均勻設(shè)計(jì)-第四章

1、第四章 配方均勻設(shè)計(jì)配方設(shè)計(jì)在化工、橡膠、食品，材料工業(yè)等領(lǐng)域中十分重要，設(shè)某產(chǎn)品有種s原料，它們?cè)诋a(chǎn)品中的百分比分別記作。顯然。欲尋找最佳配方，需要做配方試驗(yàn)或混料試驗(yàn)，由于之間不獨(dú)立，前三章所介紹的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法均不適用于配方試驗(yàn)，在文獻(xiàn)中可以查到許多有用的方法，如單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)（Simplex-lattice design)，單純形重心設(shè)計(jì)(Simplex-centriod design),軸設(shè)計(jì)(axial design)等，Cornell27對(duì)各種配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法作了詳盡的介紹和討論，本章先簡(jiǎn)單介紹文獻(xiàn)中推薦的這些方法，然后指出這些方法的缺點(diǎn)，并推出配方均勻設(shè)計(jì)。4.1 配方試驗(yàn)

2、設(shè)計(jì) Scheffe于1958和1963創(chuàng)造了單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)和單純形重心設(shè)計(jì)，其方法如下：1、 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)先確定一個(gè)正整數(shù)m ，然后讓每個(gè)原料取值例如當(dāng)s=3，m=1時(shí)，只有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），當(dāng)s=3，m=2時(shí)，有6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），當(dāng)s=3，m=3時(shí)，有10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)：（1，0，0，），（0，1，0），（0，0，1），（1/3，2/3，0），（1/3，0，2/3），（0，1/3，2/3），（2/3，1/3，0），（2/3，0，1/3）

3、，（0，2/3，1/3），（1/3，1/3，1/3），一般記為s，m設(shè)計(jì)，一個(gè)s，m設(shè)計(jì)有個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。2、 單純形重心設(shè)計(jì) 一個(gè)s維的單純開重心設(shè)計(jì)共有個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，其中s個(gè)單一成分的點(diǎn)，。()個(gè)二種相等成分的試驗(yàn)點(diǎn)，即個(gè)s種相等成分的試驗(yàn)點(diǎn)：當(dāng)s=3時(shí)，共有7個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，它們?yōu)?(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),除上述兩種設(shè)計(jì)外，還有許多其他方法，如Cornell建議的軸設(shè)計(jì)。 3、軸設(shè)計(jì) 單純形的重心和它各頂點(diǎn)的聯(lián)線稱為軸，軸設(shè)計(jì)取s個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，每個(gè)軸上一個(gè)點(diǎn)，使這些點(diǎn)到重心有相等的矩離d，通常0<d<(s-1)/s。 圖12對(duì)s=3時(shí)給出三種設(shè)計(jì)的點(diǎn)圖，由這些點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)

4、這些設(shè)計(jì)有如下兩個(gè)問題：1） 試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)分布不十分均勻。2） 在試驗(yàn)邊界上有太多的試驗(yàn)點(diǎn)。眾所周知，在化學(xué)試驗(yàn)中，若有s種成分，如果缺少一種或多種，則或者不起化學(xué)反應(yīng)，或者生成另外一種產(chǎn)品。 為了克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)，王元、方開泰9建議用均勻設(shè)計(jì)的思想來做配方設(shè)計(jì)，產(chǎn)生了配方均勻設(shè)計(jì)。4.2 配方均勻設(shè)計(jì) s種原料的試驗(yàn)范圍是單純形，在上節(jié)已經(jīng)提及，設(shè)我們打算比較n種不同的配方，這些配方對(duì)應(yīng)中n個(gè)點(diǎn)，配方均勻設(shè)計(jì)的思想就是使這n個(gè)點(diǎn)在中散布盡可能均勻.其設(shè)計(jì)方案可用如下步驟獲得：1） 給定s和n，根據(jù)附錄的使用表查到生成向量，并由這個(gè)生成向量產(chǎn)生均勻設(shè)計(jì)表或，用qik記或中的元素。2） 對(duì)

5、每個(gè)i，計(jì)算 (4.1)3） 計(jì)算 (4.2)由就給出了對(duì)應(yīng)n,s的配方均勻設(shè)計(jì).并用記號(hào)示之。 表26對(duì)n=11,s=3時(shí)給出了產(chǎn)生的過程.這時(shí)計(jì)算公式(4.2)有如下簡(jiǎn)單形式 (4.3) 表26 及其生成過程 No.C1C2X1X2X311/2213/220.7870.0870.12623/225/330.6310.2850.08435/2219/220.5230.0650.41247/2211/220.4360.2820.28259/223/330.3600.5520.087611/2217/220.2930.1610.546713/229/220.2310.4540.314815/22

6、1/220.1740.7880.038917/2215/220.1210.2800.5991019/227/220.0710.6340.2961121/2221/220.0230.0440.993 公式(4.2)可以用遞推方法以節(jié)省計(jì)算量，其算法如下： (a) 令. (b) 遞推計(jì)算 (c) 計(jì)算 則即為所求，用這個(gè)算法便于寫計(jì)算程序。 由于編寫產(chǎn)生表的程序極其簡(jiǎn)單，因此無需列出各種配方均勻設(shè)計(jì)表，有關(guān)的軟件已經(jīng)形成，讀者可以直接使用，而節(jié)省研制時(shí)間。 用配方均勻設(shè)計(jì)安排好試驗(yàn)后，根據(jù)試驗(yàn)的目的，獲得反應(yīng)變量Y的值進(jìn)一步的分析和以前一樣也是用回歸分析，當(dāng)因素間沒有交互作用時(shí)，用線性模型，當(dāng)因素

7、間有交互作用時(shí)用二次型回歸模型，或其他非線性回歸模型，現(xiàn)用下例來說明之。 例6 在一個(gè)新材料研制中，選擇了主要三種金屬的含量作為因素.根據(jù)試驗(yàn)條件的允許和精度的要求，選擇了表來安排試驗(yàn)，其試驗(yàn)方案和Y值列于表27.由于，故表中僅僅列出和。利用二次型回歸模型和逐步回歸最終選定回歸方程為 相應(yīng)的R=0.90, =0.289.由于，回歸方程中僅有和出現(xiàn)，我們看到和有交互作用。限于篇幅，有關(guān)尋求最優(yōu)配方的內(nèi)容就不詳盡敘述了，有興趣的讀者請(qǐng)參考方開泰和王元16，張金廷13。 表27 試驗(yàn)方案和結(jié)果No.x1x2Y10.8170.0558.50820.6840.1799.46430.5920.3409.9

8、3540.5170.0489.40050.4520.21010.68060.3940.3849.74870.3420.5929.69880.2930.11810.23890.2470.3269.809100.2040.5579.732110.1630.8098.933120.1240.2049.971130.0870.4569.881140.0510.7278.892150.0170.03310.1394.3 有約束的配方均勻設(shè)計(jì) 上兩節(jié)我們討論的配方設(shè)計(jì)對(duì)各個(gè)因素是一視同仁的，但是在許多配方中，有些成分的含量很大，有些則很小，這種配方稱為有約束的配方，這時(shí)上兩節(jié)所介紹的方法均不能直接運(yùn)用，本

9、節(jié)介紹有約束的配方均勻設(shè)計(jì)。 設(shè)在一配方中有s個(gè)成分，它們有約束條件如下： (4.4)當(dāng)某個(gè)因子沒有約束時(shí)，相應(yīng)的 例7 若一配方有三個(gè)成分和，它們目前按70%，20%，10%組成配方，為了提高質(zhì)量，希望尋求新的配比，這時(shí)我們希望設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)，使 (4.5)這時(shí)如何用均勻設(shè)計(jì)來給出試驗(yàn)方案呢？ 本例由于的含量較高，我們可以將和在試驗(yàn)范圍內(nèi)按獨(dú)立變量的均勻設(shè)計(jì)去選表，然后用給出的比例，若和都在試驗(yàn)范圍內(nèi)取11個(gè)水平，并用來安排和，得表28之試驗(yàn)方案.該方案并不十分理想，因?yàn)橹挥腥齻€(gè)水平:0.64,0.70,0.76.若選用表，其試驗(yàn)方案列于表29，這時(shí)不僅和有11水平，也有11水平。 上述的兩個(gè)

10、方案重點(diǎn)在考慮和，而似乎是一種“陪襯”，不得已而變之，而且的變化范圍和原設(shè)計(jì)并不十分吻合.故這種方法所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)均勻性有時(shí)不一定很好.能否將,同時(shí)來考慮，其中沒有一個(gè)是陪襯呢？目前尚沒有特別好的方法，我們?nèi)砸岳?來討論，令為中的一組分散均勻的點(diǎn)集，由變換(4.3)我們可獲得單純形上的一組點(diǎn)因此，應(yīng)滿足約束(4.5)，即 上式的約束成為由它們所決定的區(qū)域D如圖13所示，不難求得，區(qū)域D落于矩形R=0.04,0.161/6,0.5之中，于是，我們?nèi)粼诰匦蜶之中給出一個(gè)均勻設(shè)計(jì)，其中落在D的點(diǎn)可以視為在D上的一個(gè)均勻設(shè)計(jì)，然后再利用（4.3)便可獲得我們要求的均勻設(shè)計(jì)方案。 表28 之試驗(yàn)方案No.

11、10.760.150.0920.700.160.1430.760.170.0740.700.180.1250.760.190.0560.700.200.1070.640.210.1580.700.220.0890.640.230.13100.700.240.06110.640.250.11 表29 之試驗(yàn)方案No.10.740.150.1120.770.160.0730.690.170.1440.720.180.1050.750.190.0660.670.200.1370.700.210.0980.730.220.0590.650.230.12100.680.240.08110.600.250

12、.15 設(shè)取n=21，由附錄I中的A1.25 ，查到應(yīng)當(dāng)用的第1和第5列，由它們生成的均勻設(shè)計(jì)（見表28前兩列）再通過變換(3.6)變到單位正方體之中（見表28，第3，4列），記變換后的點(diǎn)為其次將這些點(diǎn)通過線性變換到矩形R上去,其變換為 它們的值列于表30的最后兩列，其中在試驗(yàn)點(diǎn)編號(hào)上加了“*”的表示該點(diǎn)落在區(qū)域D之內(nèi)，未加“*”的表示落在D之外，我們看到編號(hào)為4，6，7，8，9，10，11，13，16，18的點(diǎn)落在D內(nèi).由這些點(diǎn)通過變換(3.6)獲得落在(4.5)所規(guī)定的區(qū)域的10個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，它們列在表31之中.用上述方法所獲得的試驗(yàn)方案布點(diǎn)均勻，但試驗(yàn)數(shù)不易預(yù)先確定。例如若我們希望做12次試

13、驗(yàn)，用上述方法只能獲得10個(gè)試驗(yàn)的配方，為此，我們可以嘗試開始時(shí)n>21，比如n=24，再用類似辦法看看最后有多少個(gè)點(diǎn)落在D之 中，該方法已經(jīng)納入中國(guó)均勻設(shè)計(jì)學(xué)會(huì)所推薦的軟件包之中。 表30 有限制的配方設(shè)計(jì)No.1511130.02380.59520.04290.36512240.07140.16670.04860.222233170.11900.78570.05430.42864*480.16670.35710.06000.258755210.21430.97620.06570.49216*6120.26190.54760.07140.34927*730.30950.11900.07

14、710.20638*8160.35710.73810.08290.41279*970.40480.30950.08860.269810*10200.45240.92860.09430.476211*11110.50000.50000.10000.3333121220.54760.07140.10570.190513*13150.59520.69050.11140.3968141460.64290.26190.11710.25401515190.69050.88100.12290.460316*16100.73810.45240.12860.3175171710.78570.02380.1343

15、0.174618*18140.83330.64290.14000.3810191950.88100.21430.14570.23812020180.92860.83330.15140.4444212190.97620.40480.15710.3016 表31 試驗(yàn)方案No.X1X2X310.75510.17500.070020.73270.17390.093330.72230.22040.057340.71220.16910.118850.70240.21730080360.69290.16080.146270.68380.21080.105480.66620.20130.132590.641

16、40.24470.1138100.62580.23160.14254.4 均勻設(shè)計(jì)在系統(tǒng)工程中的應(yīng)用設(shè)有一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)（如圖14），有一批輸入?yún)?shù)，當(dāng)這些參數(shù)給定后，需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算（如上百個(gè)微分方程），求得輸出參數(shù)，用它們來控制該系統(tǒng)。由于計(jì)算過于復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，很難做到載線控制，或者已經(jīng)推動(dòng)了控制時(shí)機(jī)。因此，希望在輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)間建立一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，通過這個(gè)關(guān)系，由輸入可以極其快速地算出輸出，這樣圖14中的“系統(tǒng)”部分可以視為“黑箱”，在應(yīng)用中不必去過問。由于輸入?yún)?shù)的范圍可能很大，要建立輸入和輸出之間的關(guān)系并能達(dá)到要求之精度，在如此大的范圍內(nèi)并不容易。國(guó)外一批學(xué)者對(duì)此作了大量研

17、究，并將這個(gè)研究方向稱為“計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)”（design of computer experiments).許多研究將問題弄得很復(fù)雜，失去了應(yīng)用價(jià)值。我國(guó)早在70年代末就已成功地將均勻設(shè)計(jì)用于系統(tǒng)工程中（參見黃樹山、丁常福、趙蓉華36、張建舟、潘乃強(qiáng)、申宗鶴40、張炳輝41等），并且比國(guó)外的方法先進(jìn)，其思想大體如下： 將輸入?yún)?shù)分成較多的水平（通常大于20），然后在其范圍內(nèi)給出一個(gè)均勻設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)給出了n組不同的輸入?yún)?shù).然后按系統(tǒng)的模型精確地算出（比如系統(tǒng)模型是微分方程組）輸出參數(shù)。利用多元統(tǒng)計(jì)分析中的許多方法（比如利用回歸分析），可以建立輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)之間的關(guān)系，如果試驗(yàn)數(shù)足夠多，模型精心選擇，由輸入估計(jì)輸出的精度可以達(dá)到預(yù)期的要求，由于這方面的應(yīng)用涉及到許多知識(shí)，這里難以詳盡介紹。有關(guān)計(jì)算機(jī)試驗(yàn)的文獻(xiàn)，讀者可以從文獻(xiàn)16的第五章第六節(jié)的介紹中找到。 結(jié) 束 語(yǔ) 本書的目的是向廣大讀者介紹均勻設(shè)計(jì)的方法和應(yīng)用，在文字上盡量簡(jiǎn)潔，略去了所有的數(shù)學(xué)證明，考慮于已有相應(yīng)的軟件包，因此在數(shù)據(jù)分析方面也沒有做到面面俱到，這樣對(duì)于初學(xué)者易于領(lǐng)會(huì)均勻設(shè)計(jì)的思想和運(yùn)用中的主要技巧，如果內(nèi)容介紹太多