江蘇省歷屆高等數(shù)學(xué)競賽試卷(1991-2010)

1、江蘇省第一屆（1991年）高等數(shù)學(xué)競賽本科競賽試題（有改動(dòng)）、填空題（每小題 5分，共50分）后將 y sinx sinx1 .函數(shù)3（其中x萬）的反函數(shù)為2.當(dāng)x 0時(shí)，3x 4sinx sin xcosx x與xn為同階無窮小，則 n3.在x 1時(shí)有極大值6,在x 3時(shí)有極小值2的最低哥次多項(xiàng)式的表達(dá)式是nm、n/、 d (1 x )p(1)p(x) n-4設(shè)dx , m，n是正整數(shù)，則2 x cos(x2)sin xdx5. 2x 2d2x6.若函數(shù)x x(t)1etdt°所確定的隱函數(shù)，則不y7.已知微分方程（特解yx 2z8.直線 y 1繞z軸旋轉(zhuǎn)，得到的旋轉(zhuǎn)面的方程為V9

2、.已知a為單位向量,a 3b垂直于7a4b垂直于7a 2b ,則向量a、b的夾角為lim 1n10.122n222n2n2n二、（7 分）設(shè)數(shù)列an滿足an2, an 1小，n 1,求 niman。0，其中 b a 。b(x c) cos(x c)( 7 分)求 c 的值，使a2222( 12 分) 求由曲面x y cz,x y22a , xy b 和 z 0 所圍區(qū)域的體積（其中a,b,c為正實(shí)數(shù)）。五、（12分）一點(diǎn)先向正東移動(dòng) am,然后左拐彎移動(dòng)aqm （其中0 q 1）,如此不斷重復(fù)左拐彎，使得后一段移動(dòng)距離為前一段的q 倍， 這樣該點(diǎn)有一極限位置，試問該極限位置與原出發(fā)點(diǎn)相距多少米

3、？20 f(x)dx六、（12分）已知f（x）在0,2上二次連續(xù)可微，f（1） 0,證明M其中max江蘇省第二屆（1994年）高等數(shù)學(xué)競賽本科一級(jí)競賽試題（有改動(dòng)）、填空題（每小題 5分,50分)1 11nm = I .14n14n 2n(t1)cosz2.設(shè)z是由方程組tsinz確定的隱函數(shù)，則3xn2) cos-2f(x) (x3.設(shè)4.設(shè)四階常系數(shù)線性齊次微分方程有一個(gè)解為yixxe cos2x,則通解為Ax By5.平面 3Cz0(C0）與柱面2 y_ b2(A,B0）相交成的橢圓面積為r r6.已知a, b是非零常向量r r2 (a,b)r ra xblim，則x 0207.1 (c

4、ot x)28.橢球面x2 y2 4z2 1與平面x y z J7 0之間的最短距離為二、（8分）試比較 與e的大小。2三、（10分）已知a，b滿足a圍區(qū)域的面積的最大值與最小值O四、（10分）設(shè)區(qū)域D :.1lim f(x, y)dxdyt 0 2 D五、（10分）求不定積分x dxf(0,0)b),求曲線y xax與直線y隊(duì)所六、（10分）通過線性變換t2,(t0),f（x，y）在D上連續(xù)。求證:1 xcosx ,-dxx(1 xesinx)x ay,2_ux by將方程x2化簡成0求a,b的值。七、（12分）已知f（x）在0,1上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（0）f（1） 0, f（x） 00

5、證明：(x)dx 4 max f (x)o江蘇省第三屆（1996年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三級(jí)、?？聘傎愒囶}（有改動(dòng)）lim 1 x 0 x sin x、填空題（每小題 5分，共40分）limsin( x) tan3xx 6.6，貝U a2.若 f(x) x(2x 1)(3x 2)(100x 99)，貝qf(0)113.已知當(dāng)x大于2且趨向于2時(shí),1 ba（x 一）-3arccosx與 2 為等價(jià)無窮小，則a , b .23人 xe dx4.1x 2y 3z 25.直線6.設(shè) 與 均為單位向量，其夾角為 面積為.則以+ 與 +為鄰邊的平行四邊形的2x y z 3在平面z 1上的投影為直線L,則點(diǎn)(1

6、,2,1)到直線L的距離為dd2一7 .設(shè)當(dāng) x 0時(shí)一f(sinx) f2(sinx), f(0) 0,則f (0) .dxdx/、33lim )8 .設(shè)函數(shù)yy是由x y 3axy 0(a O)確定，則x x 二、(10分)x x ,x 0y f (x)設(shè)0 ,x 0 ；討論f(x)的連續(xù)性，求單調(diào)區(qū)間、極值與漸近線。三、(10分)設(shè)f(x)=x 2(x 1)2(x 3)2.(1)體科三級(jí)考生彳試問曲線yf(x)有幾個(gè)拐點(diǎn)，證明你的結(jié)論(2)(?？瓶忌?試問f (x) 0在區(qū)間(0,3 )上有幾個(gè)實(shí)根，證明你的結(jié)論四、(10分)若f (u)是連續(xù)函數(shù)，證明0 xf(sinx)dx=xsi

7、nx , 一f (sin x) dx,并求 2廠 dx.2 00 3sin2 x 4cos2x五、(10分)設(shè)f (x)在區(qū)間0,1上可積，當(dāng) 0 x<y 1 時(shí),|f(x)-f(y)| |arctanx-arctany|,又f(1)=0,-11求證：|°f(x)dx| 31n2.六、（10分）x 3y 1 0y z 2 0相交的直線方x y 0Li：求過點(diǎn)（11,9，0），而與兩直線x y z 4 0程。七、（10分）aAAf（x y）dxdy A f（t）（A t）dt,D:x -, y -設(shè)f連續(xù)函數(shù)，求證 d22江蘇省第四屆（2002年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三級(jí)、專科競賽試

8、題（有改動(dòng)）一、填空題（每小題 5分，共40分）.T2： x2 .函數(shù) f(x)=3x3 .設(shè) f(x)=S,"0，則4 .（本三考生做）設(shè)變量x,y,t滿足的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為31 f(x 2)dxy=f(x,t)及 F(x,y,t)=0,函數(shù)f, F的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則dy dx.1 lim 一 x0.（專科考生做）設(shè)刈的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f （0） =0,則 x10 f (xt)dt2x z（本三考生做）已知直線l過點(diǎn)M（1, -1, 0）且與兩條直線L ： x y 3zl2 :x 2 t,y 1 4t,z 3 垂直，則l的參數(shù)方程為6.ln x dx7.f(x)設(shè)2n 12,x ax

9、 bx ,lim 2n (nn x 1N) lim f (x)與 lim，極限x 1x 1f（x）都存在.，則8.設(shè)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且f （a） 2,g（a） 3（a 0）(a) g ( a)lim sin（二、（9分）求n n2 n)limx 01.x( 9 分) 為正常數(shù)，使得不等式x e 對任意正數(shù)x 成立，求的最大值.''四、設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上二階可導(dǎo)，對于a,b內(nèi)每一點(diǎn)x, f(x)f (x) 0,且在a,b的子區(qū)間上f(x)不恒等于零.試證f(x)在厲中至多有一個(gè)零點(diǎn)2五、(9分)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=x x130f(x)dx

10、x2、0 f(x)dx,求f(x).六、(9分)設(shè)f(x) x x (x表示不超過x的最大整數(shù))，1 x lim - f(x)dx 求極限x x 0。七、（9 分）有形狀為直角角形的薄銅片，其密度f（x,y） k（1 x 2y）,x 0,y 0,1 x 2y 0k為常數(shù).今從中截取一矩形銅片（該矩形兩條鄰邊位于三角形的兩條直角邊上）使其質(zhì)量最大，求該矩形銅片質(zhì)量與原直角三角形銅片質(zhì)量之比。八、（6分）地面雖然不太平坦，但請證明一張小方凳經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)總可以放平穩(wěn).這里假設(shè)小方凳四條腿的端點(diǎn) A, B, C, D為正方形四個(gè)頂點(diǎn)。江蘇省第五屆（2000年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三級(jí)、民辦本科競賽試題（有

11、改動(dòng)）、填空題（每小題3分，共15分）d q 1 i丁 f (x ) -，則 f (x)1.已知dxx2.1lim(tan x)lnx3.一 dx14.設(shè)z z（x, y）由方程F x y, y z,z x0所確定，F(xiàn)為可微函數(shù)，則5.aaf(x) f(ax)sin xdx二、選擇題（每小題3分，共15分）f(x)1.函數(shù)2xex(x11）的可去間斷點(diǎn)為A、x 0,1B、C、D、無可去間斷點(diǎn)2.改變積分次序10dyy1 f(x,y)dxA、1dx1C、1dx0f(x,y)dy1 x-.1rf(x，y)dyB、D、3.設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x) f(x)(1A、f (0)C、f(0)f (0)4.

12、若xf(x0，%), -y0dx11dx1A、C、5.A、C、,r-x0 f(x,y)dy1 xf(x，y)dysinx),欲使 F(x)在 x（x 40）都存在，則連續(xù)且可微可微但不一定連續(xù)f (x, y) e2x(x2y 2y）在點(diǎn)B、D、f(0)f(0)f(x,y)在 x0,y。是(1 2,1dx01 x0 f(x,y)dy0處可導(dǎo)，則必有f (0) 0B、D、處?。ㄟB續(xù)但不一定可微不一定可微也不一定連續(xù)e極大值 2不取得極值limx 0三、（8分）設(shè)ln(1 x) (axx212e dt0B、D、bx2)dxx(ln x)2e極小值2極小值e,求常數(shù)a,by四、(6分)設(shè)z (1 xy

13、) ,求dz(1,1)。五、(6分)設(shè)f(x)，g(x)在a,b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且對于(a，b)內(nèi)的一切x均有f(x)g(x) f(x)g(x) 0,證明：若 f(x)在 (a,b)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則介于這兩個(gè)零點(diǎn)之間，g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)。六、(6分)計(jì)算二重積分 D12 1|y x | dxdy,其中積分區(qū)域D: x 1,0 y 2.2/2、七、（8分）過拋物線y x上一點(diǎn)（a，a ）作切線，問 a為何值時(shí)所作切線與拋物線 yx2 4x 1所圍成的圖面積最??？22八 F（x）八、（6分）當(dāng)X 0時(shí)，（X2 t2）f（t）dt - 20九、（8分）計(jì)算(11x2)(1 Xdx2)

14、的導(dǎo)數(shù)與x為等價(jià)無窮小，求f （0）。y 2x y x 3十、（8分）求兩直線z x 1和z x之間的最短的距離。卜一、(6分)5x x ,-dx求x 1。十二、(8分)設(shè)f (刈在(，)上連續(xù)，且滿足f(t) 22 x(x2 y2)f(.x2 y2)dxdy t4t2,求 f(x)。江蘇省第六屆(2002年)高等數(shù)學(xué)競賽 本科三級(jí)，民辦本科競賽試題一、填空題(每小題 5分，共40分)x 沃e e一，1 .設(shè) lim；- c(c 0),貝1J k ,cx 0 xk 2 .設(shè)f(x)在1,+)上可導(dǎo)，下列結(jié)論中成立的是 .a.若jmf (x)0,則f(x)在i,+)上有界B.若limf (x)0

15、,則f(x)在1,+)上無界x +C.若 lim f (x)=1，則 f(x)在1,+)上無界x +3 .設(shè)由 e y x(y x) 1 x確定 y=y(x)，則y (0) .4 . (arcsinx arccosx)dx .5. dx .4 .x(1 x)26.zf(Y) g(ex,sin y), f的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，g的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則xx y13 x7 .交換積分次序0dx x2 f(x, y)dy .8 .函數(shù)f(x,y)=2x-y+1滿足方程x2y25的條件極大值為,條件極小值為二、(8 分)ba設(shè)f(x)在0,+ )上連續(xù)且單調(diào)減少，0 a b,證明：aaf(x)dx b0 f(x

16、)dx.三、(9分)設(shè) f(x)=kx+sinx.若k 1,求證：f(x)在(-,+ )上恰有一個(gè)零點(diǎn)；若0<k<1,且f(x)在(-,+ )上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍.四、（8分）求”1 sin x , dx.cosx五、（9分）f(x,y),1yarctan-22 ,(x,y) (0,0)x y，"，6 （0，0），試討論 f（x,y）在點(diǎn)（0,0）處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。六、(8分)d2z設(shè)z f(x,y),x(y), f的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)， (y求全導(dǎo)數(shù) 一2.dx七、(9分) 設(shè)f(u)在u=0可導(dǎo)，f(0)=0,D:x2 y2 2tx, y

17、0,求 Jm 4 f (JX2y2)ydxdyt ° t Do八、（9分）|sin(x y)|dxdy,D:x 0, y 0,x yD江蘇省第七屆（2004年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三級(jí)、民辦本科競賽試題填空題（每小題5分，共40分）4.limn1 n24_1_n2 161.n2 4n22.limx1 xarctanxx23.若xk0時(shí)，x Sinxcosxcos2x與cx為等價(jià)無窮小，貝U c4.ln 1 x ,則 n 4 時(shí)，f5.設(shè)函數(shù),x arctan 一y,則也1, 16.7.sin xcosx2dx cosx xsin xaf x f x sin xdxa8.設(shè) D:0 x其他

18、y dxdy二、（10分）設(shè)f x在a,b連續(xù)，在a,b可導(dǎo);a,x dx-b22證：在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)u ,使得1。22三、（io分）設(shè)D:y x 4，y x，x y 2，x y 4.在d的邊界y x上任意取點(diǎn)p,22設(shè)P到原點(diǎn)的距離為t,作PQ垂直于y x交D的邊界y x4于Q。求：1）將P，Q的距離PQ用t表示；2）將D繞v x旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。四、（10分）設(shè)f x在 ，上有定義，f x在x 0處連續(xù)，且對一切實(shí)數(shù)xi，x2有f x1 x2f x1f x2 ,求證：f x在 ，上處處連續(xù)。kx 1 1 0 八五、（10分）設(shè)k為常數(shù)，方程 x 在0,上恰有一根，求k的取值范圍

19、。六、（10 分）設(shè) f x，y 可微，f 1，21，fx 1,22, fy 1,23'x f f x,2x ,2 f x,2x .求 12 1e 2d20 d七、（10分）求° 土江蘇省第八屆（2006年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三級(jí)、民辦本科競賽試題二、 填空題（每小題5分，共40分）1222n2lim nr nvi.x it2o lxm 0 - 1dtlim x2 3x 2 ax b3.若x0,則a 2 sin x"f x 1 x x e 貝（jf05 .設(shè)函數(shù)由x zey z確定，則dze，0 .6 .函數(shù)f x，y exax b y2中常數(shù)a，b滿足條件 時(shí)，f

20、1,0為 其極大值。2ex e 1dx 1 f x, y dy7.交換二次積分的次序 1 x.1 .dxdy2 2228.設(shè) D: 2x x y 0 y x 2 則" X y.導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但二階導(dǎo)數(shù)不存在？fx（ 8 分）設(shè)2axbsinxln 1 x ,c, xx00問：a，b，c為何值時(shí)，函數(shù)在x0處一階（ 9 分）過點(diǎn)1,5 作曲線: yx3 的切線 L 。旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。求：1） L 的方程；2） 與 L 所圍平面圖形D 的面積；3） D 的 x0部分繞x 軸四、（8分）設(shè)f x在區(qū)間0,上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),證明:0,五、（8分）1 arctan x02 2求 1 xdx六

21、、（9分）2設(shè)圓柱面xy2 1,z 0被柱面z2x 2x 2 ,及平面z 0截下的部分為。為計(jì)算 的面積,用鐵片制作了的模型,A 1,0,5 , B 1,0,1 ,C1,0,0為上的使得D位于x軸三點(diǎn)，現(xiàn)將 沿線段BC剪開并展開為平面圖形 D。建立平面直角坐標(biāo)系,的正上方，且點(diǎn)A1,0,5的坐標(biāo)為0，5。求：1） D的邊界方程;2）求D的面積。七、（9分）用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)f x，yx2 J2xy 2y2在區(qū)域x2 2y2 4上的最大值與最小值。八y x;x -;y八、（9分）設(shè)D為20所圍的平面圖形，求 Dcos x y dxdyo1、2、3、江蘇省第九屆（2008年）高等數(shù)學(xué)競賽本科三

22、級(jí)競賽試題填空題（每小題5分，共40分）limxlimn4、常數(shù)aax2xbx xarctanx100的階數(shù)最高.5、5.22 sin x03 cos6、2x2 x2 dx7、8、設(shè)D:由y二、（8分）設(shè)數(shù)列xdxnZn則yx, x 02,1xn為:x1f x時(shí)，axx1 bx在x0時(shí)，關(guān)于x的無窮小arctanydxdy1所圍,則D1,xn 1"6xn；求證：數(shù)列xn收斂，并求極限。（ 8 分）設(shè) f x 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，bf x dx 0a證明：存在a,b ,使得f x dxa四、（8分）將xoy平面上的曲線x b222y a , 0 a b 繞直線 x 3b旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。2-22 x y0,00,0討論f x,y在0,0處的連f x v x y2 x, yf x，yx y五、（8分）設(shè)0x，y續(xù)性，可偏導(dǎo)性，可微性。.2.2六、（10分）已知曲面4x 4yz 1與平面z x y 0的交線在xoy面上的投影曲線為一橢圓，求該橢圓的面積x 2y 2z 1七、（8分）在平面：x 2y z 20內(nèi)作直線，使過另一直線L ： 3x y 4z 3與平面 的交點(diǎn)，且 垂直于L.求直線 的參數(shù)方程.22 大 c&y2 1 dxdy八、（10 分）設(shè) D