1.1從梯子的傾斜程度談起

1、第一章 直角三角形的邊角關系§ 1.1 從梯子的傾斜程度談起（第一課時）學習目標：1. 經歷探索直角三角形中邊角關系的過程理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系2. 能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單 的計算.學習重點：1. 從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關系2. 理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學意義，密切數(shù)學與生活的聯(lián)系 學習難點：理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.學習方法：引導一探索法.學習過程：一、生活中的數(shù)學問題：1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？2、生活問題數(shù)學化：AF如圖：梯子 AB和EF哪個更陡？你是

2、怎樣判斷的?B 2m C F 2.5m D以下三組中，梯子 AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的?第一組第二組第三組二、直角三角形的邊與角的關系（如圖，回答下列問題） Rt ABiC1和Rt AB2C2有什么關系？B1C1和B2C2有什么關系？AC 1 AC 2如果改變b2在梯子上的位置（如B3C3）呢？ 由此你得出什么結論 ？R三、例題：例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？例 2、在厶 ABC中，/ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求 tanA 和 tanB 的值.四、隨堂練習：1、如圖， ABC是等腰直角三角形，你能根據圖中所給數(shù)據求出tanC 嗎？

3、2、如圖，某人從山腳下的點 A走了 200m后到達山頂?shù)狞c B,已知點B到山腳的垂直距離為 55m,求山的坡度.（結0，貝U tan 0 =3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升 高米4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的一條對角線與菱形的一邊的夾角為5、如圖，Rt ABC是 一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12 m,它的坡角為洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1: 1.5的斜坡AD求DB的長.（結果保留根號）五、課后練習:1、 在 Rt ABC中,/ C=90 ,AB=3,BC=1,則 tanA=.2、在 ABC中,AB=10,AC=8,BC

4、=6,貝U tanA=.3、在 ABC中,AB=AC=3,BC=4,則 tanC=.4、 在 Rt ABC 中,ZC 是直角,/ A、/ B、/C 的對邊分別是 a、b、c,且 a=24,c= 25,求 tanA、tanB 的值.5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值56、如圖，在菱形ABCD中,AE丄BC于E,EC=1,tanB=,求菱形的邊長和四邊12形AECD勺周長.A處以20cm/s的速度向坡頂B處移動，則小37、已知：如圖，斜坡AB的傾斜角a,且tan a =一，現(xiàn)有一小球從坡底4球以多大的速度向上升高？8、探究：、a克糖水中有b克糖(a>b>0),則糖的

5、質量與糖水質量的比為 ;若再添加c克糖(c>0),則糖的質量與糖水的質量的比為.生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會更甜，請根據所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式：.、我們知道山坡的坡角越大，則坡越陡，聯(lián)想到課本中的結論：tanA的值越大，則坡越陡，我們會得到一個銳角逐漸變大時，它的正切值隨著這個角的變化而變化的規(guī)律，請你寫出這個規(guī)律：、如圖，在 Rt ABC中，/ B=90° ,AB=a,BC=b(a>b),延長 BA、BC,使 AE=CD=c,直線CA DE交于點F,請運用(2)中得到的規(guī)律并根據以上提供的幾何模型證明你 提煉出的不等式§ 1.1

6、從梯子的傾斜程度談起(第二課時)學習目標：1. 經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正弦和余弦的意義2. 能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3. 能根據直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算4. 理解銳角三角函數(shù)的意義. 學習重點：1. 理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明2. 能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比3. 能根據直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算學習難點 學習方法 學習過程用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切 探索交流法一、正弦、余弦及三角函數(shù)的定義 想一想：如圖(1)直角三角形ABC和直角三角形AB2C2有什么關系？AC A2C2BC BC2

7、 JAC!和 有什么關系？ BC!和一呢？BAiBA2BABA2、由圖討論梯子的傾斜程度與si nA和cosA的關系:如果改變A2在梯子AiB上的位置呢？你由此可得出什么結論？ 如果改變梯子 A1B的傾斜角的大小呢？你由此又可得出什么結論 請討論后回答三、例題：例！ 如圖，在 Rt ABC中，/ B=90°, AC= 2OO.sinA = 0.6，求 BC的長例2、做一做:如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°,1的結論嗎？請用一般式表達cosA = 12 , AC= 10, AB等于多少?si nB呢?cosB、si nA呢？你還能得出類似例13四、隨堂練習：1、在等腰

8、三角形 ABC中，AB=AC= 5, BC=6 求 sinB , cosB, tanB.42、在 ABC中，/ C= 90°, si nA =, BC=2Q求厶ABC的周長和面積513、在 ABC中./ C=90°,若 tanA= ，貝U sinA=.4、已知：如圖，CD是Rt ABC的斜邊AB上的高，求證：BC= AB - BD.（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明 ）五、課后練習:31、 在 Rt ABC中，/ C=90 ,tanA=-,貝U sinB=,tanB=492、 在 Rt ABC 中,/ C=90 ,AB=41,sinA=,貝U AC=,BC=4143、 在 ABC

9、 中,AB=AC=10,sinC=,貝U BC= .54、在 ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列結論正確的是 （）A. si nA= - B.cosA= 3C.ta nA=3 D.cosB=-5、如圖，在厶ABC中，/ C=90,si nA=ACB.C.35cosA= -5D.A 4m34D.5A.B.C.34547、在 ABC 中，zI C=90°,BC=5,AB=13,則si nA的值是A 5B12C5A.13'13126、Rt ABC 中，/ C=90 ,已知,那么tanA等于（）8、已知甲、乙兩坡的坡角分別為 a、3 ,若甲坡比乙坡更徒些 （）A.t

10、an a <tan 3 B.sin a <sin 3 ; C.cos a <cos 3125則下列結論正確的是D.cos a >cos 39、如圖，在Rt ABC中,CD是斜邊AB上的高，則下列線段的比中不等于 si nA的是（）CD B DBAC . CBC.CBD.ABCDCB10、某人沿傾斜角為3的斜坡前進100m,則他上升的最大高度是（）mA.100sin :B.100sin3 C.0D. 100coscos :11、如圖，分別求/ a , Z 3的正弦，余弦，和正切12、在厶 ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是 BC邊上的高,AD=4.求:CD,sin

11、C.13、在 Rt ABC中,/ BCA=90 ,CD 是中線，BC=8,CD=5.求 sin / ACD,cos/ ACD 和 tan / ACD.14、在 Rt ABC中,/ C=90 ,sinA 和cosB有什么關系415、如圖,已知四邊形 ABCD中,BC=CD=DB,ADB=90 ,cos / ABD= .5求：s ABD s BCD§ 1.2 30 °、45°、60 °角的三角函數(shù)值學習目標:1. 經歷探索302. 能夠進行303. 能夠根據3045 °、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關的推理45 °、6

12、0°角的三角函數(shù)值的計算.45°、60°的三角函數(shù)值說明相應的銳角的大小.進一步體會三角函數(shù)的意義學習重點:1. 探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值2.能夠進行含30°、45°、60 °角的三角函數(shù)值的計算3.比較銳角三角函數(shù)值的大小學習難點 學習方法 學習過程進一步體會三角函數(shù)的意義自主探索法一、問題引入問題為了測量一棵大樹的高度， 準備了如下測量工具： 含30 °和60°兩個銳角的三角尺；皮尺.請你設計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.二、新課問題1、觀察一副三角尺，其中有

13、幾個銳角？它們分別等于多少度？問題2、sin30 °等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流.問題3、cos30 °等于多少？tan30 °呢？45°、60°，它們的三角函數(shù)值分問題4、我們求出了 30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角一一 別是多少？你是如何得到的？結論:角度三角函數(shù)sin aco atan a30°45°60°例1計算:(1)si n30 ° +cos45(2)sin260° +cos260° -tan45例2 一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m,

14、當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.（結果精確到0.01 m）三、隨堂練習1.計算：（1）sin60 ° -tan45(2)cos60+tan60-sin45+sin60-2cos45sin 302 +1)-1+2sin30 ° -.8 ;(1+ . 2 )0- | 1-sin30 ° | 1+(丄)-1;2 sin60+ 11 -ta n6012-3-( . 2003+n ) 0-cos60 °.1 -V22.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30° .高為7 m，

15、扶梯的長度是多少？3如圖為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高AB= CD=30 m兩樓問的距離 AC=24 m現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當太陽光與水平線的夾角為30°時，求甲樓的影子在乙樓上有多高?（精確到0.1 m ,21.41 ,.31.73）四、課后練習：1、 Rt ABC 中，N A=60：c=8，貝U a=, b=；2、在 ABC中，若 c =2>/3,b =2,，貝U tanB =，面積 S=3、 在 ABC中，AC: BC= 1:3, AB= 6,Z B=, AC=BC=4、 等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2: , 3，則頂角為（）（A）600（ B）900（

16、C）1200（ D） 15005、 有一個角是30的直角三角形，斜邊為1cm，則斜邊上的高為（/A、1(A) _ cm41(B) cm2(C) 3 cm43(D)cm26、在:ABC 中，EC =90 ,若.B =2. A,則tanA等于（）(A)3(B)仝(C)1 (D -3227、如果/ a是等邊三角形的一個內角，那么cosa的值等于（）.(A -(B)丄(2(D) 12228、某市在“舊城改造”中計劃內一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草 皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要 （）.（A 450a 元（B） 225a 元（C） 150a 元（D） 300a 元、.

17、2 sin60°.3cos450、3cos60°5sin30° -19、計算：、sin2 60°+cos2 60°、sin 60” - 2sin 30 °cos30 “、sin30°cos2 45°、2cos45° +、sin2 45 - tan2 30、2sin2 30 tan30 亠 cos60 tan6010、請設計一種方案計算 tan 15 °的值。§ 1.4船有觸礁的危險嗎學習目標：1. 經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用2. 能夠把實際

18、問題轉化為數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能對結果的意義進行說明學習重點：1. 經歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用2. 發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力.學習難點：根據題意，了解有關術語，準確地畫出示意圖 學習方法：探索一一發(fā)現(xiàn)法學習過程：一、問題引入：海中有一個小島 A,該島四周10海里內有暗礁.今有貨輪由西向東航行， 開始在A島南偏西55°的B處，往 東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是如何想的？與同伴進行交流二、解決問題：1

19、、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進 50m至B處.測得仰角為60° .那么該塔有多高?（小明的身高忽略不計，結果精確到1 m）三、隨堂練習1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定,ED的長度為多少？CD與地面成40°夾角，且 DB= 5 m現(xiàn)再在C點上方2m處加固另2、某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°,已知原樓梯長為 4 m調整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結果精確到0.01 m）2.如圖，水庫大壩的截面是梯形 ABCD壩頂AD-6m,坡長CD= 8m.坡底B

20、C= 30m / ADC=135（1）求/ ABC的大?。海?）如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?（結果精確到0.01 m3）3 如圖，某貨船以 20海里/時的速度將一批重要物資由 A處運往正西方向的 B處，經16小時的航行到達，到 達后必須立即卸貨此時接到氣象部門通知，一臺風中心正以 40海里/時的速度由 A向北偏西60°方向移動, 距臺風中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均受到影響（1）問：B處是否會受到臺風的影響？請說明理由.（2）為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物?（供選用數(shù)據：2疋1.4 ,3疋1.7）四、課后練習：1. 有一攔水壩是等腰樓

21、形，它的上底是6米,下底是10米,高為2 3米,求此攔水壩斜坡的坡度和坡角2. 如圖，太陽光線與地面成 60°角，一棵大樹傾斜后與地面成36。角，這時測得大樹在地面上的影長約為10米,求大樹的長（精確到0.1米）.3. 如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN=30 ,點A處有一所學校，AP=160米，假設拖拉機行駛時，周圍 100米以內會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN的方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響 ？請說明理 由.4. 如圖，某地為響應市政府“形象重于生命”的號召 ，在甲建筑物上從點 A到點E掛一長為30米的宣傳條幅，在乙 建筑物的頂部D點測得條幅頂

22、端 A點的仰角為40°，測得條幅底端 E的俯角為26°，求甲、乙兩建筑物的水平距 離BC的長（精確到0.1米）.5. 如圖，小山上有一座鐵塔 AB,在D處測得點A的仰角為/ ADC=60,點B的仰角為/ BDC=45 ;在E處測得A的 仰角為/ E=30 ,并測得 DE=90米,求小山高BC和鐵塔高AB（精確到0.1米）.6. 某民航飛機在大連海域失事，為調查失事原因，決定派海軍潛水員打撈飛機上的黑匣子，如圖所示，一潛水員在A處以每小時8海里的速度向正東方向劃行 ，在A處測得黑匣子B在北偏東60° 的方向，劃行半小時后到達 C處,測得黑匣子B在北偏東30。的方向，

23、在潛水員 繼續(xù)向東劃行多少小時，距離黑匣子B最近,并求最近距離.7. 以申辦2010年冬奧會，需改變哈爾濱市的交通狀況 ，在大直街拓寬工程中，要 棵樹AB,在地面上事先劃定以 B為圓心,半徑與AB等長的圓形危險區(qū)，現(xiàn)在某工人 點3米遠的D處測得樹的頂點 A的仰角為60° ,樹的底部B點的俯角為30° ,如 問距離B點8米遠的保護物是否在危險區(qū)內 ？伐掉一 站在離B 圖所示，8. 如圖，某學校為了改變辦學條件，計劃在甲教學樓的正北方21米處的一塊空地上（BD=21米）,再建一幢與甲教學等高的乙教學樓（甲教學樓的高AB=20米）,設計要求冬至正午時，太陽光線必須照射到乙教學樓距

24、地面5米高的二樓窗口處，已知該地區(qū)冬至正午時太陽偏南，太陽光線與水平線夾角為30° ,試判斷：計劃所建的乙教學樓是否符合設計要求？并說明理由.相交成a角，如a9. 如圖，兩條帶子，帶子a的寬度為2cm,帶子b的寬度為1cm,它們 果重疊部分的面積為 4cnf,求a的度數(shù).1.5 測量物體的高度1.下表是小明同學填寫活動報告的部分內容：課題在兩岸近似平行的河段上測量河寬測量目 標圖示(CDA B測得數(shù)據/ CAD=60，AB=30m，/ CBD=45，/ BDC=90請你根據以上的條件，計算出河寬CD（結果保留根號）.2.下面是活動報告的一部分，請?zhí)顚憽皽y得數(shù)據”和“計算”兩欄中未完成

25、的部分課題測量旗桿高測量示意圖/EEa C3D測得數(shù)據測量項目第一次第二次平均值BD的長24.19m23.97m測傾器的高CD=1.23mCD=1.19m傾斜角a=31° 15'a=30° 45'a=31°計算旗桿高AB（精確到0.1m）3. 學習完本節(jié)內容后，某校九年級數(shù)學老師布置一道利用測傾器測量學校旗桿高度的活動課題，下表是小明同學填寫的活動報告，請你根據有關測量數(shù)據，求旗桿高AB（計算過程填在下表計算欄內，用計算器計算）.活動報告課題|利用測傾器測量學校旗桿的高測量示意圖AEEa CJD測量數(shù)據BD的長BD=20.00m:測傾器的高CD=1

26、.21m傾斜角a =28°計算旗桿高AB的計算過程(精確到0.1m)4.某市為促進本地經濟發(fā)展，計劃修建跨河大橋，需要測出河的寬度 AB,在河邊一座高度為300米的山頂觀測點D 處測得點A,點B的俯角分別為a =30°, 3 =60° ,求河的寬度(精確到0.1米)5. 為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數(shù)學應用實踐小組做了如下的探索：實踐一：根據自然科學中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如圖(1)的測量方案：把鏡子放 在離樹(AB)8.7(米)的點E處,然后沿著直線 BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.7米，觀察

27、者目高 CD=1.6米，請你計算 樹AB的高度(精確到0.1米)實踐二：提供選用的測量工具有：皮尺一根；教學用三角板一副；長為 2. 5米的標桿一根；高度為 1.5米的測角儀一架，請根據你所設計的測量方案，回答下列問題：(1) 在你設計的方案中，選用的測量工具是 .(2) 在圖(2)中畫出你的測量方案示意圖；(3) 你需要測得示意圖中哪些數(shù)據，并分別用a,b,c, a , 3等表示測得的數(shù)據.(4) 寫出求樹高的算式:AB=.(1)6. 在1:50000的地圖上，查得A點在300m的等高線上，B點在400m的等高線上，在地圖上量得 AB的長為2.5cm, 若要在A、B之間建一條索道，那么纜索至

28、少要多長？它的傾斜角是多少？(說明：地圖上量得的 AB的長,就是A,B兩點間的水平距離 AB ,由B向過A且平行于地面的平面作垂線,垂足為B',連接AB ,則/A即是纜索的傾斜角.)B400AC光線 太陽光D eBA 300 B6002、某水庫大壩的橫斷面是梯形,7、為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數(shù)學應用實踐小組做了如下的探索：實踐一：根據自然科學中的反射定律，利用一面鏡子和一 根皮尺，設計如右示意圖的測量方案：把鏡子放在離樹（AB 8.7米的點E處，然后沿著直線 BE后退到點D,這是恰好在鏡子里看到 樹梢頂點 A,再用皮尺量得 DE=2.7米，觀察者目高 CD=1.6米，請

29、 你計算樹（AB的高度.（精確到0.1米）實踐二：提供選用的測量工具有：皮尺一根；教學用三角板一副； 長為2.5米的標桿一根；高度為 1.5米的測角儀（能測量仰角、俯角的儀器） 一架。請根據你所設計的測量方案，回答下列問題：（1）在你設計的方案中，選用的測量工具是（用工 具的序號填寫）（2 ）在右圖中畫出你的測量方案示意圖；（3）你需要測得示意圖中的哪些數(shù)據，并分別用a、b、c、a等表示測得的數(shù)據：（4）寫出求樹高的算式：AB=第一章回顧與思考1、等腰三角形的一腰長為6cm，底邊長為6 ： 3cm，則其底角為（）C900 D1200A 900 B600C750D105033、女口圖，在矩形 A

30、BCD中, DEL AC 于 E,設/ADE=，且 cos :5的長為（）.AB = 4,貝U AD(A) 3(D)1654、在課外活動上，老師讓同學們做一個對角線互相垂直的等腰梯形其面積為450 cm2，則對角線所用的竹條至少需（）.（A） 30、一 2cm（ B） 30cm（C） 60cm（D） 60、一 2cm形狀的風箏,壩內斜坡的坡度i =1:、3 ,壩外斜坡的坡度i =1:1 ,則兩個坡角的和為（5、如果：是銳角，且sinSx亠cos2 35 = 1，那么：.=o.6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面6、 如圖，在坡度為1： 2的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是 距離是米.7、如圖,P是/ o（的邊OA上一點,且P點坐標為（3,4）,則sina =, coset =,二，如果測角儀高為1.5米.那8、支離旗桿20米處的地方用測角儀測得旗桿頂?shù)难鼋菫槊雌鞐U的有為米（用含二的三角比表示）.9、在Rt ABC中/Av/B, CM是斜邊AB上的中線，將. ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，那么/A等于度.10、 如圖，某公路路基橫斷面為等腰梯形.按工程設計要求路面寬度為10米，坡角為55，路基