理論力學(xué)第三章習(xí)題課件

1、第三章習(xí)題 ( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22) 3.1 半徑為的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均質(zhì)棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端則在碗外，在碗內(nèi)的長度為，試證棒的全長為3.1解 如題3.1.1圖。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。棒與水平方向的夾角為。設(shè)棒的長度為。 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零。沿過點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。即： 由式得：又由于即將代入得： 3.6把分子看作相互間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，試決定以下兩種情況下分子的中心主轉(zhuǎn)動慣量：二原子分子。它們的質(zhì)量是，距離是。形狀為等腰三角形的三原子分子，三角

2、形的高是，底邊的長度為。底邊上兩個原子的質(zhì)量為，頂點(diǎn)上的為。 3.6解 （a）取二原子的連線為軸，而軸與軸通過質(zhì)心。為質(zhì)心，則，軸即為中心慣量主軸。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（如題3.6.2圖）故且 由得所以中心慣量主軸：（b）如題3.6.3圖所示，該原子由、三個原子構(gòu)成。為三個原子分子的質(zhì)心。由對稱性可知，圖中、軸即為中心慣量主軸。設(shè)、三原子的坐標(biāo)分別為，因?yàn)闉榉肿拥馁|(zhì)心。所以=又由于由得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動慣量3.7如橢球方程為試求此橢球繞其三個中心主軸轉(zhuǎn)動時的中心主轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)此橢球的質(zhì)量為，并且密度是常數(shù)。3.7解 如題3.7.1圖所示。沿軸平行于平切橢球得切面為一橢圓，則該橢圓方程為

3、： 可求該切面的面積故積分同理可求 故中心主轉(zhuǎn)動慣量：又由于橢球體積故將代入得：3.9立方體繞其對角線轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑為試證明之。式中為對角線的長度。3.9解 如題3.9.1圖所示坐標(biāo)系。為正方體中心。、分別與正方體的邊平行。由對稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。設(shè)正方體的邊長為。設(shè)為平行于軸的一小方條的體積，則正方體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量根據(jù)對稱性得易求正方體的對角線與、軸的夾角都為。且故正方體繞對角線的轉(zhuǎn)動慣量又由于繞對角線的回轉(zhuǎn)半徑由得 3.10一均質(zhì)圓盤，半徑為，放在粗糙水平桌上，繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，開始時的角速度為。已知圓盤與桌面的摩擦系數(shù)為，問經(jīng)過多少時間后盤將靜止？3.10解

4、 如題3.10.1圖。軸過點(diǎn)垂直紙面向外。均質(zhì)圓盤的密度為。設(shè)盤沿順時針轉(zhuǎn)動，則沿的方向有即為轉(zhuǎn)盤繞軸的轉(zhuǎn)動慣量：（為盤的質(zhì)量）， （為盤轉(zhuǎn)動的角頻率，負(fù)號因?yàn)橐?guī)定順時針轉(zhuǎn)動）=由得又因?yàn)楣仕缘?3.12矩形均質(zhì)薄片，邊長為與，重為，繞豎直軸以初角速轉(zhuǎn)動。此時薄片的每一部分均受到空氣的阻力，其方向垂直與薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)為。問經(jīng)過多少時間后，薄片的角速減為初角速的一半？3.12解 如題3.12.1圖，第3.12.1圖坐標(biāo)與薄片固連，則沿軸方向有： 且現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域 ，該區(qū)域受到的阻力對軸的力矩 所以又薄片對軸的轉(zhuǎn)動慣量 由得：當(dāng)時，3.13一段半徑為

5、已知的均質(zhì)圓弧，繞通過弧線垂直的軸線擺動。求其作微振動時的周期。3.13解 如題3.13.1圖所示，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于圓弧最頂點(diǎn)。設(shè)圓弧平衡時，質(zhì)心的坐標(biāo)為。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對于軸的轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)很小時，代入上式得：圓弧上對應(yīng)轉(zhuǎn)角為的一小段圓弧的坐標(biāo)為質(zhì)心的縱坐標(biāo)上式中為圓弧的線密度 又其中，將代入得解式得通解微振動周期3.20質(zhì)量為半徑為的均質(zhì)圓柱體放在粗糙水平面上。柱的外面繞有輕繩，繩子跨過一個很輕的滑輪，并懸掛一質(zhì)量為的物體。設(shè)圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的。求圓柱體質(zhì)心的加速度，物體的加速度及繩中張力。3.20解 如題3.20.1圖

6、，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動量定理和動量矩定理知： 對于滑塊。由動量定理知： 又無滑滾動條件： 兩邊對時間求導(dǎo)：以為基點(diǎn)：假設(shè)繩不可拉伸。則。故由解得：3.21一飛輪有一半徑為的桿軸。飛輪及桿軸對于轉(zhuǎn)動軸的總轉(zhuǎn)動慣量為。在桿軸上繞有細(xì)而輕的繩子，繩子的另一端掛一質(zhì)量為的重物。如飛輪受到阻尼力矩的作用，求飛輪的角加速度。若飛輪轉(zhuǎn)過角后，繩子與桿軸脫離，并再轉(zhuǎn)過角后，飛輪停止轉(zhuǎn)動，求飛輪所受到的阻尼力矩的量值。3.21解 （1）如題3.21.1圖。設(shè)軸過點(diǎn)垂直紙面向外。繩子上的彈力為。對于飛輪，根據(jù)動量矩定理，在軸方向：為物塊下落的加速度。因?yàn)槲飰K的加速度應(yīng)與點(diǎn)加速度一樣大小，故 由解得：（2） 假若飛輪受到的阻尼力矩為的話，由（1）問知，飛輪的角加速度?，F(xiàn)在來求繩子脫落以后飛輪的角加速度。同樣根據(jù)動量矩，在軸方向：可以證明：類似于位移、加速度、初速度和末速度之間的關(guān)系式。角位移、角加速度、角初速度、角末速度之間也有類似的關(guān)系：對于繩子脫落到停止轉(zhuǎn)動的過程有：式中指繩子脫落時飛輪的角加速度，由解得： 3.22一面粗糙另一面光滑的平板，質(zhì)量為，將光滑的一面放在水平桌上，木板上放一質(zhì)量為的球。若板沿其長度方向突然有一速度，問此球經(jīng)過多少時間后開始滾動而不滑動？3.22解 如