第1章 隨機(jī)事件及其概率

1、第1章 隨機(jī)事件及其概率習(xí)題解答第1章 隨機(jī)變量及其概率1，寫出下列試驗的樣本空間：（1） 連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（2） 連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（3） 連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（4） 拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：（1）；（2）；（3）；（4）。2，設(shè)是兩個事件，已知，求。解：，3，在100，101，999這900個3位數(shù)中，任取一個3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個概率。解：在100，101，999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3

2、位數(shù)的個數(shù)為，所以所求得概率為4，在僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。（1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有個。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為（2）該數(shù)大于330的可能個數(shù)為，所以該數(shù)大于330的概率為5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。（2）4只中至少有2只紅球。（3）4只中沒有白球。解: （1）所求概率為；（2） 所求概率為；（3）所求

3、概率為。6，一公司向個銷售點(diǎn)分發(fā)張?zhí)嶝泦危O(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點(diǎn)是等可能的，每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個銷售點(diǎn)的總的可能分法有種，某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蟹N，所以某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿椤?，將3只球（13號）隨機(jī)地放入3只盒子（13號）中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。（1）求3只球至少有1只配對的概率。（2）求沒有配對的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有3！=6種：123，132，213，231，312，321；沒有1只配對的放法有

4、2種：312，231。至少有1只配對的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以（2）沒有配對的概率為；（1）至少有1只配對的概率為。8，（1）設(shè)，求,.（2）袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：（1）由題意可得，所以， ，。（2）設(shè)表示“第次取到白球”這一事件，而取到紅球可以用它的補(bǔ)來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為（根據(jù)乘法公式） 。9，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到

5、的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件，“另一只也是紅球”記為事件。則事件的概率為（先紅后白，先白后紅，先紅后紅）所求概率為10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人以為自己患癌癥，且確實(shí)患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實(shí)際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實(shí)患了癌癥；最后40%的人以為自己未患癌癥，且確實(shí)未患癌癥。以表示事件“一病人以為自己患癌癥”，以表示事件“病人確實(shí)患了癌癥”，求下列概率。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）根據(jù)題意可得；（2）根據(jù)條件概率公式：；（3）；（4

6、）；（5）。11，在11張卡片上分別寫上engineering這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結(jié)果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個字母中共有2個g，2個i，3個n，3個e，1個r。從中任意連抽6張，由獨(dú)立性，第一次必須從這11張中抽出2個g中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個i中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。12，據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B，有20%的人只有癥狀A(yù)，有30%的人只有癥狀B，有10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機(jī)地選一

7、人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀的概率。解：（1）根據(jù)題意，有40%的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為；（2）至少有一種癥狀的概率為；（3）已知該人有癥狀B，表明該人屬于由只有癥狀B的30%人群或者兩種癥狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%，所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。13，一在線計算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.99

8、9740.20.9996解：設(shè)“訊號通過通訊線進(jìn)入計算機(jī)系統(tǒng)”記為事件，“進(jìn)入訊號被無誤差地接受”記為事件。則根據(jù)全概率公式有 =0.9997814，一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗法，對于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解：設(shè)“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件，“一名被檢驗者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎”記為事件。根據(jù)全概率公式有，所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為1

9、7.06%.15，計算機(jī)中心有三臺打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少？解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件，“程序在A,B,C三臺打字機(jī)上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公式有，根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，。16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由

10、密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件，“一訊息是可信的”記為事件。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗證A和B，B和C，C和A分別相互獨(dú)立（兩兩獨(dú)立），但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為， ；， ，。所以有，。即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18，設(shè)A,B,C三個運(yùn)動員自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5, 0.7, 0.6，設(shè)A,B,C個在離球門25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立，求（1

11、）恰有一人進(jìn)球的概率；（2）恰有二人進(jìn)球的概率；（3）至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件。（1）設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （2）設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，則 （由獨(dú)立性） （3）設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，則。19，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設(shè)化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗血型的設(shè)備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗出是A-RH+型血。問題轉(zhuǎn)化

12、為最遲第4個人才驗出是A-RH+型血的概率是多少？因為第一次就檢驗出該型血的概率為0.4；第二次才檢驗出該型血的概率為0.60.4=0.24；第三次才檢驗出該型血的概率為0.620.4=0.144；第四次才檢驗出該型血的概率為0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704220，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設(shè)有5個獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。1第20題543解：設(shè)“元件能夠正常工作”記為事件。那么系統(tǒng)的可靠性為21，用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含有的概率為0.9，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為0.4，0.6。今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次