2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題

1、2011年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題中考日漸臨近，在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的最后階段，如何有效應(yīng)對“容易題”和“綜合題”，提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效率呢？針對當(dāng)前中考復(fù)習(xí)中普遍存在的傾向性問題，再提出一些看法和建議，供初三畢業(yè)班師生參考?；A(chǔ)題要重理解在數(shù)學(xué)考卷中，“容易題”占80，一般分布在第一、二大題（除第18題）和第三大題第1923題。在中考復(fù)習(xí)最后階段，適當(dāng)進行“容易題”的操練，對提高中考成績是有益的。但絕不要陷入“多多益善，盲目傻練”的誤區(qū)，而要精選一些針對自己薄弱環(huán)節(jié)的題目進行有目的地練習(xí)。據(jù)了解，不少學(xué)校在復(fù)習(xí)中存在忽視過程的傾向，解客觀題，即使解其中較難的題時也都只要求寫出結(jié)果，不要求寫出過程，一些同學(xué)甚

2、至錯了也不去反思錯在哪里，這樣做，是非常有害的。筆者認為，即使是題解簡單的填空題也應(yīng)當(dāng)注重理解，反思解題方法，掌握解題過程。解選擇題也一樣，不要只看選對還是選錯，要反問自己選擇的依據(jù)和理由是什么。當(dāng)然，我們要求注重理解，并不意味著不要記憶，記憶水平的考查在歷年中考命題中均占有一定的比重。所以必要的記憶是必須的，如代數(shù)中重要的法則、公式、特殊角的三角比的值以及幾何中常見圖形的定義、性質(zhì)和常用的重要定理等都是應(yīng)當(dāng)記住的。在復(fù)習(xí)的最后階段，筆者建議同學(xué)們適當(dāng)多做一些考查基礎(chǔ)的“容易題”，這樣做，雖然花的時間不多，但能及時發(fā)現(xiàn)知識缺陷，有利于查漏補缺，亡羊補牢。如果你能真正把這些“容易題”做對、做好，

3、使得分率達到0.9甚至達到0.95以上，那么在中考中取得高分并非難事。壓軸題要重分析中考要取得高分，攻克最后兩道綜合題是關(guān)鍵。很多年來，中考都是以函數(shù)和幾何圖形的綜合作為壓軸題的主要形式，用到三角形、四邊形、和圓的有關(guān)知識。如果以為這是構(gòu)造壓軸題的唯一方式那就錯了。方程式與圖形的綜合也是常見的綜合方式。這類問題在外省市近年的中考試卷中也不乏其例。動態(tài)幾何問題又是一種新題型，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，把操作、觀察、探求、計算和證明融合在一起。在這類問題中，往往把銳角三角比作為幾何計算的一種工具。它的重要作用有可能在壓軸題中初露頭角。總之，應(yīng)對壓軸題，決不能靠猜題、押題。解壓軸

4、題，要注意分析它的邏輯結(jié)構(gòu)，搞清楚它的各個小題之間的關(guān)系是“并列”的還是“遞進”的，這一點非常重要。一般說來，如果綜合題（1）、（2）、（3）小題是并列關(guān)系，它們分別以大題的已知為條件進行解題，（1）的結(jié)論與（2）的解題無關(guān)，同樣（2）的結(jié)論與（3）的解題無關(guān)，整個大題由這三個小題“拼裝”而成。如果是“遞進”關(guān)系，（1）的結(jié)論又是解（2）所必要的條件之一，（3）與（2）也是同樣的關(guān)系。在有些較難的綜合題里，這兩種關(guān)系經(jīng)常是兼而有之。對一些在 “壓軸題”面前打了“敗仗”的同學(xué)，我勸大家一定要振奮起精神，不要因為這次統(tǒng)考的壓軸題不會做或得分過低而垂頭喪氣，在臨考前應(yīng)當(dāng)把提高信心和勇氣放在首位。筆者

5、建議在總復(fù)習(xí)最后階段，不要花過多的精力做大量的綜合題，只要精選二十道左右（至多不超過三十道），不同類型、不同結(jié)構(gòu)的綜合題進行分析和思考就足夠了，如果沒有思路，時間又不多，那么看一遍別人的解答也好。教師對不同的學(xué)生，不必強求一律，對有的學(xué)生可以只要求他做其中的第（1）題或第（2）題。盲目追“新”求“難”，忽視基礎(chǔ)，用大量的復(fù)習(xí)時間去應(yīng)付只占整卷10的壓軸題，其結(jié)果必然是得不償失。事實證明：有相當(dāng)一部分學(xué)生在壓軸題的失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非常基本的概念和簡單的計算上，或是輸在“審題”上。應(yīng)當(dāng)把功夫花在夯實基礎(chǔ)、總結(jié)歸納、打通思路、總結(jié)規(guī)律、提高分析能力上。筆者建議，同學(xué)們可以試著把一些

6、中考壓軸題分解為若干個“合題”，進行剪裁和組合，或把一些較難的“填空題”，升格為“簡答題”，把一些“熟題”變式為“陌生題”讓學(xué)生進行練習(xí)。這樣做，花的時間不多，卻能取得比較理想的效果，并且還能使學(xué)生的思路“活”起來，逐步達到遇到問題會分析，碰到溝坎，會靈活運用已經(jīng)學(xué)過的知識去解決這樣的較高水平?？傊?，筆者以為在總復(fù)習(xí)階段，對大部分學(xué)生而言，要有所為又要有所不為，有時放棄一些難題和大題，多做一些中檔的變式題和小題，反而能使自己得益。當(dāng)然，我們強調(diào)變式，不是亂變花樣。其目的是促進對標(biāo)準形式和基本圖形的進一步認識和掌握。解答題在中考中占有相當(dāng)大的比重，主要由綜合性問題構(gòu)成，就題型而言，包括計算題、證

7、明題和應(yīng)用題等它的題型特點和考查功能決定了審題思考的復(fù)雜性和解題設(shè)計的多樣性一般地，解題設(shè)計要因題定法，無論是整體考慮還是局部聯(lián)想，確定方法都必須遵循的原則是：熟悉化原則、具體化原則； 簡單化原則、和諧化原則等.(一)解答綜合、壓軸題，要把握好以下各個環(huán)節(jié)： 1.審題：這是解題的開始，也是解題的基礎(chǔ).一定要全面審視題目的所有條件和答題要求，以求正確、全面理解題意，在整體上把握試題的特點、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計.審題思考中，要把握“三性”，即明確目的性，提高準確性，注意隱含性解題實踐表明：條件暗示可知并啟發(fā)解題手段，結(jié)論預(yù)告并誘導(dǎo)解題方向，只有細致地審題，才能從題目本身獲得盡

8、可能多的信息這一步，不要怕慢，其實“慢”中有“快”，解題方向明確，解題手段合理得當(dāng)，這是“快”的前提和保證否則,欲速則不達.2.尋求合理的解題思路和方法：破除模式化、力求創(chuàng)新是近幾年中考數(shù)學(xué)試題的顯著特點，解答題體現(xiàn)得尤為突出，因此，切忌套用機械的模式尋求解題思路和方法，而應(yīng)從各個不同的側(cè)面、不同的角度，識別題目的條件和結(jié)論，認識條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，謹慎地確定解題的思路和方法當(dāng)思維受阻時，要及時調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄（二）題型解析類型1 直線型幾何綜合題圖1這類題常見考查形

9、式為推理與計算.對于推理，基本思路為分析與綜合，即從需要證明的結(jié)論出發(fā)逆推，尋找使其成立的條件，同時從已知條件出發(fā)來推導(dǎo)一些結(jié)論，再設(shè)法將它們聯(lián)系起來.對于計算，基本思路是利用幾何元素（比如邊、角）之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合方程思想來處理. 例1如圖1，在中，動點（與點A、C不重合）在AC邊上，交BC于點F（1）當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長；（2）當(dāng)?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長；（3）試問在上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出的長分析：（1）中面積相等可以轉(zhuǎn)化為“與ACB的 面積比為1：2”，因為ECFACB，從而要求長，只要借助于相似比與面積比的

10、關(guān)系即可得解.因為相似三角形對應(yīng)邊成比例，從而第(2)題可利用比例線段來找線段間關(guān)系，再根據(jù)周長相等來建立方程.第（3）題中假設(shè)存在符合條件的三角形，根據(jù)相似三角形中對應(yīng)邊成比例可建立方程.解：（1）因為ECF的面積與四邊形EABF的面積相等,所以SECF:SACB1:2，又因為EFAB，所以ECFACB.所以. 因為CA4，所以CE.（2）設(shè)CE的長為x，因為ECFACB， 所以. 所以CF=. 根據(jù)周長相等可得：.解得.（3）EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：如圖2，假設(shè)PEF90°，EPEF.由AB5，BC3，AC4，得C90°，所以RtACB斜邊AB上高CD.設(shè)E

11、PEFx，由ECFACB，得圖2，即.解得，即EF._?2_P_D_F_C_A_B_E當(dāng)EFP90°，EFFP時，同理可得EF.如圖3，假設(shè)EPF90°，PEPF時，點P到EF的距離為.設(shè)EFx，由ECFACB，得圖3，即.解得，即EF.綜上所述，在AB上存在點P，使EFP為等腰直角三角形，此時EF或EF. 特別提示：因為等腰直角三角形中哪條邊為斜邊沒有指明，所以就可能的情形進行討論.跟蹤練習(xí)1 如圖4，等腰梯形ABCD中，ADBC，點E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由圖4(2)當(dāng)

12、點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形?并加以證明(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案：1、（1）四邊形EGFH是平行四邊形.只要說明GF/EH， GF = EH即可.（2）點E是AD的中點時，四邊形EGFH是菱形.利用全等可得BE=CE，從而得EG = EH.根據(jù)EGFH是正方形，可得EG =EH ，BEC = 90°.因為G、H分別是BE、CE的中點，所以EB = EC.因為F是BC的中點， 類型2 .圓的綜合題常見形式為推理與計算綜合，解答的基本思路仍然是分析綜合，需要注意的是，因為綜合性比較強，解答后面問題時往往需

13、要充分利用前面的結(jié)論，這樣才會簡便.例2如圖5，點A、B、C、D是直徑為AB的O上四個點，C是劣弧的中點，AC交BD于點E， AE2， EC1（1）求證：. （2）試探究四邊形ABCD是否是梯形？若是，請你給予證明圖5并求出它的面積；若不是，請說明理由 （3）延長AB到H，使BH OB求證：CH是O的切線 分析：（1）只要證即可，（2）要判斷是梯形，只要說明DCAB即可，注意到已知條件中數(shù)量關(guān)系較多，考慮從邊相等的角度來說明：先求DC，再說明OBCD是菱形（3）要證明“CH是O的切線”，只要證明OCH=即可.解：（1）因為C是劣弧的中點，所以因為DCE=ACD，所以 （2）四邊形ABCD是梯形

14、.證明：連接，由得.因為，所以由已知.因為是O的直徑， 所以，所以所以. 所以.所以四邊形OBCD是菱形所以，所以四邊形ABCD是梯形過C作CF垂直AB于點F，連接OC，則，所以所以 CF=BC×sin60=1.5. 所以（3）證明：連接OC交BD于點G，由（2）得四邊形OBCD是菱形，所以且又已知OBBH，所以BH平行且等于CD.所以四邊形BHCD是平行四邊形.所以 所以.所以CH是O的切線 特別提示：在推理時，有時可能需要借助于計算來幫助證明，比如本題中證明DCAB.跟蹤練習(xí)2.如圖，AB是O的直徑，BAC = 60°，P是OB上一點，過P作AB的垂線與AC的延長線交于

15、點Q，過點C的切線CD交PQ于D，連結(jié)OC（1）求證：CDQ是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求BP:PO的值參考答案：2（1）由已知得ACB = 90°，ABC = 30°， Q = 30°，BCO = ABC = 30° CD是O的切線，CO是半徑， CDCO， DCQ =30°， DCQ =Q，故CDQ是等腰三角形（2）設(shè)O的半徑為1，則AB = 2，OC = 1，AC = AB2 = 1，BC =CDQCOB， CQ = BC =于是 AQ = AC + CQ = 1 +，進而 AP = AQ2 =（1 +）2， BP = ABAP

16、 =（3）2，PO = APAO =（1）2， BP:PO =類型3. 含統(tǒng)計（或概率）的代數(shù)（或幾何）綜合題這類題通常為知識串聯(lián)型試題，因此只要逐個擊破即可.例3在一次數(shù)學(xué)活動中，黑板上畫著如圖所示的圖形，活動前老師在準備的四張紙片上分別寫有如下四個等式中的一個等式：ADEBC小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機抽取一張，再從剩下的紙片中隨機抽取另一張請結(jié)合圖形解答下列兩個問題：（1）當(dāng)抽得和時，用，作為條件能判定是等腰三角形嗎？說說你的理由；（2）請你用樹形圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（用序號表示），并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片上的等式為條件，使不能構(gòu)成等腰三角形的概率分析：

17、（1）只要說明BE=CE即可，從而考慮證明.（2）如果不一定成立，那么未必是等腰三角形.再根據(jù)概率定義即可得解. 解：（1）能理由：由，得.是等腰三角形開始后抽取的紙片序號（2）樹形圖：先抽取的紙片序號所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.抽取的兩張紙片上的等式有12種等可能性結(jié)果，其中不能構(gòu)成等腰三角形的有4種（），（），（），（），所以使不能構(gòu)成等腰三角形的概率為提示：不能得到“”有兩種情形，一是“邊邊角”不能得全等，二是只能得到相似.跟蹤練習(xí)3.如圖所給的A、B、C三個幾何體中，按箭頭所示的方向為它們的正面，設(shè)A、B、C三個幾何體的主視圖分別是A1、B1、C

18、1；左視圖分別是A2、B2、C2；俯視圖分別是A3、B3、C3（1）請你分別寫出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3圖形的名稱；（2）小剛先將這9個視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫有A1、A2、A3的三張卡片放在甲口袋中，畫有B1、B2、B3的三張卡片放在乙口袋中，畫有C1、C2、C3的三張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機從這三個口袋中分別抽取一張卡片 通過補全下面的樹狀圖，求出小亮隨機抽取的三張卡片上的圖形名稱都相同的概率； 小亮和小剛做游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：在小亮隨機抽取的三張卡片中只有兩張卡片上的圖形名稱相同時，小剛獲勝；三張卡片上的圖形名稱完全不同時，小

19、亮獲勝這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？解：（1） （2）樹狀圖：參考答案：3（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圓；B1、B2、B3都是矩形；C1是三角形，C2、C3是矩形（2）補全樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有27種等可能結(jié)果，其中三張卡片上的圖形名稱都相同的結(jié)果有12種，三張卡片上的圖形名稱都相同的概率是 游戲?qū)﹄p方不公平由可知， P（小剛獲勝）。三張卡片上的圖形名稱完全不同的概率是，即P（小亮獲勝），這個游戲?qū)﹄p方不公平類型4. 圖形中的函數(shù)(方程）這類題通常需要利用方程與函數(shù)的思想來處理，具體的說，往往通過線段成比例或者面積公式等來建立關(guān)系式，再通過解方程或者利用函數(shù)性質(zhì)來得到解決.

20、例4如圖，已知正方形與正方形的邊長分別是和，它們的中心都在直線上，在直線上，與相交于點，當(dāng)正方形沿直線 以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形也繞以每秒順時針方向開始旋轉(zhuǎn)，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變ABCDEFGHlO2O1M（1）在開始運動前， ；（2）當(dāng)兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形停止旋轉(zhuǎn)，這時 ， ；（3）當(dāng)正方形停止旋轉(zhuǎn)后，正方形繼續(xù)向左平移的時間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)表達式分析:（1）,所以（2）運動3秒時，,此時A點落在上，所以AE=0,（3）重疊部分是正方形，只要用x表示出其邊長即可，注意到不同情況下，邊長的表示不一樣

21、，從而需要討論.解：（1）9（2）0， 6（3）當(dāng)正方形停止運動后，正方形繼續(xù)向左平移時，與正方形重疊部分的形狀也是正方形重疊部分的面積與之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：如圖1，當(dāng)時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為如圖2，當(dāng)4x8時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為y=8ABCDEFGHlO2O1ABCDEFGHlO2O1ABCDEFGHlO2O1圖1圖2圖3如圖3，當(dāng)8<x<12時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為特別提示：（1）本題也是變換型試題，計算與證明時要抓住變換中不變的元素（比如角相等，邊相等，圖形全等，等）來進行處理，如果直角比較多，還可從相似、三角函數(shù)、勾股定理角度來建立數(shù)量關(guān)

22、系.（2）對于圖形變化中分段函數(shù)的問題，可以從圖形特征角度來分別討論，以力求解答完備.跟蹤練習(xí)4（2007·河北）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135點P從點B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QKBC，交折線段CD-DA-AB于點E點P、Q同時開始運動，當(dāng)點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）當(dāng)點P到達終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長； （2）當(dāng)點P運動到AD上時，t為何值能使P

23、60;QDC？（3）設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）（4）PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由參考答案：4：（1）t =35（秒）時，點P到達終點C BQ的長為135105=30 （2）若PQDC，又ADBC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t，得50755t=3t，解得t=當(dāng)t=時，有PQDC（3）當(dāng)點E在CD上運動時S=SQCE =QE·QC=6t2；當(dāng)點E在DA上運動時， S= S梯形QCDE 

24、;=(EDQC)DH =120 t600PQE能成為直角三角形當(dāng)PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0t25且t或t=35跟蹤練習(xí)5如圖，矩形中，厘米，厘米（）動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米秒過作直線垂直于，分別交，于當(dāng)點到達終點時，點也隨之停止運動設(shè)運動時間為秒DQCPNBMADQCPNBMA（1）若厘米，秒，則_厘米；（2）若厘米，求時間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由參考答案：5、（1），（2），

25、使，相似比為（3）AMPABN可得PM=， ，化簡,得，3a6.（4）梯形的面積與梯形的面積相等即可， ，把代入，解得（舍負值）類型5. 拋物線中的圖形B(0,4)A(6,0)EFO一般而言，這類題多為壓軸題，解答基本思路仍然為分析與綜合.除了需要靈活運用代數(shù)與幾何核心知識外，還要注意應(yīng)用分類、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想方法.例5 如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；（2）設(shè)點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； 當(dāng)平行

26、四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：（1）利用待定系數(shù)法可以求出拋物線解析式，（2）利用平行四邊形OEAF的面積公式來建立函數(shù)關(guān)系式.判斷OEAF是否為菱形，關(guān)鍵是看能否由已知條件得到鄰邊相等，即需要將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，假設(shè)存在符合條件的 E，考慮先滿足條件“使得OEAF為正方形”，再看能否滿足另外條件“在拋物線上”.解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設(shè)解析式為把A、B兩點坐標(biāo)代入上式，得故拋物線解析式為，頂點為（2）因為點在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合，所以y