函數(shù)【概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)】

1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)函數(shù)一映射 f : ab 的概念。在 理解映射概念時(shí)要注意： 中元素必須都有象且唯一；b 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1） 設(shè) f : mn 是集合 m 到 n 的映射，下列說法正確的是a、 m 中每一個(gè)元素在 n 中必有象b、n 中每一個(gè)元素在 m 中必有原象c、n 中每一個(gè)元素在 m中的原象是唯一的d、 n 是 m 中所在元素的象的集合（2） 點(diǎn)( a,b)在映射 f 的作用下的象是 (a點(diǎn) b,ab) ，則在 f 作用下點(diǎn)（答： a ）；(3,1) 的原象為（3） 若 a1,2,3,4 ， b（答：（ 2， 1） ； a,b,c ，

2、 a,b,cr ，則 a 到 b 的映射有個(gè)， b 到 a 的映射有個(gè)， a 到b 的函數(shù)有個(gè)（答： 81,64,81 ）；（ 4） 設(shè)集合 m1, 0,1,n1, 2, 3, 4,，5 映射f : mn 滿足條件“對任意的x m ， xf(x)是奇數(shù)”，這樣的映射 f 有 個(gè)2（答： 12）；（5）設(shè) f : xx 是集合 a 到集合 b 的映射，若 b=1,2 ，則 ab 一定是 （答：或1 ）.二函數(shù) f : a b 是特殊的映射 。特殊在定義域 a和值域 b 都是非空數(shù)集 ！據(jù)此可知函數(shù)圖像與 x 軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)， 但與 y 軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有， 也可能有任意個(gè)。 如：（

3、1） 已知函數(shù)f ( x) ， xf ，那么集合 (x, y) | yf ( x), xf(x, y) | x1 中所含元素的個(gè)數(shù)有個(gè)（答： 0 或 1）；（2） 若函數(shù) y1 x 222x4 的定義域、值域都是閉區(qū)間 2,2b ，則 b （答： 2）三同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義 域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為同一函數(shù) 。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為y x2 ，值域?yàn)?4 ， 1 的“天一函數(shù)”共有個(gè)（答： 9）四求函數(shù)定義域的常用方法（在

4、研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1） 根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)loga x 中x0, a0 且a1 ，三角形中 0a,最大角，最小角等。如33（1） 函數(shù) yx 4lg xx2 的定義域是 3(答： (0,2)(2,3)(3,4) )；（2） 若函數(shù) ykx2kx74kx3的定義域?yàn)?r，則k (答：0, 3) ；4（3） 函數(shù)f (x)的定義域是 a, b ， ba0 ，則函數(shù)f (x)f (x)f (x) 的定義域是 (答： a,a )；（4） 設(shè)函數(shù)f ( x)lg(ax22x1)，若f (x)的定義域是 r，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；若 f(

5、x) 的值域是 r，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答： a1 ； 0a1 ）（2） 根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3） 復(fù)合函數(shù)的定義域： 若已知f (x) 的定義域?yàn)?a, b ,其復(fù)合函數(shù)f g( x) 的定義域由不等式ag( x)b 解出即可；若已知f g( x) 的定義域?yàn)?a, b ,求f ( x) 的定義域，相當(dāng)于當(dāng)x a, b 時(shí)，求g( x) 的值域（即f (x) 的定義域）。如（1） 若函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)? ,2，則2f (log 2x) 的定義域?yàn)?（答： x |2x4 ）；（2） 若函數(shù)f (x21)的定義域?yàn)?2,1) ，則函數(shù)f ( x) 的定義域?yàn)?

6、（答： 1,5 ）五求函數(shù)值域（最值）的方法：1. 配方法 二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間m,n 上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)） ，對稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求 二次函數(shù)的最值問題， 勿忘數(shù)形結(jié)合 ，注意“ 兩看 ”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān) 系），如（1） 求函數(shù)yx22x5, x 1,2的值域（答： 4,8 ）；（2） 當(dāng) x值范圍是 (0,2 時(shí)，函數(shù)f ( x)ax 24(a1) x3在 x2 時(shí)取得最大值，則 a 的?。ù穑?a1 ）；2（3） 已知域?yàn)?f (x)3x b (2x4) 的圖象過點(diǎn)（ 2,1），則 f ( x) f1 (x

7、)2f 1( x2 ) 的值（答： 2, 5 ）2. 換元法 通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1） y2sin 2 x3cos x1的值域?yàn)?（答： 4, 17 ）；8（2） y2x1x1 的值域?yàn)?（答： (3,) ）（3） ysin xcos xsin xcos x 的值域?yàn)?（答： 1, 122 ）；（4） yx49x2的值域?yàn)?（答： 1,324 ）；3. 函數(shù)有界性法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)y2sin1 ， y1sin3x1

8、3x， y2sin1 的值域1cos（答：13(, 、（0,1）、(, ）；22x54. 單調(diào)性法 利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求 yx1 (1xx9) ， y2sinx92， y1 sinx2 log3x1 的值域（答：(0, 80 ) 、11 ,9、2,10 ）；925. 數(shù)形結(jié)合法 函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等， 如（1） 已知點(diǎn)p(x, y) 在圓 x2y21上，求y及 y x22 x 的取值范圍（答： 3 ,3 、5,5 ）；（2） 求函數(shù) y(x2) 2(x8)2的值域33（答： 10,) ）；（3） 求函數(shù)yx2

9、6 x13x24x5 及 yx26x13x24x5 的值域（答： 43,) 、(26,26) ）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在 x 軸的同側(cè)。6. 判別式法 對分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：b ykx2型，可直接用不等式性質(zhì)， 如3求 y2x2 ybx的值域型，先化簡，再用均值不等式， 如3（答：(0, ）2x2（1） 求 ymxn x的值域1x2（答：, 1 ）；(2（2） 求函數(shù) yx2 的值域x3（答：

10、10, ）2x2 y2m xn型，通常用判別式法； 如xmxnmx28xn已知函數(shù) ylog 32x1的定義域?yàn)?r，值域?yàn)?0， 2，求常數(shù)m, n 的值x2m xn ymxn型，可用判別式法或均值不等式法， 如（答： mn5 ）x2x求 yx11 的值域（答： (,31,) ）7. 不等式法 利用基本不等式 ab2 ab ( a, br) 求函數(shù)的最值，其題型特征解析2式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 如設(shè)x, a1, a2, y 成等差數(shù)列，x,b1, b2, y 成等比數(shù)列，則(a1a2 ) b1b2的取值范圍是 .（答：

11、(,04,) ） 。8. 導(dǎo)數(shù)法一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)， 如求函數(shù)f (x)2x34x240x ， x3,3的最小值。（答： 48）提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（ 2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？六分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值 f ( x0 ) 時(shí)，一定首先要判斷 x0 屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1） 設(shè)函數(shù)f ( x)( x1)2.( x1)，則使得f ( x)1 的自

12、變量 x的取值范圍是 4x1.(x1)1( x0)（答： (,20,10 ）；（2） 已知f ( x)1(x，則不等式 x0)( x2)f ( x2)5 的解集 (七求函數(shù)解析式的常用方法：（答：, 3 ）21. 待定系數(shù)法 已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：f (x)ax2bxc ；頂點(diǎn)式：f ( x)a( xm)2n ；零點(diǎn)式：f ( x)a(xx1)( xx2 ) ，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知 f ( x) 為二次函數(shù)，且f ( x2)f (x2) ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 22 , 求f (x) 的解析式

13、 。（答：f ( x)1 x222x1 ）2. 代換（配湊）法 已知形如f ( g( x)的表達(dá)式，求f (x) 的表達(dá)式。 如（1） 已知f (1cosx)sin 2 x, 求 f x的解析式2（答：f ( x2)x42x2, x2,2 ）；（2） 若f ( x1 ) xx 21x 2，則函數(shù)f ( x1) = （答：x22x3 ）；（3） 若函數(shù)f (x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x(0,) 時(shí)，f ( x)x(13 x) ，那么當(dāng) x(,0) 時(shí)，f ( x) = （答：x(13 x) ）.這里需值得注意 的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即值域。f ( x) 的定義域應(yīng)是g (x

14、) 的3. 方程的思想 已知條件是含有f ( x) 及另外一個(gè)函數(shù)的等式， 可抓住等式的特征對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于f ( x) 及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。 如（1） 已知f ( x)2 f (x)3 x2 ，求f (x) 的解析式（答：f (x)3x2 ）；3（2） 已知f (x) 是奇函數(shù)，g ( x)是偶函數(shù)，且f (x) + g( x) =1,則x1f ( x) =_八反函數(shù)：（答：xx21 ）。1. 存在反函數(shù)的條件 是對于原來函數(shù) 值域中的任一個(gè) y 值，都有唯一的 x 值與之對應(yīng) ，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。 如f (x)0(

15、 x0)有反函數(shù)；函數(shù) yx22ax3 在區(qū)間1, 2上存在反函數(shù)的充要條件是a 、 a,1b、 a2,c 、 a1,2d 、 a,12,（答： d）2. 求反函數(shù)的步驟：反求 x ；互換x 、 y ；注明反函數(shù)的定義域（原來函數(shù)的值域）。注意函數(shù)yf ( x1) 的反函數(shù)不是yf 1 ( x1) ，而是 yf1 (x)1 。如設(shè) f (x)( x1)2(xx0) .求f ( x)的反函數(shù)f1(x)（答：f 1( x)1( xx11) ）3. 反函數(shù)的性質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)f ( x) 滿足條件f (ax3) = x ，其中 a 0

16、，若f ( x) 的反函數(shù) f1 (x) 的定義域?yàn)? , 4aa，則 f ( x) 的定義域是 （答： 4,7）.函數(shù)yf (x) 的圖象與其反函數(shù)yf 1( x) 的圖象關(guān)于直線 yx 對稱， 注意函數(shù)yf ( x) 的圖象與 xf1( y) 的圖象相同。 如（1） 已知函數(shù)yf ( x) 的圖象過點(diǎn) (1,1),那么 f4x 的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) _（答：（ 1,3） ；（2） 已知函數(shù)f ( x)2 x3 ，若函數(shù)x1yg( x) 與 yf1( x1) 的圖象關(guān)于直線 yx對稱，求g (3) 的值（答： 7 ）；2 f (a)bf 1(b)a 。如（1） 已知函數(shù)f ( x)4lo

17、g 3 (x2) ，則方程f1 ( x)4 的解 x （答：1）；（2） 設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1,2）對稱，且存在反函數(shù)f 1(x) ，f (4)0，則 f1(4)（答： 2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如1已知 fx 是 r上的增函數(shù)， 點(diǎn) a1,1 , b1,3在它的圖象上，f 1x 是它的反函數(shù)， 那么不等式flog2 x1的解集為 （答：（ 2,8） ；設(shè) f ( x) 的定義域?yàn)?a，值域?yàn)?b，則有f f1(x)x(xb) ， f1 f( x)x( xa) ，但f f1( x)f 1f ( x) 。九 函數(shù)的奇偶性 。1. 具有奇偶性的函數(shù)的 定義域

18、的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。如若函數(shù)值是f (x)2sin(3 x) ， x25 ,3 為奇函數(shù)，其中(0,2) ，則的（答： 0）；2. 確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：定義法： 如判斷函數(shù) y| x4 |4 的奇偶性 （答：奇函數(shù)）。9x2利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：f (x)f (x)0 或 f (x)1（f ( x)0 ）。如判斷 f ( x)x(11 ) 的奇偶性 .（答：偶函數(shù)）f (x)2 x12圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱。3.

19、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).若 f ( x) 為偶函數(shù)，則f (x)f ( x)f (| x |) . 如若定 義在 r上的 偶函 數(shù)f (x)在 (,0) 上是減 函數(shù) ， 且f ( 1)3=2 ， 則 不等 式f ( l o g1 x)82的解集為.（答： (0,0.5)(2,) ）若奇函數(shù)f ( x) 定義域中含有 0，則必有f (0)0 . 故f (0)0 是f ( x) 為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。 如若 f (x)a

20、83;2 xax2 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a （答： 1） .21定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。如設(shè) f ( x) 是定義域?yàn)?r 的任一函數(shù)，f ( x)f ( x)f ( 2x) ，g(x)f ( x)f (2x) 。判斷f ( x) 與g( x) 的奇偶性； 若將函數(shù)f ( x)lg(10x1) ，表示成一個(gè)奇函數(shù)g( x)和一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，則g( x) （答：f ( x) 為偶函數(shù)，g(x) 為奇函數(shù)；g(x) 1 x ）2復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是： “內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外 ”.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（ 十 函數(shù)的單調(diào)性 。f

21、 ( x)0 ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個(gè)數(shù)集）.1. 確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用： 定義法（取值作差變形定號(hào)） 、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間 ( a, b)內(nèi)，若總有f (x)0 ，則f ( x) 為增函數(shù)；反之，若f ( x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)為增函數(shù)，則f ( x)0 ，請注意兩者的區(qū)別 所在。 如已知函數(shù)f ( x)x3ax 在區(qū)間 1,) 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ( 答： (0,3 ）) ；在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意yaxb ( a0 xb0) 型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(,b ,b ,) ，減區(qū)間為

22、aab ,0),(0,b . 如aa（1） ）若函數(shù) f ( x)x22(a1)x2在區(qū)間（， 4上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( 答： a3 ）) ；（2） ） 已知函數(shù)f ( x)ax1 在區(qū)間2,上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 x2（答：1(,) ）； 2（3） ） 若函數(shù) fx是 alog ax4xa0, 且a1 的值域?yàn)?r，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍( 答： 0a4 且a1 ）) ；復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減 ， 如函數(shù) ylog 12x22x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( 答：（ 1,2 ）) 。2. 特別提醒： 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域， 如若函數(shù)f (

23、x)log ( x2ax3) 在區(qū)間aa(,2上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍（答： (1,23) ）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào) “ ” 和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示3. 你注意到函數(shù) 單調(diào)性與奇偶性的逆用 了嗎?（比較大??；解不等式；求參數(shù)范圍）. 如已知奇函數(shù)f (x)是定義在 (2,2)上的減函數(shù) , 若f (m1)f (2m1)0 ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。（答：1m2 ）23十一 常見的圖象變換1. 函數(shù) y得到的。 如f xa (a0) 的圖象是把函數(shù) yf x 的圖象沿 x軸向左平移 a 個(gè)單位設(shè) f (x)2x , g( x)的圖像與f

24、 ( x) 的圖像關(guān)于直線 yx 對稱，h( x) 的圖像由g (x) 的圖像向右平移 1 個(gè)單位得到，則h(x) 為 (答：h( x)log 2( x1) )2. 函數(shù) yf xa( (a0) 的圖象是把函數(shù) yf x 的圖象沿 x 軸向右平移 a 個(gè)單位得到的。 如（1） 若f ( x199)4x24x3 ，則函數(shù)f (x) 的最小值為 (答： 2)；（2） 要得到 ylg( 3x) 的圖像， 只需作ylg x 關(guān)于軸對稱的圖像， 再向 平移 3 個(gè)單位而得到(答： y ；右)；（3） 函數(shù)f ( x)x lg( x2)1的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有 個(gè)(答： 2)3. 函數(shù) y得到的；4

25、. 函數(shù) y得到的； 如f x + a (afx + a (a0) 的圖象是把函數(shù) y0) 的圖象是把函數(shù) yf x 助圖象沿 y 軸向上平移 a 個(gè)單位fx 助圖象沿 y 軸向下平移 a 個(gè)單位將函數(shù) yba 的圖象向右平移 2 個(gè)單位后又向下平移 2 個(gè)單位,所得圖象如果xa與原圖象關(guān)于直線 yx 對稱,那么( a)a1, b0(b)a1,br(c) a1,b0( d )a0, br5. 函數(shù) y的。如f ax (a0) 的圖象是把函數(shù) yf x 的圖象沿 x 軸伸縮為原來的(答： c)1 得到a（1） 將函數(shù)yf ( x) 的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再將此3圖像沿

26、 x 軸方向向左平移 2 個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為 (答：f (3 x6) )；（2） 如若函數(shù)yf (2 x1) 是偶函數(shù)，則函數(shù)yf (2 x) 的對稱軸方程是 (答： x1 )26. 函數(shù) y到的.af x (a0) 的圖象是把函數(shù) yf x 的圖象沿 y 軸伸縮為原來的 a 倍得十二 函數(shù)的對稱性 。1. 滿足條件 fxafbx 的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 xab 對稱。 如2已知二次函數(shù)f (x)ax 2bx(a0) 滿足條件f (5x)f (x3) 且方程f (x)x 有等根，則f ( x) (答：1 x22x )；2. 點(diǎn) ( x,y) 關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為 (x, y) ；函數(shù)

27、 yf x 關(guān)于 y 軸的對稱曲線方程為yfx ；3. 點(diǎn) ( x,y) 關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn)為 (x,y) ；函數(shù) yf x 關(guān)于 x 軸的對稱曲線方程為yf x ；4. 點(diǎn) ( x,y) 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 (x,y) ；函數(shù) yf x 關(guān)于原點(diǎn)的對稱曲線方程為yfx ；5. 點(diǎn) ( x,y) 關(guān)于直線 yxa 的對稱點(diǎn)為 ( ya),xa) ；曲線f (x,y)0 關(guān)于直線 yxa 的對稱曲線的方程為f ( ya),xa)0 。特別地， 點(diǎn) (x, y) 關(guān)于直線 yx的對稱點(diǎn)為 ( y, x) ；曲線f (x, y)0 關(guān)于直線 yx 的對稱曲線的方程為f ( y, x)0 ；點(diǎn) (x

28、,y) 關(guān)于直線 yx 的對稱點(diǎn)為 (y,x) ；曲線f ( x, y)0 關(guān)于直線 yx 的對稱曲線的方程為f (y,x) 0 。如己知函數(shù)f (x)x33,( x) , 若 yf ( x1) 的圖像是c1, 它關(guān)于直線 yx 對稱圖2 x32像是 c2, c2 關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像為 c3 ,則c3對應(yīng)的函數(shù)解析式是 （答： yx2 ）；2 x16. 曲線f ( x,y)0 關(guān)于點(diǎn) ( a, b) 的對稱曲線的方程為f (2 ax,2 by)0 。如若函數(shù) yx 2x與 yg( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ -2 ，3）對稱，則g( x) （答：x27 x6 ）7. 形如 yaxb (ccxd0,a

29、dbc) 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線xd ( 由c分母為零確定 ) 和直線 ya ( 由分子、分母中 x 的系數(shù)確定 ) ，對稱中心是點(diǎn) ( cd , a) 。如c c已知函數(shù)圖象 c 與c: y(xa1)axa21關(guān)于直線 yx 對稱，且圖象 c 關(guān)于點(diǎn)（2， 3）對稱，則 a 的值為 （答： 2）8 |f ( x) |的圖象先保留f ( x) 原來在 x 軸上方的圖象，作出 x 軸下方的圖象關(guān)于 x 軸的對稱圖形，然后擦去x 軸下方的圖象得到；f (| x |) 的圖象先保留f ( x)在 y 軸右方的圖象，擦去 y 軸左方的圖象，然后作出 y 軸右方的圖象關(guān)于 y 軸的對稱圖形得

30、到。 如（1） 作出函數(shù) y| log 2 ( x1) | 及 ylog2 | x1| 的圖象；（2） 若函數(shù) 對稱f ( x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，則函數(shù)f ( x)f ( x)f ( x ) 的圖象關(guān)于（答： y 軸）提醒：（ 1）從結(jié)論可看出，求對稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對稱問題； （2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上； （3）證明圖像 c1 與c2 的對稱性， 需證兩方面 ：證明 c1 上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心 （對稱軸） 的對稱點(diǎn)仍在c2 上；證明c2 上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在 c1 上。如

31、（1） 已知函數(shù)心對稱圖形；f ( x)x1a (a axr) 。求證：函數(shù)f ( x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)m (a,1) 成中（2） 設(shè)曲線 c 的方程是yx3x ,將 c 沿 x 軸,y 軸正方向分別平行移動(dòng)t , s 單位長度后得曲線c1 。寫出曲線c1 的方程（答： y( xt )3( xt)s）；證明曲線 c 與c1 關(guān)于點(diǎn) at , s22對稱。十三 函數(shù)的周期性 。1. 類比“三角函數(shù)圖像”得 ：若周期為 tyf ( x) 圖像有兩條對稱軸2 | ab | ；x a, xb(ab) ，則y f ( x) 必是周期函數(shù)，且一若 yf ( x) 圖像有兩個(gè)對稱中心a( a,0),b(b,0

32、)( ab)，則yf ( x) 是周期函數(shù)，且一周期為 t2 | ab | ；如果函數(shù)yf ( x) 的圖像有一個(gè)對稱中心a(a, 0) 和一條對稱軸xb( ab) ，則函數(shù)yf ( x) 必是周期函數(shù)，且一周期為 t4 | ab | ；如已知定義在 r 上的函數(shù)f ( x) 是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程f (x)0 在2, 2 上至少有個(gè)實(shí)數(shù)根（答： 5）2. 由周期函數(shù)的定義 “函數(shù)函數(shù)” 得：f ( x) 滿足 f xf ax (a0) ，則f ( x)是周期為 a 的周期函數(shù)f ( x) 滿足fxf ax，則 f ( x) 是周期為 2a 的周期函數(shù)；若 f ( xa)1(a f

33、( x)0) 恒成立，則 t2a ；若 f ( xa)1(a f ( x)0) 恒成立，則 t2a .如(1)設(shè)f (x) 是(,) 上的奇函數(shù)，f (x2)f ( x) ，當(dāng) 0x1 時(shí)，f ( x)x ，則 f (47.5) 等于 (答：0.5)；(2) 定義在 r 上的偶函數(shù)f ( x) 滿足f ( x2)f (x)，且在3,2 上是減函數(shù)， 若 ,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f (sin),f (cos) 的大小關(guān)系為 _(答：f (sin)f (cos) )；（3） ） 已知f (x) 是偶函數(shù)，且f (1) =993， g (x) =f ( x1) 是奇函數(shù)，求f (2005) 的值

34、(答：993)；（ 4 ） 設(shè) fx是 定 義 域 為 r的 函 數(shù) ， 且 fx21fx1fx， 又f222，則 f2006 =(答： 22 )2a，ma十四 指數(shù)式、對數(shù)式 ：mma nn am ， a n1a 01 ， log 10 ， log a an1 ， lg 2lg51， log e xln x ，abn如logan b( a0,a1, n0) ， a log a nn ， log a blogc b logc a， log am bn logb 。mna（1） log 2 25 log3 4 log5 9 的值為 (答： 8)；（2）( 1 )log22 8 的值為 (答： 1

35、 )64十五 指數(shù)、對數(shù)值的大小比較 ：（1） ）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2） ）作差或作商法；（3） ）利用中間量（ 0 或 1）；（4） ）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。十六 函數(shù)的應(yīng)用 。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：審題認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；建模通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域 ； 解模求解所得的數(shù)學(xué)問題；回歸將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去。（ 2）常見的函數(shù)模型有：建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；建立分段函數(shù)模型；建立指數(shù)函數(shù)模型；建立yaxb 型。x十七抽象函數(shù) ：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：1. 借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)