圓錐曲線中常見錯誤剖析

1、圓錐曲線中常見錯誤剖析諸暨中學 邵躍才 311800圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，每年的高考中都占有較大的比重?？v觀近幾年各地的高考試卷，以圓錐曲線為背景的試題設(shè)計上，命題者雖然在立意創(chuàng)新、知識的綜合和交叉、數(shù)學方法的滲透上動了不少腦筋，但總的來說在解法上還是以考查圓錐曲線的通性通法為主，注重的是常規(guī)思路。即便如此，考生在此類題目的考試中得分率并不高，其中一個重要原因是平時學習時，對圓錐曲線中的一些常見錯誤認識不足。本文試圖對圓錐曲線中的一些易錯點作簡單剖析，希望引起同學們的注意。一、機械套用圓錐曲線的定義導致錯誤例1 已知F1、F2是雙曲線的焦點， P為雙曲線上一點，若P點到焦點F1的距離等

2、于9，求點P到焦點F2的距離。(2003年上海卷改變)錯解 雙曲線的實軸長為8，由雙曲線定義知，即，得|PF2|=1或17。剖析 上述解法由于機械套用了雙曲線定義，從而導致錯誤。事實上，設(shè)F1為左焦點，因為右頂點到左焦點的距離為109，所以P點必在雙曲線的左支上，從而|PF2|=1不合，所以|PF2|=17。二、盲目套用標準方程導致錯誤例2 已知橢圓的一個焦點F（0，），對應(yīng)的準線方程為：且離心率e滿足：成等比數(shù)列，求這個橢圓的方程。錯解 橢圓的一個焦點F（0，），c= ，又橢圓的一條準線方程為： ， ， b2=1 橢圓方程為 剖析 本題解法的錯誤是默認橢圓是標準情形，盲目套用了標準方程，從而

3、給人造成一種題目條件多余的錯覺。其實，只有對標準情形下的圓錐曲線，在求方程時，我們可以用待定系數(shù)法求基本幾何量來解決，當圓錐曲線不能定位時一般采用定義法求解。正確解法如下：橢圓的一個焦點F（0，），相應(yīng)的準線方程為：.又由橢圓的離心率e滿足：成等比數(shù)列，可求得：,設(shè)橢圓上任意一點P（x，y），P到焦點F對應(yīng)的準線距離為d，由橢圓的第二定義得，即，化簡即得是一個中心不在原點的橢圓.三、忽視特殊情形導致錯誤例3 已知點 M（2，0），N（2，0），動點 P滿足條件|PM |PN |=，記動點 P的軌跡為 W. （2006年北京卷） （）求 W 的方程； （）若 A，B 是W上的不同兩點，O 是坐標

4、原點，求、的最小值.錯解（）由|PM|PN|=知動點 P 的軌跡是以 為焦點的雙曲線的右支，實半軸長，又半焦距 c=2，故虛半軸長，所以 W 的方程為（ ）。（）設(shè) A，B 的坐標分別為, ，直線AB的方程為,與W的方程聯(lián)立， 消去y得 故 所以 .又因為，所以，從而，所以無最小值。剖析 本題（）的解法是正確的。（）的解法中忽視了直線AB斜率不存在的情況，從而導致了無最小值的錯誤。糾正方法是補上：當 ABx軸時,從而所以綜上，、的最小值為2.四、漏用判別式導致錯誤例4 如圖，直線ykxb與橢圓交于A、B兩點，記AOB的面積為S（I ) 求在k0，0b1的條件下，S的最大值；（）當AB2，S1時

5、，求直線AB的方程（2007年浙江卷）錯解 (I)設(shè)點A的坐標為(，點B的坐標為，由，解得，所以當且僅當時，S取到最大值1（）由 得AB 又因為O到AB的距離所以 代入并整理，得解得， 故直線AB的方程是 或或或剖析 上述（）的解法是正確的。（）的解法中，答案雖然正確，但這里忽視了對判別式0的檢驗。這也是處理直線和圓錐曲線位置關(guān)系相關(guān)問題中要特別強調(diào)的一點。五、誤用判別式導致錯誤例5 已知橢圓3x2+2y2=6x與曲線x2+y2-k=0恒有交點，求k的取值范圍。錯解 由剖析 0只能保證方程有解，而不能保證原方程組有解。因為原方程組中有隱含條件0x2,消去y后得到的關(guān)于x的一元二次方程看不到這個

6、限制條件。正確解法為：由又3x2+2y2=6x , 從而方程的兩根x1、x2應(yīng)滿足0x12或0x22, 設(shè)函數(shù)f(x)= ，對稱軸為x=3且拋物線開口向上.故k的取值范圍為0,4.六、忽視曲線自身范圍的制約導致錯誤例6 是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出方程；若不存在，試說明理由. (1) 頂點在x軸上，以y軸為準線。(2) A (3, 0 )到此拋物線上動點P的距離的最小值是2。錯解 由條件知：拋物線開口方向向右，焦點在x軸的正半軸上。設(shè)頂點為（a,0）( a 0 )，則方程為y2 = 4a ( x a) ， P（x , y）為拋物線上任一點= ( x 3 ) 2 + y2 =

7、( x 3 ) 2 + 4a ( x a) = x2 + ( 4a 6 ) x + 9 4a2=12a 8a2當x = 3 2a時,= 12a 8a2 = 4 a = 1或 所求拋物線方程為：y2 = 4 ( x 1 ) 或y2 = 2 ( x ) 剖析 上述解法忽視了拋物線中x的取值范圍，因為點P是此拋物線上動點，所以x a. .正確解法為：=12a 8a2 （ x a ）（1） 若3 2a a 即0 a 1，則當x = 3 2a 時 = 12a 8a2 = 4 a = 1或 （2）若3 2a 1則當x = a 時 =+ 12a 8a2 = 4 a = 5 故所求拋物線方程有三個：y2 =

8、4 ( x 1 ) 或y2 = 2 ( x ) 或y2 = 20（x 5）.七、忽視軌跡的純粹性導致錯誤例7、已知ABC的三邊abc,并成等差數(shù)列，A的坐標為（-1，0），C的坐標為（1，0），求頂點B的軌跡。錯解 如圖所示，設(shè)B點坐標為(x,y)，則b=|AC|=1-(-1)=2 a，b,c并成等差數(shù)列a+c=2b=4 ,化簡得軌跡方程為：.故所求B點的軌跡是焦點在直線AC上的的橢圓。剖析 上面解答忽視軌跡的純粹性，即所求軌跡上的點要都滿足條件。事實上，由abc知圖形只能在y軸的左側(cè)且不能在x,y軸上.正確解法：設(shè)B點坐標為(x,y)，由上面解得B點的軌跡為,又由abc知曲線只能在y軸的左側(cè)且除去（-2，0），（0，），（0，）三點。八、忽視軌跡的完備性導致錯誤例8 求與y軸相切于右側(cè)，并與C：x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯解 圓C方程化為，設(shè)動圓圓心點P（x,y）（x0），P與y軸相切與點M，與C相切與N點，所以|CP|=|PM|+