(完整word版)線性分組碼的編碼原理(word文檔良心出品)

1、第 8 章 差錯控制編碼本章教學基本要求：掌握： 1. 差錯控制編碼的基本概念、基本原理2.線性分組碼的G H矩陣 3. 位同步理解：卷積碼了解：常用的簡單編碼本章核心內(nèi)容：、差錯控制編碼的基本概念、原理二、常用的簡單編碼、線性分組碼四、卷積碼、差錯控制編碼的基本概念、原理1. 差錯編碼的基本概念差錯控制編碼屬信道編碼，要求在滿足有效性前提下，盡可能提高數(shù)字通信的可靠性。 差錯控制的目的是用信道編碼的方法檢測和糾正誤碼，降低誤比特率。數(shù)字信號在傳輸過程中受到干擾的影響，使信號波形變壞，發(fā)生誤碼，可以采用一些方法解決。同時設(shè)計系統(tǒng)時，還要合理地選擇調(diào)制、解調(diào)、發(fā)送功率等因素，采用上述措施仍難以滿

2、足性能要求，就要采用差錯控制措施了。從差錯控制角度來看，根據(jù)加性干擾引起的錯碼分布規(guī)律的不同，把信道分為三類，即隨機信道、突發(fā)信道和混合信道，對不同類型的信道，采用不同的差錯控制技術(shù)。差錯控制方法常用的有以下三種：(1) 檢錯重發(fā)法(ARQ :檢錯重發(fā)方式只用于檢測誤碼，需具備雙向信道。收端在接收到的信碼中發(fā)現(xiàn)錯碼時，就通知發(fā)端重發(fā)，直到正確接收為止。(2) 前向糾錯法(FEC :收端不僅能檢測誤碼，還能糾正錯碼。這種方法實時性好，不需要反向信道，但糾錯設(shè)備較復雜。3)反饋校驗法:接收端將接收到的信碼原封不動地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)端，并與原發(fā)送信碼相比較，若發(fā)現(xiàn)錯誤，發(fā)端再重發(fā)。三種方法可以結(jié)合使用2.糾

3、錯編碼的基本原理在信息碼序列中加監(jiān)督碼就稱為差錯控制編碼，也叫糾錯編碼。不 同的編碼方法，有不同的檢錯和糾錯能力，增加監(jiān)督碼元越多，檢(糾) 錯能力越強。差錯控制編碼原則上是降低 Rb來換取可靠性提高。(即Pe更小)。信息碼元和監(jiān)督碼元之間有一種關(guān)系，關(guān)系不同，形成碼的類型也 不同。信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程組聯(lián)系，所形成的碼稱為線性分 組碼，包括漢明碼和循環(huán)碼。在線性分組碼中，兩個碼組對應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組距 離，簡稱碼距，又稱漢明(Hamming距離。編碼中各個碼組間距離的最小值稱為最小碼距 do，最小碼距是衡量碼組檢錯和糾錯能力的依據(jù)，其關(guān)系如下(1)為檢測e個錯碼，則要求最小

4、碼距do， 為糾正t個錯碼，則要求最小碼距do >2t +1(3)為糾正t個錯碼，同時為檢測e個錯碼，則要求最小碼do >e +t +1,e >t 。常用的簡單編碼(1) 奇偶監(jiān)督碼：可分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種，原理和檢錯能力都相同。監(jiān)督碼只有一位，編碼后碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù) 是奇監(jiān)督，“ 1”的數(shù)目為偶數(shù)是偶監(jiān)督，能夠檢測奇數(shù)個錯碼，適用 于檢測隨機錯誤。(2) 二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，它是把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，再按列的方向增加第二維監(jiān)督 位。能檢測部分偶數(shù)個錯碼，適用于檢測突發(fā)錯碼，檢錯能力較強。(3) 恒比碼：在恒比碼中，

5、每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。由于“ 1”和“0”的數(shù)目之比保持恒定，故得此名。在檢測 時，只要計算接收碼組中的“ 1”的數(shù)目是否對，就知道有無錯誤。恒 比碼編碼簡單，適用于傳輸字母和符號，對二進制隨機數(shù)字序列不適用。(4)正反碼：正反碼是一種簡單的能夠糾錯的編碼。編碼的監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元是信息碼的重復還是反碼，由信息 碼中“ 1”的個數(shù)而定?！?”為奇數(shù)時是重復，“ 1”為偶數(shù)時是反碼。三、線性分組碼1.基本概念(1)分組碼：先將信息碼分組，然后給每組信碼附加若干監(jiān)督碼的 編碼稱為分組碼，用符號 (n, k)表示，k是信息碼的位數(shù)，n是編碼組總位數(shù)，又稱為碼長

6、，r=n-k為監(jiān)督位數(shù)。(2)代數(shù)碼：建立在代數(shù)學基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。(3) 線性碼：線性碼中信息位和監(jiān)督位是按一組線性方程構(gòu)成的。線性碼是一種代數(shù)碼。(4) 線性分組碼：信息碼分組后，附加的監(jiān)督碼和信息碼由一些線 性代數(shù)方程聯(lián)系著的編碼稱為線性分組碼。(5) 編碼效率n :指碼組中的信息碼元個數(shù)與碼組長度的比值2=1丄n n2.線性分組碼的編碼原理般說來，若碼長為n，信息位為k，則監(jiān)督位為r = n-k，如果希望用r個監(jiān)督位構(gòu)造出r個監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯碼的n種可能位置, 則要求:2r 1 > n 或 2r >r +k+1以漢明碼為例來說明編碼原理。漢明碼是一種能夠糾正一位

7、錯碼且編碼效率較高的線性分組碼。(7, 4)漢明碼的編碼效率:n = - = 4, n很大時，n T 1。n 7a6 a5a4a3(1)監(jiān)督矩陣：(乙4)漢明碼碼位之間滿足下式，其中為信息碼，a2aia0為監(jiān)督位。1 a1 a5 +1 'a4 +0 £3 +1 32 +0 a1 +0、玄=01 ae +1 as +0 04+1 £3+0 £2+16+00=01 ae +0 £5 +1 日4 +1 a3 +0 a2 +0 a1 +1、玄=0式中的“+”指模2加，改寫為矩陣形式:1 0 010 1 00 0 1j吋a5a4asa2a1La0.01=0

8、 （模 2）LOJ上式還可以簡記為H ”A =0 或 A ” H =0其中1 1 1 0 1 0 01 1L1A = £ a5 a4 a3 a2 a1 a0H稱為監(jiān)督矩陣，只要 H給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了， H的行數(shù)是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，等于r。H矩陣的各行應(yīng)是線性無關(guān)的。H可化為典型監(jiān)督矩陣，包含兩部分:f1110100H -11010101011001=Plr (2)生成矩陣:as &2&£0 碼位之間還可以改寫成下式:a?a,a。bea5a4aj Q式中，Q為一 kxr階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置Q =PT上式表明，信息位11-1L0 a11

9、0110116858483給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣 Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。將Q的左邊加上一kxk階單位方陣就構(gòu)成一矩陣G：G稱為生成矩陣,100L0010000100001111011011011可以由此產(chǎn)生整個碼組，即a5 a4 a3G所以如果給出碼的生成矩陣，則編碼方法就完全確定了。具有kk q形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣，得到的碼組信息位不變，監(jiān)督位 附加其后，這種碼稱為系統(tǒng)碼。線性碼具有封閉性，因此線性碼的最小距離即是碼的最小重量（除全“0”卜）。四、循環(huán)碼1.循環(huán)碼的編碼原理循環(huán)碼是一種重要的線性分組碼。 這種碼的編碼和解碼設(shè)備都不太 復雜，且有較強的檢(糾)錯能力。循環(huán)碼具有循

10、環(huán)性，即碼中任一碼 組循環(huán)一位以后，仍為該碼中的一個碼組。討論循環(huán)碼時，用多項式代表許用碼組，碼組中各碼元當作是多項式的系數(shù)，這種多項式有時稱為碼多項式，用T(x)表示。T(x)可以按模運算，且運算規(guī)律符合循環(huán)性。如T(x)是長為n的許用碼組，則(x) =xxT(x)在按模xn*運算下，也是一個許用碼組。生成矩陣G :在循環(huán)碼中，一個(n,k)碼有2k個不同碼組，若用g(x)表示其中前k -1位皆為“ 0”的碼組，貝J g(x), xg(x),xkg(x)都是碼組，且線性無關(guān)。找出任一 (n,k)循環(huán)碼的生成多項式，就可以構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G 。xk4g(x)xkg(x)G(x)=xg(x)L g(x) G不是典型矩陣，可以通過初等變換，將其化為典型陣。2.循環(huán)碼的編碼方法和編碼器的構(gòu)造編碼方法：由循環(huán)碼的構(gòu)造可知，所有碼多項式 T(x)都可被g(x)整除。即若某多項式能被g(x)整除，且商的次數(shù)不大于kT，則其必為碼多項式。根據(jù)上述原理，編碼步驟歸納如下:(1)設(shè)m(x)為信息碼多項式，用xn乘m(x)。(2)用 g(x)除xn上m(x)，即魯5(-器其中，r(x)是余