2015年普通高等學(xué)校招生全國考試北京市文數(shù)卷文檔版

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在 試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選 出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)若集合 A= x|5x2，B= xp3x 3，則 A B=A. x|3 x 2B. x|5 x 2C. x| 3 x 3D. x|5x 3(2)圓心為(1, 1)且過原點(diǎn)的圓的方程是(B) (x+1) 2+ (y+1) 2=1(D) (x-1) 2+ (y-1) 2=2(A) (x-1) 2+ (y-1) 2=1(

2、C) (x+1) 2+ ( y+1) 2=2(3)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()(A) y=x2sinx(B) y=x2cosx(C) Y=|ln x|(D) y=2x(4)某校老年，中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為()(A) 90(B) 100(C) 180( D 300類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300(5)執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的k值為(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)a, b是非零向量，“a- b=|a|b”是“a/b”的充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件

3、既不充分也不必要條件(7)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(A)1廠廠(B)I( B)”3 (D)2 1)ftBQ .4（8）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況。 注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為加汕時(shí)間加油量升）加汕時(shí)的累訃?yán)飁 （干 米2015 年 5 W 1 日12350002015 0）的一個(gè)焦點(diǎn)，貝U b=A如圖， ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為 D, P（X, y為D中任意一（13）點(diǎn)，則z=2x+3y的最大值為5 2)1(2. I)267（14）高三年級267位學(xué)生參加期末考

4、試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成 績與總成績在全年級中的排名情況如下，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生。267267O邙ft名乂從這次考試成績看， 在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是 在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，兩同學(xué)的成績名次更靠前的科目是三、解答題（共6題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） （15）（本小題13分）已知函數(shù)（X）(I)求（X）(n)求（X）=sin X -2巧Sin2 Z2的最小正周期；在區(qū)間10, 上的最小值。13（16）（本小題13分）已知等差數(shù)列 J滿足3+屯=10,旳-*2=2.（I）求J的通項(xiàng)公式;（n）設(shè)等比數(shù)列垃滿足6 =眄，坷

5、=亂；問：b占與數(shù)列備的第幾項(xiàng)相等?（17）（本小題13分）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況, 整理成下統(tǒng)計(jì)表，其中“2”表示購買，“X”表示未購買。商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX(I)(n)(rn) 大？(18)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買 3種商品的概率如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最(本小題14 分)如圖，在三棱錐E-ABC中，平面EAB丄平面ABC三角形EAB為等邊三角形，AC 丄BC,且AC=BC=),O,M分

6、別為AB,VA的中點(diǎn)。(1) 求證:VB/平面MOC.(2) 求證：平面 MOd平面VAB(3) 求三棱錐V-ABC的體積。(19)(本小題13分)72設(shè)函數(shù) f (x) =一-kin ,k02(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(II )證明：若f(x)存在零點(diǎn)，貝U f(x)在區(qū)間(1, 宿)上僅有一個(gè)零點(diǎn)。(20)(本小題14分)已知橢圓GL - 3護(hù)=3,過點(diǎn)0(1.0)且不過點(diǎn)E(2丄)的直線與橢圓C交于盤B兩點(diǎn)，直線耳E與直線丫(1)求橢圓f的離心率;(II )若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(III )試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由。2015 年普通高等學(xué)校招

7、生全國考試北京卷）參考答案一、選擇題（共（1）A（5）B 二、填空題（共 （9）18 小題，每小題 5 分，（2）D（6）A6 小題，每小題 5 分，共 40 分）（3）B（7）C共 30 分）（ 10） log254)C8)B（11）4（13） 7三、解答題（共6小題，共80 分）（15）（共 13 分）(12) J3(14)乙數(shù)學(xué)解: (I)因?yàn)?f(x) = sinx + 腑cosx 73= 2sin( x + 巴)3所以f（X ）的最小正周期為2兀.(II)因?yàn)?x 至3兀當(dāng)x肓，即兀，所以一Ex32兀兀+ 0）得f(x)=x 亠 JXX由f(x)=o解得X f（X）與f（x）在區(qū)間（

8、0 ）上的情況如下:X(0,Vk)(仄5f(x)0+f(x)k(1 1 nk)2Q所以，f（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（o,jk），單調(diào)遞增區(qū)間是（灰+比）；f（X）在X二蟲處取得極小值曲“罟巴（II）由（I）知，f（x）在區(qū)間（0）上的最小值f（7k）= k（1Tnk）因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以k（1Tnk） e.2當(dāng)k =e時(shí)，f（X）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 f（Je）=0,2所以x=je是f(x)在區(qū)間(1,je)上的唯一零點(diǎn).Aa Iz當(dāng) ke 時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,je)上單調(diào)遞減，且 f (I) =-0, f (je)0,所以f (x)在區(qū)間(1,揖 上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x

9、)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1廂上僅有一個(gè)零點(diǎn).(20)(共 14 分)2x 2解：(I)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一 + y2=1.3所以 a = 73,b =1,c = 5/2.所以橢圓C的離心率e十普(II)因?yàn)锳B過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1,yi),B(1,yi),直線 AE 的方程 y-1 =(1-yi)(x-2).令 x=3，得 M(3,2-y1).所以直線BM的斜率kBM = 2 y1 + y1 = 1.3-1(III)直線BM與直線DE平行.證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(II)可知kBM =1.1-0又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE =1，所以BM /de .2-1當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y =k(x-1)(k H1),設(shè) A(X1,y2),B(X2,y2),則直線 AE 的方程為 y _1 =-2).X1-2令 x=3，得點(diǎn) M (3, y1 +為 3).x -22 2由 jx +3y =3,得(i+3k2)x2 _6k2x+3k2 -3=0. y =k(x1)2 2才、丄6k3k -3所以 X1 +X2 = ,X1X2 =2.1+3k21+3k2直線BM的斜率kBM =(3-X2)(