(完整word版)數(shù)列求和(倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求合法等)

1、考點(diǎn)4數(shù)列求和(倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求合法等)*1. (2015江蘇蘇州市高三上調(diào)考)已知數(shù)列an 共有2k項(2 < k且kN ),數(shù)列 a. 的前n項的和為Sn ,滿足 ai =2, an i = (p 1) Sn +2 (n=1, 2, 3,，2n 1),其中常數(shù) p> 1(1) 求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；2 1(2) 若 p=22k 1，數(shù)列bn滿足 bn- log2 (a£2an)(n=1, 2,，2n),求數(shù)列 bn的通項公式n3(3) 對于(2 )中的數(shù)列 bn，記Cn |bnI，求數(shù)列 Cn 的前2k項的和.2【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)

2、列的應(yīng)用.【解】(1 )證明：當(dāng)n=1時，a2 =2p，則電 p ,a1當(dāng) 2Wn 時，an1(p1 )Sn2 ,an( p1)Sn-12， an 1 an (p1) an，即 an 1 pan,an 1an故數(shù)列an 是等比數(shù)列.(2 )由n 1(1),得 an 2p(n=1.2,，2n),1 2 3 nan 2 p2n(n 1) np2 (n 1)nn 2n 22k 122(n 1)n2k 1J(n Z)n 2k 1=® U 1 ,(n=1 ,2k 12,2n),即數(shù)列 bn的通項公式為bn(n1)3(3) Cn |bnJ,設(shè) bn2k 13解得21 , (n=1, 2,，2n)

3、.又n為正整數(shù)，于是3:當(dāng) nw k 時，bnV ;當(dāng) nk+1 時，bn> 3 ,222二數(shù)列 cn 的前2k項的和:2k 12n 3n 4 .2 . (2015江蘇高考沖刺壓軸卷(三)設(shè)數(shù)列an 的前n項和記為Sn ,且Sn| < Tn< |.36(1)求數(shù)列an的通項公式;(2 )設(shè)bn 肆，記數(shù)列bn 的前n項和記為Tn,求證:3n【考點(diǎn)】錯位相減法求和【解】(1 )當(dāng)n=1時,ai當(dāng)n >2時,anSnSn 12n 4，故 an2,n 12n 4,n>2)bnan32-,n32n 4T1Tn0 2n 4亍3TnTn_2350尹2n 1n2 3235(n&

4、gt;2)，由于 bn>0 , w Tn<36一得,2Tn2n 43 . (2015江蘇高考沖刺壓軸卷(三)已知數(shù)列an中，6二次函數(shù)f(x)2nn X (2an 1) X 的對稱軸為x=(1)試證明2nan是等差數(shù)列，并求 an的通項公式;(2 )設(shè) an的前n項和為Sn ,試求使得SnV3成立的n的值，并說明理由.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項公式；二次函數(shù)的性質(zhì)；錯位相減法求和.【解】(1)二次函數(shù)1f(X)2an(2 nan 1)X的對稱軸為1X= 2，2n a,- an 豐 0 ,12 2an12，整理得an12an左右兩邊同時乘以2n 1n 1，得 2an 12nann 1n，

5、即 2an 12 an2 (常數(shù)), 2n an是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列, 2 an22(n1)2n ,2nn-an2n2* 1.123n1n(2 ) Sn02n 1'2021222n1123n 1 nSnJ2n 1n2222-得：2Sn13 .整理得Sn(4數(shù)列Sn 是單調(diào)遞增數(shù)列. 要使SnV 3成立，即使4如2 <3，整理得n+2> 2n4. (2015江蘇省南京市高三考前綜合)公差不為零的等差數(shù)列a k 2an 的前n項之和為Sn，且Sn=( J對n2 N成立.(1)求常數(shù)k的值以及數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列 an中的部分項a®比2，ak3,

6、 a ，恰成等比數(shù)列，其中 & = 2,山=14,求a1«+ a2k2+ ankn 的值.【考點(diǎn)】等差數(shù)列或等比數(shù)列中的基本量問題；錯位相減法與裂項相消法.【解】(1 )法一：條件化為 2 Sn = an+ k對n N*成立.設(shè)等差數(shù)列公差為 d，貝U 2 na1 = a1+ (n1)d + k .2、a1 a-i k 分別令 n= 1, 2, 3得：2ada1dk2、3印 3da12d k 由+2 得，、3a1 3d2；2a1d .兩邊平方得，4&+ d=2_3aj3&d.22兩邊再平方得，4耳一4qd+ d =0 .解得d= 2a1 .代入得，4厲=3印+

7、 k,由一得，ai = ； a .所以a1 = 0,或a1 = 1.又當(dāng)a1 = 0時，d= 0不合題意.所以a-i = 1, d = 2.代入得k= 1.而當(dāng) k= 1, a1 = 1, d = 2 時，Sn= n2, a*=2n1，等式 Sn=(an k)2對 n N 成立.2所以 k= 1, an=2n1 .法二：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d,則 Sn= na-i+ nn d= dn2+ (a廠 d)n , an= a汁(n_1)d= dn+ (a1 d).2 2 2an k 2 d 2 d12代入 Sn=()得，一n + (a1 )n= dn + (a+ k d),2224即 2d

8、n2+ (4a1 2d)n= d2n2+2d (a + k d)n+ (a1+ k d )2.2d d2因為上面等式對一切正整數(shù)n都成立，所以由多項式恒等可得，4a1 2d 2d(a1 kq k d 0d)因為d工0,所以解得,d 2a1 1所以常數(shù)k = 1,通項公式an= 2n1 .k 1(2)設(shè)Cn= akn，則數(shù)列 cn為等比數(shù)列，且c1= ak1 = a2= 3 , c3= ak3= a14= 27 .故等比數(shù)列 cn的公比q滿足q2=纟=9 .C1又 Cn > 0,所以 q= 3.所以 Cn= Gqn1=3 3n1= 3n .由此可得kn=1 3n+ .所以 ankn =1

9、3n+ 2n12222所以 ak+ a?k2+ ankn(231i)(2 322)(5 33f)11123n-1 3 52L (2n1)尹33 35 3L(2n 1)3 法一：令S1 31 332 533L(2n1) 3n,則 3S 1 32+3 33+L+(2 n3)3n +(2nn 11) 3,兩式相減得：2S=3+232+233+L +2 3n(2n 1)3n1又 Cn= akn = 2kn 1，所以 2kn 1 =3 .1 2 n 21 n 1n 1-2(n 1) 36 (n 1) 33,代入得 a1k1 +a2k2 + L +ankn21 n 1(n 1) 332n 121 2(n

10、1) 3 n 3_ n2 2法二：因為(2 k 1) 3kk 1k(k 1) 2 3 (k 2) 3(k 1) 3k 1L (n 1) 3n1 (n2 (n 1) 3n(k 2)3k.所以 S 032( 1)311330322 34 1332) 3n =(n 1) 3n+1+ 3.代入得 a1k1 + a2k2+ +anknn 12(n 1) 3 n 32 an為等比數(shù)列，其中a1=1，且5 .(江蘇省南京市2015屆高三上學(xué)期9月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷)已知an是等差數(shù)列，其前 n項的和為Sn,等比數(shù)列，且a!b12, a4b421 ,S4 b430.(1)求數(shù)列an和 bn的通項公式;(2)記 Cn

11、anbn,nN ，求數(shù)列 q的前n項和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解】(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由印 02，得a4 =2+3d.b42q ,S46d由條件a4 b421 ， S4b430,得方程組3d6d2q32q321解得30所以 ann 1,bn2n,由題意知,Cn (n1)2n.記TnC1 C2C3 LCn.則TnC1 C2C3 LCn =3 22231)2n,2Tn2 223 23(n1)2n所以Tn =2 2 (2223 L2n1 2n)(n1)2n1,Tnn 1*n 2(n N ).6.(15淮安市金湖中學(xué)高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷)已知

12、a?, a3 a§,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列 an的通項公式:(2)設(shè)bn (2n-1) an ,求數(shù)列bn的前n項和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式.(2 20) 10【分析】a汁 L + ak+ L + a10 = 240- (2 + L + 2k+ L + 20)= 240 = 240- 110= 130.2【解】(1)設(shè)在等比數(shù)列 an中，公比為q,t a1 1，且a2, a3 a5, a4成等差數(shù)列,二 2 ( a3a5)a2a4 ,1005.an , Sn ；24、3 2 (q q ) q q ,軍得 q= , an (一) n 【答案】130 2 2(2) /

13、an (1)n 1 , bn (2n-1) a. (2n-1) (1F1,2 2. Tn 1 1 3 1 5 (1)2 L (2n 1) (1)n 1,2 2 21 11 1 12Tn 1 23(2)2 5(2)3 L (2n 1)(丿,1 11 1 1-，得：計 1 2 2 (2)2 L (2)n1 (2n 1)(h1 21-( 1)rr1-( 2rr1) (1 )n=3,2 2 2nt c 2 n 32n1Sn的前10項的和為n Tn67 等差數(shù)列 an的通項公式為an=2n+1，其前n項和為S.，則數(shù)列【答案】7【分析】因為 邑 n 2，所以 魚 的前10項和為10為+ 10 9 = 7

14、5nn28 已知函數(shù)f n二 打 當(dāng)"為偶數(shù)時，且務(wù)=f n + f (n+1)，則a+ a?+ as + L 弧。等于n ,當(dāng)n為偶數(shù)時【答案】100【分析】由題意，得a-i+ a2 + a3+ La10022 222222 2 2 2 2=122 +3 +344 + 5 + L + 99100100 +101=(1 + 2 )+ (3 + 2 ) + L(99 + 100)+ (101 + 100)=(1 + 2 + L +99 + 100)+ (2 + 3 + L +100+101)=50 101+50 103=100.9 .數(shù)列a+ 2, L , ak+ 2k , L , a

15、1°+ 20共有十項，且其和為240,則a+ L + ak+ L + 的值為10. (2015泰州質(zhì)檢)已知數(shù)列 an滿足a=1 , an+1 an=2 (n N )，則 氐花 【答案】 3 210083【分析】a=1 , a2= 2，又an 2 an 1 亠 2a1onan 1an2=2.a1, a3, a5, L成等比數(shù)列；a?, a4, a , L成等比數(shù)列， anS2016= 31+ a2 + a3 + a4+ a5+ a6 + L + a?015 + 玄2。16=心汁 a3 + a5+ L + a2015)+ (a2+ a4 + a6 + L + a2016 )1 2100

16、8 2(1 21008)1008 o3 231.已知數(shù)列 an112 12 31一，一 _,_ , L ,2 3 3 4 4 410 10 10239123L 9, L ,若bn=1,那么數(shù)列bn_ _ 10anan 1n項和Sn為2. (2015揚(yáng)州測試)在數(shù)列an中，a=1 ,an+1= (1)n(an + 1)，記Sn為an的前n項和，則S2013【答案】1005【分析】由 a1=1,an+1=(1)n(an+1)可得 a2=2 ,a3=1 ,a4= 0 ,a5=1亥數(shù)列是周期為 4 的數(shù)列，所以 S2013= 503(a1+ a2+ a3+ a4)+ a2 013 = 503 ( 2)

17、+1 =* 11112)設(shè) bn= Sn 1(n N ) , 一 一 一 L ，求 Tnbi b2 b3bn【解】 因為S3=2S2+ 4，所以a1 d=4 ,又因為 a5=36，所以 a<)+ 4d=36 .解得 d= 8, a= 4,所以 an= 4+ 8(n 1)=8n 4 ,Sn n(48n4) 4n2.(2) bn= 4n21=(2n 1)(2n+1),1 1 1所以 b； (2n 1)(2n 1) 1(2T1 2T1).2(1 的)2，a3a4 =32 .14. (2015石家莊模擬)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且(1)求數(shù)列 an的通項公式;2 *2)設(shè)數(shù)列 bn的前

18、n項和為Sn= n (n N )，求數(shù)列 an bn的前n項和.【解】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由已知得 7 q 2 ,a1a1 q32又印>0, q>0,解得''1 , an= 2n_1q 2由 Sn= n2得 Sn 1=(n 1)2 n2 ,當(dāng)n2 時，bn= Sn Sn 1=2n 1 ,當(dāng)n= 1時，b=1符合上式,/.bn= 2n 1(n N*), an bn= (2n 1) 2n1.Tn1 3 21 5 22 L(2n 1) 2n 1,2Tn=1 2 + 3 22+5 23+ L +(2n 3) 2_ 1+(2n 1) 2n ,兩式相減得 Tn=1

19、+ 2(2 + 22+ L + 2n 1) (2n 1) 2n= (2n 3) 2n 3 , Tn=(2 n 3)2n+3.n.15.數(shù)列an滿足an+1 + ( 1) an=2n 1，則a.的前60項和為【答案】1830【分析】&+ + ( 1)n an=2n 1 , a? 1 + a1,玄3 2a1,a4 7a1,a5 a1,a§ 9 + a1,a? 2a1,a815a1,a9= a1, a10=17 + a1 , an= 2 a1 ,玄伐=23 旦,L , 857= a1, a58=113 + a1 ,a59= 2 a1, a6o= 119 a ,'ai+ a?

20、+ L + a6o=(ai+ a?+ a3+ a4)+(as+ a6+ a?+ ag)+ L + (a5?+ a5$+ 859+ a6°)= 10+ 26 + 42 + L + 234= 15 (10 234)1830的前n項和Sn =bnbn116 .在等比數(shù)列an中，印=3 ,a4=81，若數(shù)列bn滿足g= log 3an，則數(shù)列【答案】nn 1【分析】設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q,則坐q327，解得q= 3.ai所以 a1+ a?+ a3+ L+ a100= (a1+ a3 + L + a99) + (a2+ a4 + L + a10°)所以 an= aiqn 1 =

21、3 3n 1=3n ,故 bn= log3a,1所以n= n ,11 1bnbn 1n(n 1) n n 11111111 n的前n項和為1 一 一 一 L 一 1bnbn 12 2 3 n n 1 n 1 n 117. (2015南京模擬)數(shù)列an滿足an+ an+1= 1 (n N )，且a=1 , Sn是數(shù)列an的前n項和，貝U S21 =2_.【答案】6【分析】1依題意得an+ an+1= an+1+ an+ 2= ，則an+ 2= an，即數(shù)列 an中的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別相等，2則數(shù)列則 a21 = a1=1, S?1=佝+ a2)+ 3+ a4)+ L + 伯+ a：。)1+ a2

22、1=10(a<)+ a2) + a21=10 1 =6218. (2015 長沙模擬)已知函數(shù) f n = n2cos n ，且 an= f n + f (n+1)，則 a+ a2 + a3+ L + a100=【答案】100【分析】若n為偶數(shù)，則an=f n + f(n+1)= n2 (n+1)2= (2n+1),為首項為a?= 5 ,公差為 4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則an= f n + f (n+1)=n2+(n+1)2= 2n+1，為首項為a=3，公差為4的等差數(shù)列.=50 3+ 50 49 4 50 ( 5)50 49 4=100.2 219.設(shè) f x=，利用倒序相加法，可求

23、得4X 2f(1>2f(11) L)的值為22【答案】X2【分析】當(dāng)X1+ X2=1時，f X1 + f X22 4“ 2 (4 4窗 1 4(4x4X2) 2 4.1 2 10 設(shè) S= 5)f(H) Lf(石)，1110111102910倒序相加有2S=f咕)f(叫)燈L f(f10101111111110,即 S= 5.0 . 在數(shù)列 an 中，a1=5 ,a2=2 , 記 An = a1+a2+ L + an, Bn= a2+ a3+ L + an +1,C n = a3+a4+L + an+ 2(n N )，若對于任意 n N , A(n), B(n), C(n)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列 耳 的通項公式;2)求數(shù)列| an |的前n項和.【解】(1)根據(jù)題意A(n), B(n), C(n)成等差數(shù)列,A( n)+ C( n) = 2B( n),整理得 an+2 an+1= a2a=2+ 5=3 ,數(shù)列an是首項為一5，公差為3的等差數(shù)列,0= 5 + 3(n