從力做的功到向量的數(shù)量積

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)案（一）.目標(biāo)（1）了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并 能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的運算和判斷；（3）體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。（二）教學(xué)過程1. 已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種向量運算？向量運算數(shù)學(xué)符號運算結(jié)果2.兩個非零向量a與b的夾角二如何定義？其取值范圍是多少?問題1、大力士拉車，沿著繩子方向上的力為，車移動的位移是力和位移的夾角為一，大力士所做的功為多少？問題2、決定功大小的量有哪幾個？問題3、力、位移及其夾角分別是矢量還是標(biāo)量

2、？功是向量還是數(shù)量？問題4：由數(shù)量積的定義a b二|a|b|cos可知，決定數(shù)量積大小的量有哪些?問題5:數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，數(shù)量積的正、負(fù)、零有誰決定？（三）鞏固定義ffff-*1右1、已知 |a|=5，|b|=4， a與b 的夾角 71 - 120 ， a b =。2、已知正三角形 ABC的邊長為1,求：（1 ） AB AC 二； （ 2 ） AB BC 二； （ 3 ）AC BC =；3、依據(jù)數(shù)量積的定義完成以下問題(a與b是非零向量)。ft"(1) a _ b 二 ；(2) 若 a與 b 同向，貝U a b =；若 a 與b 反向，貝U a b =特別地，a ；(3) cos

3、 八；(4) |a b|a|b|。向量運算數(shù)學(xué)符號運算結(jié)果加法a +b向量減法mAa b向量數(shù)乘Zb向量問題6:向量運算中的加法、減法、數(shù)乘都有幾何意義，數(shù)量積運算有沒有幾何意義？問題7:投影是向量還是數(shù)量？其正、負(fù)、零由誰決定?問題8、你能從投影的角度解釋平面向量數(shù)量積的定義a b = |a|b|cos嗎?問題9、數(shù)量積作為一種運算，有怎樣的運算律呢？類比實數(shù)乘法運算律，寫出數(shù) 量積的運算律，并判斷對錯？運算律實數(shù)乘法平面向量數(shù)量積交換律ab = baa b = b a結(jié)合律(ab)c = a(bc)(a b) c = a (b c)rTfrr©a) b = a Qb) = Ma

4、b)分配律(a +b)c = ac +bc(a + b) c= a c + b c運算律平面向量數(shù)量積交換律8-f!> »a b = b a結(jié)合律fFTj(丸a)七=a Qb)=丸(a b)分配律(a + b) c = a c + b c（四）典例分析例1、證明:- 2 . .2 2 2(1) (a b)二 a 2a b b ； (2) (a b) (a - b)二 a - b 。例 2、已知 | a |=6 , |b|=4 , a與b 的夾角 v - 60，求(a 2b) (3b)例3、已知|a| = 3 , |b| = 4，且a與b不共線。k為何值時，向量a kb與a -k

5、b互相垂直？（五）鞏固練習(xí)1、判斷下列說法是否正確。（1）0 a= Oa ；（）（2）若a七=0，則a， b至少有一個為零向量；（）（3）若ab 0，則a與b的夾角為銳角；（）（4）若 a c 二 b c c = 0，貝U a = b。（）2、在等腰 ABC 中，AB = AC , BC = 4，則 ba BC 二。3、已知 |a|=6，|b|=4，a 與 b 的夾角）-60，求 |a-b|。（六）課堂小結(jié)今天你學(xué)到了什么？學(xué)生自主完成歸納小結(jié)，教師加以補充完善，同時形成本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)圖，并完 成思想方法的小結(jié)歸納。1 .平面向量數(shù)量積的定義：a b = |a |b |cos （a = 0,b = 0）2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）垂直 a _ 6 二 a b = 0 ； （ 2）長度 | a | = . a a = . a? ； （ 3）夾角 cost 二卄匕3 平面向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的長度|a|與b在a方向上的投 影| b |cosv的乘積。4 平面向量數(shù)量積的運算律（類比）：（1）交換律：a = b a ；（ 2）結(jié)合律：（ a） b = a （ b）二 a b ; （3）分配律：（a b） c = a c b c。（七）作業(yè)布置1、必