，只有做

42、到這些，才能保證最終的運算結果準確無誤。 另外提高學生簡便運算也是提高運算能力的關鍵，學會簡便運算的學生不僅算得快，而且準確率也高。 因為運算的步驟越繁瑣，難度就越大，出錯的可能性也就更大。學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考4提高思維能力在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的思維能力是減少學生的解題錯誤的重要途徑之一。在教學中，我們發(fā)現(xiàn)：數(shù)學學習成績好的同學，往往具有思維敏捷、邏輯清晰的特點， 并且比一般的同學更加具有探索創(chuàng)新的精神。反觀一些數(shù)學學習比較困難的學生， 他們的思維具有局限性的特點，所學的內(nèi)容也停留在教科書和教師講過的內(nèi)容上， 一旦遇到新的問題往往束手無策，沒有解決問題的好辦法。5規(guī)范的解題格式

43、規(guī)范的解題格式， 不僅反映學生的數(shù)學知識技能水平， 而且也反映學生的學習態(tài)度與學習習慣。 因此，教師應該對學生的解題格式有嚴格要求：順序從左到右， 由上到下，排列要均勻；數(shù)字、符號正確，字跡工整、清晰；計算題步步為營，不能跳步驟；證明題由因?qū)Ч?，言必有?jù)等。這些解題的格式問題一定要在平時的作業(yè)中常抓不懈，如果發(fā)現(xiàn)不按格式書寫或出現(xiàn)錯誤， 都要求學生有錯必糾， 及時修改訂正。實踐證明，通過訓練能使學生養(yǎng)成耐心、細致、嚴肅、認真的書寫習慣，形成規(guī)范的解題格式，減少不必要的錯誤。6養(yǎng)成解題檢驗的習慣在平時的教學中， 筆者發(fā)現(xiàn)許多學生題目做完就了事， 不重視對題目的檢驗。其實解題檢驗也是解題的重要組成

44、部分， 只是很多學生缺乏這種意識而已。 教師在培養(yǎng)學生檢驗意識的同時， 也可以介紹一些基本的檢驗方法。比如， 對于一些計算的結果，可以通過估算來檢驗；對于沒有把握的題目， 可以重新再解一遍，當然解題的思路和步學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考驟不能受前一種解法的影響； 對于實際問題， 可以根據(jù)解題的結果是否符合實際情況來檢驗； 對于有些問題，可以一題多解的方法來檢驗；對于一些幾何證明的問題， 可以嘗試用倒推法來檢驗證明的正確性等等。7學會一題多解，提煉最優(yōu)解法將一個復雜的問題簡單化， 是數(shù)學解題中的基本思想方法。 但是在實際應用中， 學生往往會把一個簡單的問題復雜化， 這就背離了解題的思想方

45、法。 所以在解題中， 教師不能只關注學生是否獲得正確答案，更應該關注學生使用的方法是否化繁為簡，反映問題的本質(zhì)。最優(yōu)解法不一定就是最巧妙的， 但一定是那些最具普遍意義、 反映問題本質(zhì)的方法。對學生開展一題多解的教學， 在一題多解中提煉最優(yōu)的解法，有利于開拓學生的思路，有利于學生掌握數(shù)學問題的本質(zhì)，有利于提高學生的思維能力。8養(yǎng)成題后反思的習慣反思是解題之后的重要環(huán)節(jié)。一些同學沒有養(yǎng)成題后反思的習慣，一種錯誤錯了又錯，形成了一種習慣性錯誤。實踐證明，通過題后反思能夠減少重復出錯的幾率。 反思可以使人對自己的錯誤觀念進行深刻的理性認識， 在剖析錯誤產(chǎn)生的前因后果以后， 產(chǎn)生正確的認識，從而實現(xiàn)認識上的“知其然，又知其