2.1.4兩條直線的交點

1、兩條直線的交點學業(yè)分層測評（建議用時：45分鐘）學業(yè)達標、填空題1.直線li：x + by= 1與直線12： X-y= a的交點坐標為（0,2）,則a=1【解析】將點（0,2）代入X+ by= 1,得b=扌,將點(0,2)代入 X-y= a,得 a= 2.9【答案】-212.已知a為常數，則直線5x+4y= 2a+ 1與直線2x+ 3y= a的交點坐標為【解析】j5x + 4y= 2a+ 1, 由i(2x+ 3y= a,r 2a+ 3丿x= 7 得Ia2I尸7 .所以交點坐標為/2a + 3 a 2【答案】3.已知Pi（ai, bi）與P2（a2, b2）是直線y= kx+ 1（k為常數）上兩

2、個不同的點,fa1X + b1y= 1,則關于x和y的方程組的解的情況是la2x + b2y= 1無論k, Pi, P2如何，總是無解;無論k, Pi, P2如何，總有唯一的解; 存在k, Pi, P2,使之恰有兩解； 存在k, Pi, P2,使之有無窮多解.【解析】由題意，直線y= kx+ 1 一定不過原點0, P1, P2是直線y= kx+ 1上不同的兩點，貝U OPi與0P2不平行，因此aib2-a2bi 0,所以二元一次|a1X + b1y= 1,方程組$a2x+ b2y= 1定有唯一解.【答案】 4.若三條直線x+y+ 4= 0, x y+ 1= 0和x+ by= 0相交于一點，則b

3、的 值是.【解析】x+ y+ 4 = 0,jx=-2，/ 5解得3 將點(2,ly=-2，聯立X y+ 1= 0,by= 0,解得5 b= 3.【答案】5.直線I過直線2x y+ 4= 0與x 3y+ 5= 0的交點，且垂直于直線ynx.則直線I的方程是【解析】由2x y+40'解得交點坐標為(-7 I)故直線I過點lx 3y+ 5= 0,. 5 5丿5， 5)斜率為一 2,所以直線I的方程為y 6= 2(+5)即為10x + 5y+ 8【答案】10x+5y+ 8 = 06.直線(a+ 2)y + (1 -a)x 3 = 0 與直線(a + 2)y+ (2a + 3)x + 2 = 0

4、不相交，則【解析】 要使兩直線不相交，則它們平行，當 a + 2 = 0時，即a= 2, 兩直線為x= 1， x= 2，此時兩直線平行，符合題意.1 a2a + 32當a+ 2工0時，一=，解得a= £a+2a+232所以a= 2或a= 22【答案】 2或27 .直線(2k 1)x (k+ 3)y (k11) = 0(k R)所經過的定點是【解析】方程整理為k(2x y 1) (x + 3y 11)= 0(kR).j2x y 1 = 0,由題意知ix+ 3y 11= 0,|x = 2，解得j 即直線過定點(2,3).Iy= 3，【答案】(2,3)8若直線I: y= kx/3與直線2x

5、+ 3y 6= 0的交點位于第一象限，則直線I的傾斜角的取值范圍是.【解析】 如圖，直線2x+ 3y 6= 0過點A(3,0), B(0,2),直線I必過點C(0,V3),當直線I過點A時，兩直線的交點在x軸上，此時直線I的斜率為kAC =、(3號，傾斜角為30°當直線I繞點C逆時針旋轉時，交點進入第一象限，傾斜角 無限趨近于90°從而得出結果.【答案】& n)二、解答題9.當 0vav2 時，直線 li： ax 2y= 2a 4 和 b: 2x+ a2y= 2a2 + 4 與坐標軸 圍成一個四邊形，求使四邊形的面積最小時的 a值.【解】 如圖，直線Ii: a(X

6、2) 2(y 2) = 0.過定點 B(2,2).2直線 I2： (2X 4) + a (y 2) = 0,由2x-4= 0和y 2= 0,得12也過定點B(2,2).Ii與y軸交于點A(0,2 a),12與x軸交于點C(a2 + 2,0).S 四邊形 OABC = SOB + S/BOC = 2(2 a) X 2 +(a2 + 2) X 22=a2 a+ 4= £ - y + 普.115當a = 2時，S取最小值.1即四邊形OABC的面積最小時，a的值為2.10.已知過原點的直線I與兩直線li： 4x+y+ 6= 0, l2： 3x 5y 6= 0交點的橫坐標分別為XA, XB，且

7、xa+ XB = 0,求直線I的方程.【解】 若I的斜率不存在，則I的方程為X= 0,XA= XB= 0,滿足 Xa+ XB = 0 的要求,I的方程可以是X= 0.若I的斜率存在，設為k,則I的方程為y= kX.由卜kX，得XA=-；4x+y+ 6 = 0,4+ k由P",得xb=亠.px- 5y - 6= 0,3 5k由 xa+ xb = 0?-旦 + = 0? k=- 6.4+ k 3 - 5k61的方程為y= 6X,即X+ 6y= 0.的方程為x= 0或x+ 6y= 0.能力提升11.若直線y= x與直線y=Rx- 5的交點在直線y= kx+ 3上，貝U k=ly= kx-5

8、,5k f 5k 5k【解析】由 k解得x=y=n，將匚,匚©.代入y= kxy.y= x,-+ 3,得邑=出+3,解得k= 3.1-k 1-k5【答案】32.三條直線X-2y+ 1= 0, x+ 3y 1 = 0和ax+ 2y-3 = 0共有兩個不同的 交點，貝U a=./ 1 2、【解析】由于直線l1: x-2y+ 1 = 0, I2: x+ 3y- 1 = 0有一交點£, £丿,要使三條直線有兩個不同的交點，則必使 13： ax+ 2y- 3= 0與li平行或與I2平行.所以a=- 1或a= |.2【答案】 -1或23直線I經過2x-3y+ 2 = 0和3x

9、-4y- 2= 0的交點且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線I的方程為.|2x-3y+ 2= 0,【解析】解方程組i得兩直線交點坐標為（14,10）.又由l3x- 4y- 2= 0,三角形為等腰直角三角形知所求直線斜率 k=±，即可寫出所求的直線方程.【答案】x y 4= 0或x+ y 24= 04.已知 ABC中，頂點A(0,1)，AB邊上的高線CD所在直線的方程是x+2y 4= 0, AC邊上的中線BM所在直線的方程為2x+ y 3= 0,求 ABC的頂 點B, C及垂心H的坐標.【解】-AB邊上的高線CD的方程為x+ 2y 4= 0,1'kCD= 2 , kAB= 2,直線AB的方程為y= 2x+ 1,得x=2ly= 2,|y= 2x+ 1,由 l2x+ y 3 = 0,f1、即B, 2丿設C(m, n),則由已知條件得l"m+2n 4=