備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展專題67取球、比賽與闖關(guān)問題

1、專題67取球、比賽與闖關(guān)問題【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】縱觀近幾年的高考概率統(tǒng)計(jì)問題，往往以實(shí)際問題為背景，圍繞比賽、娛樂“闖關(guān)”、取球等設(shè)計(jì)問題，考查概率、統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其數(shù)字特征在實(shí)際問題中的應(yīng)用考查數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題解決 問題的能力.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明（一）取球問題在很多隨機(jī)變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對“取球”提出不同的要求，來考察不同的 模型，常見的模型及處理方式如下：1 1、 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同. .2 2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”3 3、與條件概率相關(guān)

2、：此類問題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對后一步 抽球的影響4 4、古典概型：要注意雖然題目中會說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識進(jìn)行分子分母的計(jì)數(shù) 5 5、 數(shù)字問題：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問題時(shí)，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類型進(jìn)行求解（二）比賽與闖關(guān)問題1 1、常見的比賽規(guī)則（1）n局m勝制：這種規(guī)則的特點(diǎn)為一旦某方獲得m次勝利即終止比賽. .所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中

3、某方達(dá)到m勝. .2例如：甲，乙兩隊(duì)舉行排球比賽，比賽采取5 5 局 3 3 勝制，已知甲獲勝的概率為，求甲以3:1獲勝的概率:3解：本題不能認(rèn)為“四局中甲贏得三局”，從而p=C32- =32，因?yàn)槿绻叭诌B勝，則結(jié)束比賽13八3丿81而不會開始第四局，所以若比分為3:1,則第四局甲獲勝，前三局的比分為2:1，所以(2丫(2 24I *1 =13丿13丿(3丿81（2）連勝制：規(guī)定某方連勝m場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽， 則最后m場連勝且之前沒有達(dá)到m場連勝 3例如：甲，乙兩隊(duì)舉行比賽，比賽共有 7 7 局，若有一方連勝 3 3 局，則比賽立即終止. .已知甲獲勝的概率為 -,4求甲在第

4、 5 5 局終止比賽并獲勝的概率解：若第 5 5 局比賽結(jié)束，根據(jù)連勝三局終止比賽的規(guī)則，可知甲在第3,4,53,4,5 局獲勝，且第二局失?。ǚ駝t3若第二局獲勝，則第四局就達(dá)到三連勝），第一局無論勝負(fù)不影響獲勝結(jié)果 所以 1 1- -2714丿14丿256（3 3） 比分差距制：規(guī)定某方比對方多m分即終止比賽，此時(shí)首先根據(jù)比賽局?jǐn)?shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于m（4 4） “一票否決制”：在比賽的過程中，如果在某一階段失敗，則被淘汰. .此類問題要注意若達(dá)到第m階段, 則意味著前m-1個(gè)階段均能通關(guān)2 2、解答此類題目的技巧：（1 1 ）善于引入變量表示事件：可用“字母 + +

5、變量角標(biāo)”的形式表示事件“第幾局勝利” 例如：A A 表示“第i局比賽勝利”，則A表示“第i局比賽失敗”. .（2 2 ）善于使用對立事件求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用P A =1 -P A解出所求事件概率 在處理離散性隨機(jī)變量分布列時(shí)，也可利用概率和為1 1 的特點(diǎn)，先求出包含情況較少的事件的概率，再間接求出包含情況較多的事件概率【經(jīng)典例題】例 1.1. 20162016 高考北京文數(shù)】某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和3030 秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段F F 表為 1010 名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊學(xué)生序號1 12 23 34 45 56 6

6、7 78 89 910101.91.91.91.91.81.81.81.81.71.71.71.71.71.71.71.71.61.61.61.6立定跳遠(yuǎn)（單位：米）6 62 22 20 08 86 64 42 28 80 03030 秒跳繩（單位：次）6363a75756060636372727070a- -1 1b65658 8 人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和3030 秒跳繩決賽的有 6 6 人，則【答案】B B【解析】在這 1010 名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有A.2A.2 號學(xué)生進(jìn)入 3030 秒跳繩決賽B.5B.5號學(xué)生進(jìn)入 3030 秒跳繩決賽C.8C.8 號學(xué)生進(jìn)入 3030 秒跳

7、繩決賽D.9D.9號學(xué)生進(jìn)入 3030 秒跳繩決賽3試題分析：將確定成績的恥秒跳繩成績的按從大到小的順尋排分別是爲(wèi)6, 7, W, （1, 5并列九 4 其中，4 6, 7進(jìn)了立定跳遠(yuǎn)的決黑10號沒竝定跳遠(yuǎn)的決爲(wèi) 故9號需進(jìn)30秒跳繩比賽的前呂名， 此時(shí)確定的血秒蕊繩比賽決賽的名單為 46, % 10, 9,棒3個(gè)編號為的同學(xué)進(jìn)決賽，而（1, 5）與4的成績僅相隔|b故只能-亦4進(jìn)30秒跳繩的抉賽，故選氐例 2.2.【20162016 年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半. .甲、乙、丙是三個(gè)空盒. .每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另

8、一個(gè)球放入乙盒，否則就放 入丙盒 重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）A.A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C C【解析】試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個(gè)均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個(gè)球是一紅一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個(gè)球都是黑球；A A:由于抽到的兩個(gè)球是紅球和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法確定，故無法判定乙盒和丙盒中異色球的大小關(guān)系

9、，而抽到兩個(gè)紅球的 次數(shù)與抽到兩個(gè)黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故選C.C.例 3.3.【20182018 屆浙江省杭州市第二中學(xué)仿真考】已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有 個(gè)紅球，卜 T 個(gè)藍(lán)球（尬王三占呵，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出 屮=4可個(gè)球進(jìn)行交換，（a a）交換后，從甲盒 子中取 1 1 個(gè)球是紅球的概率記為叫（b b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為毋込引. .則（）A A 旳 卩 2 2 月班直）BC C. . pipiD D【答案】A A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對應(yīng)的概 率的大小，再者就是對隨機(jī)變量的值要分清，對應(yīng)的概

10、率要算對，利用公式求得其期望 詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球, 有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會出現(xiàn)麗一1期十1三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換 兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán),對應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是 阡乙祖- l.nynl.nyn 十 UnUn 十 2|2|五種情況，所以分析可以求得 阿 E E 呵，故選A.A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應(yīng)的事件弄明白，對應(yīng)的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望

11、公式求得結(jié)果例 4 4.【浙江省金華市浦江縣 20182018 年高考適應(yīng)性考試】袋中裝有 5 5 個(gè)大小相同的球，其中有 2 2 個(gè)白球，2 2 個(gè) 黑球，1 1 個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中每次取出 1 1 球，去除后不放回，直到渠道有兩種不同顏色的球時(shí)即終止，用LILI 表示終止取球時(shí)所需的取球次數(shù)，則隨機(jī)變量 因的數(shù)字期望回是( )R121314A.A. JJ B.B.5 5C.C.5 5D.D.6 6【答案】A A【解析】分析；X的可能取倩為乳3,求出對應(yīng)的概率由此能求出隨機(jī)變量X的數(shù)字期望E( (X) ).詳解：袋中裝有5個(gè)大小相同的球，其中有2個(gè)白球2個(gè)黑球1個(gè)紅球，現(xiàn)從裳中每次取出1球，取

12、后 不放回，直到取SI有兩種不同顏色的球時(shí)即終止，用X表示終止取球時(shí)所需的取球次數(shù)，則X的可能取值為2, 3卩0 = 3)=討汕討滬討3=習(xí)一卩。=3)二話；-(JO =XZ4-|x3= ABBl變量龍的數(shù)字期望E是貴故選止例 5.5.【20172017 江蘇，2323】已知一個(gè)口袋有 m m 個(gè)白球，n n 個(gè)黑球( (m,n N*,n 2),),這些球除顏色外全部相同現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號為1,2,31,2,3，山，m m n n 的抽屜內(nèi)，其中第 k k 次取出的球放入編號為 k k 的抽屜(k(k= =1,1, 2,32,3 川|,m|,m n).n).1

13、12 23 3.m m +n+n(1)(1)試求編號為 2 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p; ;(2)(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(X)E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證(m(m n)(nn)(n _1)_1)(1(1)(2 2)見解析m +nCn-1解：(1)(1) 編號為 2 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為：Cm勺(2)(2) 隨機(jī)變量 X X 的概率分布為X X1 n111 k1明: :E(X)E(X)：【答【解5n +1n +2m + nP PnCncm*Cncm*Cn*cnn _!Ck AcnJmdnndCn4mjcn隨機(jī)變量 X X 的期望為:1攤幺E (

14、-!)!(*-)!般輕 十苕占蒿T扁石苕爲(wèi)為（加+耳X和_1）E（X）-（/+旳）（刃_1）例 6.6.甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局21數(shù)多者贏得比賽 假設(shè)每局甲獲勝的概率為 -，乙獲勝的概率為-，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立 33（1 1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2 2）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和期望 S1) )CA2M4-M+C+c 二爲(wèi)-(C1+ cAT) )C：*2）)(2)X234552108P998181224期望224 81【解析】思踣：依題意可扣茯勝的要求是連勝2 2場，所以可分2 2局，3

15、 3局，4 4局三種情況，通過后兩場 連勝嬴得比寒其余各場按邂員交昔進(jìn)行排列 解：設(shè)4為和甲在第/局獲勝3事件/為“甲在斗局臥內(nèi)（含4局）贏得比蜜/. P(J) =P441)+HH)221 2 2 2 1 2 256XX X+ * X X X =3333333332,3,4,5，若提前結(jié)束比賽，則按（1 1）的想法，除了最后兩解：X可取的值為2,3,4,5P X = 2 = P A)A2PA(A2 =3二P瓦AAP幾瓦瓦3 13丿3 13丿381=5AAA3A4P A1A2A3A4=-1 2 1 1 23333333381-X的分布列為:X2345P5210_8998181EX=253 - 4

16、 5 22499818181例 7.7.袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球,【答案】 （1 1）568181（2 2）思路：首先依題意能確定 X X 可取的值為場要連勝（或連?。?，其余各場應(yīng)“勝負(fù)交替”. .在每個(gè)事件中要分甲獲勝和乙獲勝兩種情況進(jìn)行討論白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì) 3 3 次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5 5 次摸球后結(jié)束（1 1 ）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率（2 2）記摸到紅球的次數(shù)為 ，求隨機(jī)變量的分布列及其期望4【答案】（1 1）工；（2 2）9012332808017P24324324381131期望空.81

17、【解析】思路：本題為有放回摸球，可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果摸球四就停止說明在這四次中 一共摸到爼次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球通過紅白球數(shù)量關(guān)系可知一坎摸球中摸 到紅球的概率為$然后可按照分折列式并求出槪率*解：設(shè)事件/為，濮球四次即停止摸球解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的祗率為13P A =C（2 2）思路：可知可取的值為0,1,2,3，當(dāng).=0,1,2時(shí)，摸球是通過完成5 5 次后停止，所以可利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算概率；當(dāng)=3=3 時(shí)，按照規(guī)則有可能摸球提前結(jié)束，所以要按摸球的次數(shù)（3 3 次，4 4 次，5 5次）分類討論后再匯總解:可取的值為0,1,2,3P

18、 =0 =322438024380243122 1C：33 343332438113八3丿9.的分布列為:0123P328080172432432438132243808017 131123 -2432438181例 8.8.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1 1 個(gè)紅球和 3 3 個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3 3 個(gè)紅球和 3 3 個(gè)黑球，現(xiàn)從甲,乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取 2 2 個(gè)球(1(1 )求取出的 4 4 個(gè)球中沒有紅球的概率(2(2)求取出的 4 4 個(gè)球中恰有 1 1 個(gè)紅球的概率(3(3)設(shè)為取出的 4 4 個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望01231221P10551012【答案】(1 1

19、)；( 2 2)；( 3 3)10532【解析】思路：本題這三問的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個(gè)數(shù)，考慮紅球個(gè)數(shù)來自于兩個(gè)盒內(nèi)拿出紅球個(gè)數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進(jìn)行分配，從而得到每個(gè)盒中出紅球的情況，進(jìn)而計(jì)算出概率(1 1)設(shè)事件Ai為“甲盒中取出i個(gè)紅球”，事件Bj為“乙盒中取出j個(gè)紅球”則尸=誓鞏町)=彎設(shè)事件/為詔個(gè)球中沒有紅球則P(A)=P(4)-尸(禺)=-W-陽C4q 6 1510(R 設(shè)事件月為 5 個(gè)球中恰有1個(gè)紅球廠2廠1廠1廠1廠1廠褐廠2二fW =十尸罟詩十罟*罟3 93 36 156 15(3)可取的值為0,1,2,311.的分布列為:01231221P1055101221

20、3=0123105510 2例 9.9.【20162016 高考山東文數(shù)】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動 圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)y. .獎勵規(guī)則如下:1若xy乞3，則獎勵玩具一個(gè);2若xy _8，則獎勵水杯一個(gè)；3其余情況獎勵飲料一瓶 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻 小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(I I )求小亮獲得玩具的概率；(IIII )請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由指針P =2 = P A0B2 i亠P ABi =C42C3C3 Ci1c3C2C2C6C4C3C02y JCFP(J3)=P(AB2)=晉3C3

21、0C1510【解析】. .參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如. .設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，13試題分析：用數(shù)對x, y表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，寫出基本事件空間“與點(diǎn)集S=$x,y |xN,yN,1乞x乞4,1乞y遼4?一一對應(yīng) 得到基本事件總數(shù) (一.)利用列舉法，確定事件A包含的基本事件，計(jì)算即得 (二)記“xy _ 8” 為事件B，“3：xy :：: 8” 為事件C. .確定事件B包含的基本事件共有6個(gè)，事件C包含的基本事件共有5個(gè)，計(jì)算得到P B、P C，比較即知. .試題解析：用數(shù)對(工J) )表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間 C 與點(diǎn)集s-儀j)I施MjE M1S蘭43 蘭4對

22、應(yīng).因?yàn)镾中元素個(gè)數(shù)是4X4-16,所嘆基本事件總 數(shù)為 =16.(I)記“馬3”為事件丄則事件A包含的基本事件共有5個(gè)，即(11):(1;2):(13):(2,1)=(3:1),所嘰 卩(旳二二即彳瀆茯得玩具的楓率為16 16(二)記“xy _ 8” 為事件B，“3：xy :：: 8” 為事件C. .則事件B包含的基本事件共有6個(gè)，即2,4 , 3,3 , 3,4 4,2 , 4,3 , 4,4 ,所以，P B=-.16 8則事件C包含的基本事件共有5個(gè)，即1,4 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,5所以，P C =2.16因?yàn)?,8 16所以，小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料

23、的概率例 10.10.【20162016 高考山東理數(shù)】甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3 3 分；如果只有一個(gè)人猜對，則“星隊(duì)”得 1 1 分；如果兩32人都沒猜對，則“星隊(duì)”得 0 0 分. .已知甲每輪猜對的概率是 -，乙每輪猜對的概率是 -;每輪活動中甲、乙43猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響 假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對 3 3 個(gè)成語的概率；(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和為 X X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX.EX.223【答案】(1 1)2(2 2)分布列見解析，EX=2336【解

24、析】試題分析：(“找岀疔星隊(duì)至少猜對3個(gè)成語所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的 概率加法公式求解；(2) )由題鼠 隨機(jī)變量X的可能取值為5 h 2, 3,4,乳由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到 汎的分布列，根據(jù)期望公式求解*試題解析：(I)記事件A:“甲第一輪猜對篤記事件B：“乙第一輪猜對3記事件C :“甲第二輪猜對二記事件D:乙第二輪猜對3記事件 E E: 星隊(duì)至少猜對 3 3 個(gè)成語”. .由題意，E =ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD .由事件的獨(dú)立性與互斥性，P E i=P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCDPAPBPCPD

25、PAPBPCPD PAPBPCPDPAPBPCPD PAPBPCPD13 2x x X 3 4 32_3.2所以“星隊(duì)”至少猜對3 3 個(gè)成語的概率為2. .3( (n) )由題意，隨機(jī)變量 X X 的可能取值為 0,123,4,6.0,123,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得1144P X =2 =31313 1 1 21 231.121243434343434343432 2 - -3 33 3 - -4 431111211p(X=2Kxxx - +xx-!-x-!-14 3434343；10144572112251441532111132P X =3 =43434343了3 2 3 1

26、3 2 12P X = 4 =2(4 3 4 3 4 3 4 3丿144 12可得隨機(jī)變量 X X 的分布列為X X0 01 12 23 34 46 6P P15251511447214412124所以數(shù)學(xué)期望EX=O 1 2互3 4 6丄二23. .14472144121246【精選精練】1 1 .一袋中有 6 6 個(gè)黑球，4 4 個(gè)白球（1 1）不放回地依次取出 3 3 個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2 2）有放回地依次取出 3 3 個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3 3）有放回的依次取出 3 3 個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)X的分布列，期望和方差22

27、23【答案】（1 1）2（ 2 2）2（ 3 3）分布列見解析，EX工23336【解析】1）思路：因?yàn)轭覆环呕氐娜∏?，所以后面取球的情況受到前面的斃響要使用條件概率相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算第一次已經(jīng)取到白球，所以剩下6個(gè)黑球，3個(gè)白球：若第二次取到黑球貝憚三次取到黑球的概率為鼎,若第二次取到白球,則第三次取到黑球的W衲討,從而能夠得到第三次取到黑球的概率 解：設(shè)事件/為“不放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球48 _ 272_S（2 2）思路：因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏颍悦看稳∏虻慕Y(jié)果互不影響，屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以第三次?球時(shí)依然是 6 6 個(gè)黑球，3 3 個(gè)白球，取得黑球的概率為 -9解：

28、設(shè)事件B為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”605思踣：本問依然屬于獨(dú)立重復(fù)試臉模型X的取值為0A23,則X符合二項(xiàng)分布，即Z: B 3,-,所以可通過二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求得概率，得到分布列X01232754368P125125125125X L B 3,2I5259個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為(1(1)若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率;(2(2)若左右手依次各取兩球， 稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機(jī)變量求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】P A =1 _P A =112 3-3 4 319 99999丿3(2)X

29、可取的值為0,1,2解：疋的取值為0丄2，依題意可得;X: B3327125P X T=c1i15丿15丿125P X =2二C；3112536PX，七32=1252.2.甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.【答6 18分布列見解析，EX無DXw解：(1 1)設(shè)事件A為“兩只手中所取的球顏色不同”，則A為“兩只手中所取的球顏色相同”17c2+c2+C2左手取球成功的概率P=218C922256右手取球成功的概率F2=C3.C3.C31(5.P X =0 = 1一118 .f51P X =111 -18 45 15P X =

30、2 =184一72131424一118418X012P1375241872.X的分布列為EX蘭12仝上241872363.3.某商場在店慶日進(jìn)行抽獎促銷活動，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎.抽獎箱中有大小完全相同的個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意” “興” “隆” 顧客從中任意取出 1 1 個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取 1 1 個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取 4 4 次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球獲獎規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“生” “意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉劊?不分順序取到標(biāo)有“生”“意” “興” “隆”字的球,為二等獎；取到的 4 4 個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意” “興”三個(gè)字的

31、球?yàn)槿泉?（1 1）求分別獲得一、二、三等獎的概率;（2 2）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.1591答案1（1）莎莎盲（2）分布列見解析，EX=11【解析】解： （“設(shè) 4為“獲得，等獎”1 1X X X -4 4 4 4 256尸(厶)= f 4 4 4 4尸(4)=1x1x1P(A3)=c3lxL3號球，所以由（第-席）個(gè)，進(jìn)而求得概率得到分布列.X的分布列為:X12341191634P2202205555EX=1丄2竺3蘭4 34=77522022055552207.7. 一個(gè)盒子中裝有大小相同的小球n個(gè)，在小球上分別標(biāo)有1,2,3川|,n的號碼，已知從盒子中隨機(jī)的取出兩1個(gè)球，

32、兩球的號碼最大值為n的概率為 ，4（1 1 ）盒子中裝有幾個(gè)小球？（2 2）現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出 4 4 個(gè)球，記所取 4 4 個(gè)球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（如 取24682468 時(shí)， =1=1 ；取 12461246 時(shí)， =2=2，取 12351235 時(shí)， =3=3）33【答案】（1 1）8（ 2 2）分布列見解析，EX 14【解析】P An（。）c：（c3）3Cl322755P X =1$C；2220PX=2葺嚙PX=3 -C9L學(xué)L邑 C3220PX+上12G；2201554427（1 1）思路：以兩球號碼最大值為n的概率為入手點(diǎn)，則該敘述等價(jià)于取出一個(gè)n號球和

33、一個(gè)其它號碼球1的概率為一，從而利用古典概型列出關(guān)于n的方程并解出n4解：設(shè)事件A為“兩球號碼最大值為n1Cn 11n -11.PA呉 即解得：n=8C；4 n(n1 ) 42(2 2)思路：由(1 1)可得小球的編號為1-8，結(jié)合所給的例子可知的取值為1,2,3,4，其概率可用古典概型計(jì)算.表所取得數(shù)兩兩不相鄰，可能的情況有卩戈？,035卑1,36甌口46卑陞4血砒共5種$2表示只有一對相鄰的數(shù)或兩對相鄰的數(shù)(兩隊(duì)相鄰的數(shù)之間不再相鄰h 6 =3表示有三個(gè)相鄰的數(shù)，與另一個(gè)數(shù)不相鄰.5=4表示四個(gè)數(shù)均相鄰共5個(gè).由于占二2包含情況較復(fù)雜，所以可以考慮算出苴他情況的楓率再用1減即可.解：的取值

34、為1,2,3,4-U551P討飛5=14P =2 =1 _P =1 -P =3 -P =4牛.的分布列為:1234P1421147714142133.E =1234147714 1418.8.甲、乙兩人對弈棋局，甲勝、乙勝、和棋的概率都是丄，規(guī)定有一方累計(jì) 2 2 勝或者累計(jì) 2 2 和時(shí)，棋局結(jié)3束. .棋局結(jié)束時(shí)，若是累計(jì)兩和的情形，則宣布甲乙都獲得冠軍；若一方累計(jì)2 2 勝，則宣布該方獲得冠軍，另一方獲得亞軍 設(shè)結(jié)束時(shí)對弈的總局?jǐn)?shù)為X.X.(1(1)設(shè)事件A:“X =3且甲獲得冠軍”，求 A A 的概率;(2(2 )求 X X 的分布列和數(shù)學(xué)期望. .【答案】(1 1) (2 2)分布列

35、見解析，EX=26279【解析】5C；14C；20 27029(1 1)思路：事件A代表“對弈 3 3 局且甲獲勝”所以甲必須在第三場獲勝，且前兩場為一勝一和或一勝一負(fù)(勝負(fù)先后順序均可). .按照這幾種情況找到對應(yīng)概率相乘即可解：設(shè)事件Ai為“甲在第i局取勝”，事件Bj為“第j局和棋”， 事件Ck為“乙在第k局取勝”P A = P A A2A3 亠P AA2A3 j亠P B1B2B3 I亠PB1B2B3 !121 211 121 211 8=X X + X-X-+ X X + XX-=33333333333327（2 2）思路：依題意可得只要有兩個(gè)相同的結(jié)果就結(jié)束比賽，所以最多進(jìn)行故X可取的

36、值為2,3.4；在這些值中工=2*二4包含情況較少，X = 2即為相同的結(jié)果出現(xiàn)兩次，臥甲為研究對象，則情況井為倆勝3“兩員篤“兩和三種情況.X二斗即為前三場勝員和砂均經(jīng)歷一次，I 1 1丄所以楓率P(JT4) = .對于X = 3的情況，由于種類較多，所以利用分布列概率和為1的性質(zhì)用1-2)-P(X二4)進(jìn)行計(jì)算P X =2i=P AA2P B1B2P CQ21=111-13 33 3333P X =3 =1 -P X =2 -P X =49.X的分布列為X234142P399EX =21344 Z263999點(diǎn)睛：在隨機(jī)變量所取的值中，如果只有一個(gè)值的概率包含情況較多不易計(jì)算，那么可以考慮

37、先計(jì)算出其 他取值的概率，再用 1 1 減去其他概率即可9 9 某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，回答問題正確者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰已知某(2(2 )記該選手在考核中回答問題的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.4 4 次比賽，最少進(jìn)行 2 2 次比賽,=411123 3 3一9選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為(1 1)求該選手被淘汰的概率；432,二，且【答案】(1 1)I0!(2 2)分布列見解析，EX=5712525【解析】(1 1 )思路：依題可知，比賽規(guī)則為：只要打錯(cuò)一個(gè)即被淘汰，如果從問題的正面考慮，則要考慮到是第幾輪被淘汰，情況較多 但此問題的反面為

38、“答對所有問題”，概率易于表示，所以考慮利用對立事件進(jìn)行求解設(shè)4為“選手正確回答第輪問題3事件/為/選手披淘汰”(2)(2)思路：藝可取的值為1,23可知若想多答謹(jǐn)則需要前面的問題均要答對，所以右時(shí)，則第一題答錯(cuò)寅總=2時(shí)貝U第一題答對且第二題答錯(cuò)(若第二題答對則需要答第三題h占刀時(shí)，則第一題答對且 第二題答對(第三題無論是否正確均已答三題)分別求出概率艮網(wǎng) 解：直可取的值為L23.1.428P =1p = 2 =55525尹4312P =3 =5525.的分布列為123P1_8_1252525.181257.E =1 23 -525252510.10.某區(qū)要進(jìn)行中學(xué)生籃球?qū)官?，為爭奪最后一

39、個(gè)小組賽名額，甲、乙、丙三支籃球隊(duì)要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每兩支隊(duì)伍之間都要比賽一場；每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，獲得第一名的將奪得111這個(gè)參賽名額已知乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為1，甲隊(duì)獲得第一名的概率為丄，乙隊(duì)獲得第一名的概率為 5615(1 1)求甲隊(duì)分別戰(zhàn)勝乙隊(duì)和丙隊(duì)的概率R,P2；(2(2)設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)得分為X，求X的分布列及期望.2111【答案】(1 1)p, P2(2 2)分布列見解析，EX二一344【解析】(1(1)思路：解決R,F2 2 要通過甲隊(duì)第一的概率與乙隊(duì)第一的概率兩個(gè)條件. .若甲隊(duì)第一名，則甲戰(zhàn)勝乙且戰(zhàn)31勝丙，即馬二;；若乙隊(duì)第一名，貝憶戰(zhàn)勝甲且戰(zhàn)勝

40、丙，即(1一)丄=丄，兩個(gè)方程即可解出解：設(shè)事件/為“甲隊(duì)獲第一名篤則P(J) = 7 = 16設(shè)事件月為乙隊(duì)獲第一則卩(町=(!-/?)21二解得：理=_，爲(wèi)二一34(2 2)思路：依題意可知X可取的值為0,3,6,X =0即兩戰(zhàn)全負(fù)；X = 3即一勝一負(fù)，要分成“勝乙負(fù)丙”和“負(fù)乙勝丙”兩種情況討論；X =6即兩戰(zhàn)全勝；分別求出概率即可 X可取的值為0,3,61P X =0 = 1 -R 1 -P2二4P(X =3)=P(1P2)+ (1-只尸2=右1P X -6二RP2=6.X的分布列為X036P1714126EX =0 - 3 61=4126411.11.甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7 7 場 4 4 勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間互不影響，只要有一隊(duì)獲勝 4 4 場就結(jié)束比賽現(xiàn)已比賽了 4 4 場，且甲籃球隊(duì)勝 3 3 場已知甲球隊(duì)第 5 5, 6 6 場獲勝的概率