中考中的費(fèi)馬點(diǎn)詳解加練習(xí)

1、皮耶·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）是一個(gè)17世紀(jì)的法國(guó)律師，也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶·德·費(fèi)馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據(jù)法文與英文實(shí)際發(fā)音也常譯為“費(fèi)爾瑪”（注意“瑪”字）。費(fèi)馬最后定理在中國(guó)習(xí)慣稱為費(fèi)馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實(shí)了，這是最后一個(gè)。著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾（E. T. Bell）在20世紀(jì)初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費(fèi)馬為”業(yè)余數(shù)學(xué)家之王?！柏悹柹钚?，費(fèi)馬比皮耶·德·費(fèi)馬同時(shí)代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，然而皮耶·德

2、83;費(fèi)馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，因而貝爾認(rèn)為費(fèi)馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星。費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬(wàn)杰利斯塔·托里拆利（氣壓計(jì)的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個(gè)問(wèn)題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問(wèn)題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問(wèn)題。這一問(wèn)題的解決極大推動(dòng)了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義?！百M(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最

3、短的點(diǎn)。若給定一個(gè)三角形ABC的話，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)算起的都要小。這個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每個(gè)給定的三角形都只有一個(gè)。1. 若三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。2. 若三角形有一內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。在1的條件下畫圖找費(fèi)馬點(diǎn)如圖以任意兩邊為邊向兩邊做等邊三角形ABD和等年三角形ACE，則CD,BE交點(diǎn)P即為所求2若在120°的鈍角三角形中，其頂點(diǎn)即是。

4、另外，當(dāng)剛好120°,且三角形BCD為等邊三角形時(shí)，有個(gè)結(jié)論：AD=AB+AC我們拓展一道幾何題，第二問(wèn)對(duì)很多學(xué)生或者老師還是很酥爽的。圖12011房山一摸2009石景山25（本小題滿分7分）已知：等邊三角形ABC如圖1，P為等邊ABC外一點(diǎn)，且BPC=120°試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想；圖2（2）如圖2，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APD=120° 求證：PA+PD+PCBD 我們回到正題：費(fèi)馬點(diǎn)25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，為的中線，過(guò)、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；

5、（2）等邊的頂點(diǎn)、在線段上，求及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng). 2013房山一摸24（1）如圖1，ABC和CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點(diǎn)P，求證：BE=AD（2）如圖2，在BCD中，BCD120°，分別以BC、CD和BD為邊在BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P，下列結(jié)論中正確的是 （只填序號(hào)即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60°；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE29.

6、閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在ABC（其中BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求AP的最大值。 小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接AA,當(dāng)點(diǎn)A落在AC上時(shí),此題可解（如圖2）(1)請(qǐng)你回答：AP的最大值是 (2)參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題： 如圖3，等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，請(qǐng)寫出求AP+BP+CP的最小值長(zhǎng)的解題思路. 提示:要解決AP+BP+CP的最小值問(wèn)題，可仿照題目給出的做法.把ABP繞B點(diǎn)

7、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到. 請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形 請(qǐng)寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）.2016一月昌平28. 已知，點(diǎn)O是等邊ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC.（1） 如圖1，已知AOB=150°，BOC=120°，將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得ADC. DAO的度數(shù)是 ；用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2） 設(shè)AOB=，BOC=.當(dāng)，滿足什么關(guān)系時(shí)，OA+OB+OC有最小值？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出符合條件的圖形，并說(shuō)明理由；若等邊ABC的邊長(zhǎng)為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值.2017年一月昌平29如圖1，在

8、ABC中，ACB=90°，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)（1）連接PB，PC，將BCP沿射線CA方向平移，得到DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A，E，連接CE 依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形； 如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的長(zhǎng)（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為CP+PM+MN的值，連接CN，當(dāng)點(diǎn)P落在CN上時(shí)，此題可解請(qǐng)你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時(shí)，PA+PB+PC的最小值延伸一

9、下2017年一月海淀28在ABC中，AB=AC，BAC=，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且連接PB，試探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系圖1 圖2（1）當(dāng)=60°時(shí)，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，如圖1所示由可以證得是等邊三角形，再由可得APC的大小為 度，進(jìn)而得到是直角三角形，這樣可以得到PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為 ；（2）如圖2，當(dāng)=120°時(shí)，請(qǐng)參考（1）中的方法，探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；（3）PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為 2016年順義一摸28已知：在ABC中，BAC=60°（1） 如圖1，若AB=AC，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且APC=150°，PA=3，PC=4，把APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，得到ADB，連接DP 依題意補(bǔ)全圖1； 直接寫出PB的長(zhǎng)；（2） 如圖2，若AB=AC，點(diǎn)P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度數(shù)；（3） 如圖3，若AB=2AC，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，APC=120°，請(qǐng)直接寫出PC的長(zhǎng) 26、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60