中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題利用旋轉(zhuǎn)巧解題

1、利用旋轉(zhuǎn)巧解題 在解幾何問(wèn)題時(shí)，合理使用旋轉(zhuǎn)法，能把分散的線(xiàn)段或角相對(duì)集中在一個(gè)熟悉的基本圖形中，從而促使問(wèn)題的解決.下面舉例介紹利用旋轉(zhuǎn)法解各類(lèi)競(jìng)賽題，供參考. 一、三角形內(nèi)的旋轉(zhuǎn) 例1 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖1，是等邊三角形內(nèi)部一點(diǎn)，的大小之比是，則以為邊的三角形的三個(gè)角的大小(從小到大)之比是( )(A) (B) (C) (D)不確定 簡(jiǎn)析 由于沒(méi)有構(gòu)成三角形，則需作輔助線(xiàn)構(gòu)造以它們?yōu)檫叺娜切?，可以將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)60º，就是以為邊的三角形. 解 是等邊三角形，將繞點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)60º得.則是等邊三角形，.而，就是以為邊的三角形.，的大小之比是為邊的三角形的三個(gè)角的大

2、小之比是. 二、四邊形內(nèi)的旋轉(zhuǎn) 例2 (2019年全國(guó)初二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖2，梯形中，點(diǎn)在上.若，則( ). (A)56 (B) 58 (C)60 (D) 62 簡(jiǎn)析 由，可得四邊形是正方形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)得. 在中，由勾股定理列出方程，求得的長(zhǎng). 解 過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90º至，則由題意可得為正方形.由，得又由， 設(shè)， 則，在中，有，即. 例3 (廣東省競(jìng)賽題)如圖3，已知正方內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到、三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng). 簡(jiǎn)析 本題的關(guān)鍵是確定最小值時(shí)點(diǎn)的位置，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，把集中起來(lái)，可使問(wèn)題得證. 解 將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60º，得，連，則為等邊三角形， 即. 為定長(zhǎng)， 當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)落在上時(shí)， 的最小值為, 即. 作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于. 設(shè)，在中，由, 得或 (舍去)， 即正方形的邊長(zhǎng)為2. 三、五邊形內(nèi)的旋轉(zhuǎn) 例4 (北京市競(jìng)賽題) 如圖4，已知五邊形中，求證:. 簡(jiǎn)析 要證，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)得是等邊三角形，得. 證明 將以為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，落在位置，則 由, 又, ,. 又, 四、六邊形內(nèi)的旋轉(zhuǎn) 例5 (北京大學(xué)自主招生試題)如圖5,已知六邊形中，,.求證: 的面積是六邊形面積的一半.簡(jiǎn)析 要得到的面積