二次不等式恒成立問題教程文件

1、基礎(chǔ)梳理1一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2 bx c 0(a 0)或 ax2 bxc0(a0)(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根(3)利用二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集2 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式b2 4ac 0 00二次函數(shù) y ax2bxc (a0)的圖象一元二次方程 ax2有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根bxc0 (a0)沒有實(shí)數(shù)根x1， x2(x1x2)x1 x2b的根2aax2 bxc0 (a x|x x2 或 xx1bR0)的解集x|x 2aax2 bxc0 (a x|x1xx

2、2?0)的解集一個(gè)技巧一元二次不等式 ax2bx c 0(a 0)的解集的確定受 a 的符號、b2 4ac 的符號的影響， 且與相應(yīng)的二次函數(shù)、 一元二次方程有密切聯(lián)系， 可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù) yax2 bx c(a 0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，化為ax2bx c 0(或 0)(其中 a0)的形式，其對應(yīng)的方程 ax2bx c0 有兩個(gè)不等實(shí)根 x1，x2，(x1x2)(此時(shí) b2 4ac0)，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集兩個(gè)防范(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況；(2)解含參數(shù)的一

3、元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏二次不等式恒成立問題不等式 ax2bx c 0 的解是全體實(shí)數(shù) (或恒成立 )的條件是當(dāng) a 0 時(shí)，b0，c0；當(dāng)a 0 時(shí)，a0，不等式 ax2bx c 0 的解是全體實(shí)數(shù) (或恒成立 )的條件是當(dāng) a0 時(shí)， b0；a 0，0，c 0；當(dāng) a0 時(shí)， 0.一、恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè) f ( x)ax2bxc(a0) ，（ 1 ） f ( x)0在 xR 上恒成立a 0且0；（2）f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。類型 2：設(shè) f ( x)ax 2bxc(a0

4、)（ 1）當(dāng) a0時(shí)， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或2a，f ( )00f ()0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0（ 2）當(dāng) a0時(shí)， f ( x)0在 x, 上恒成立f ()0f ()0bbbf (x)0在 x , 上恒成立2a或2a或 2af ()00f ( )0類型 3：f (x)對一切 xI 恒成立f (x) minf ( x)對一切 xI恒成立f ( x) max。類型 4：f (x)g( x)對一切 xI 恒成立f ( x)的圖象在 g( x)的圖象的上方或 f ( x) ming(x)max(xI )二、恒成立問題常見的解題策略：策略一：

5、利用二次函數(shù)的判別式對于一元二次函數(shù)f ( x)ax2bxc0( a0, x R) 有：（ 1） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；（ ） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且02例 1. 若不等式 (m1) x2( m1) x20 的解集是 R，求 m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1 是否是 0。（ 1）當(dāng) m-1=0 時(shí)，元不等式化為2>0 恒成立，滿足題意；（ 2） m 10 時(shí)，只需m 10，所以， m 1,9) 。(m1) 28(m1)0策略二 : 利用函數(shù)的最值（或值域）（ 1） f ( x)

6、m 對任意 x 都成立f ( x) minm ；（ 2） f ( x)m 對任意 x 都成立mf ( x)max 。簡單計(jì)作： “大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例 2.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)2恒成立，求a 的取值范圍 .解析 本題可以化歸為求函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間上的最值問題, 只要對于任意x 2,2,f (x)min2 . 若ax 2,2, f ( x)2 恒成立x2,2,f (x) min222f (x)minf ( 2) 7 3a2a2a2或2或2，即 a 的取值范圍為 5, 22 2.f

7、( a )a22f ( x) min3a2f ( x) minf ( 2) 7 a 224策略三：利用零點(diǎn)分布例 3.已知 f (x) x 2ax3a ，若 x2,2, f ( x)0恒成立，求 a 的取值范圍 .解析本題可以考慮f ( x) 的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間00a2 或a2，即 a 的取值范圍為 -7 ， 2.的右側(cè)三種情況，即0或22f ( 2)0f ( 2)0f (2)0f (2)0點(diǎn)評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題, 可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況, 要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x 軸的上方或在x 軸上就行了 .變式：設(shè)

8、 f ( x) x22mx2，當(dāng) x 1,) 時(shí)， f ( x)m 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。解：設(shè) F ( x)x 22mx2m ，則當(dāng) x 1,) 時(shí)， F (x)0 恒成立當(dāng)4(m1)(m2)0即時(shí)，F(xiàn) (x)0顯然成立；2 m 1當(dāng)0 時(shí)，如圖，F(xiàn) ( x)0恒成立的充要條件為：0F ( 1)0解得3m2 。綜上可得實(shí)數(shù)m 的取值范圍為 3,1) 。yx-1 Ox2m21策略四：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1） f ( x)g(

9、 a)( a為參數(shù)） 恒成立g (a)f (x) max2） f ( x)g( a)( a為參數(shù)） 恒成立g (a)f (x) max例 4. 函數(shù) f (x)x 22xa , x1,) ，若對任意 x 1,) ， f (x) 0 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范x圍。解：若對任意x1,) ， f ( x)0恒成立，即對 x1,)， f ( x)x22xa0恒成立，x考慮到不等式的分母x1,) ，只需 x 22xa 0 在 x1, ) 時(shí)恒成立而得x22x a0 在 x1, ) 時(shí)恒成立，只要 ax22x 在 x 1,) 時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù) h(x)x22x 在 1,) 上的最大值為3 ，所

10、以 a3 。變式：已知函數(shù)f ( x)ax4xx 2 , x (0,4 時(shí) f ( x)0 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為 a4xx 2對 x (0,4 恒成立。x令 g ( x)4xx2g( x)minx，則 a由 g ( x)4xx241 可知 g (x) 在 (0,4 上為減函數(shù)，故 g(x)ming (4) 0xx a 0 即 a 的取值范圍為 (,0) 。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量 x 看成是主元（未知數(shù)） ，而把另一個(gè)變量 a 看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果

11、把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。例 5. 若不等式2x1m( x 21)對滿足2 m2的所有 m 都成立，求x 的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m( x 21)(2 x 1)0，；令f (m)m( x21)(2x 1)2m 2時(shí) ， f (m)f ( 2)0， 則0恒成立，所以只需即f (2)02( x21)(2x1)0(17 , 13 )2( x2，所以 x 的范圍是 x1) ( 2x1)022總結(jié)：利用了一次函數(shù)f ( x)kxb, x m, n 有：f (x)0恒成立f (m)0( x)0恒成立f (

12、 m)0f (n), ff ( n)00變式：對任意a1,1 ，不等式 x2(a 4) x42a0 恒成立，求 x 的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x 的一元二次不等式，但若把a(bǔ) 看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x 2)a x24x40在 a1,1上恒成立的問題。解：令 f (a)(x2)ax 24x4 ，則原問題轉(zhuǎn)化為f ( a)0 恒成立（ a1,1 ）。當(dāng) x2時(shí)，可得 f (a)0 ，不合題意。當(dāng) x2f (1)0解之得 x1或x3。時(shí)，應(yīng)有f ( 1)0故 x 的取值范圍為 (,1)(3,) 。策略六：消元轉(zhuǎn)化例 6.已知 f ( x) 是定義在 -1,1上的奇函數(shù) , 且

13、f (1)=1,若m, n 1,1, m n 0時(shí) f (m)f (n)0 ，若 f (x)t 22at1對于所有的 x 1,1, a1,1 恒成立，求實(shí)數(shù)mnt 的取值范圍 .解析本題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個(gè)變量，容易證明f ( x)是定義在 -1,1 上的增函數(shù), 故 f ( x) 在 -1,1上的最大值為f (1)=1, 則 f ( x)t 22at1 對于所有的x 1,1, a 1,1 恒成立1t 22at1 對于所有的 a 1,1 恒成立，即 2ta t 20 對于所有的 a 1,1恒成立，令 g( a) 2ta t2 ，只要g( 1)0 ， t2或

14、t2或t0 g(1)0點(diǎn)評對于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問題, 可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化, 從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題, 使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個(gè)側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問題得以順利解決。三、鞏固練習(xí)1. （1）若關(guān)于x的不等式20a 的取值范圍；（ ）若關(guān)xax a的解集為 (,) ，求實(shí)數(shù)2于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）設(shè) f xx 2axa

15、 . 則關(guān)于 x 的不等式 x 2axa 0 的解集為 (, )f x 0 在,上恒成立f minx0 ,即 f min x4aa 20,解得 4a04（ 2 ） 設(shè) f xx 2ax a . 則 關(guān) 于 x的 不 等 式 x 2ax a3的解集不是空集f x3在,上能成立f minx3 ,即 fmin x4aa23, 解得 a6或 a2 .42.若函數(shù) ymx26mxm8 在 R上恒成立，求 m的取值范圍。分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)mx26mxm 80 在 R 上恒成立問題，并且注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論。略解：要使 ymx26mxm8 在 R上恒成立，即 mx26mx m8 0在R上恒成立。1

16、om0時(shí)， 80m0 成立2om0 時(shí)，m0， 0m136m24 m832m m10由 1o， 2o 可知， 0m13.r( x2 , xr(1x,t ), 若函數(shù) f xab 在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，求 t已知向量 a1),b的取值范圍 .解：依定義f()2(1)(x1)32tx t,xxxtxx則 f( x)3x22xt .f x在區(qū)間1,1 上是增函數(shù)等價(jià)于 fx0 在區(qū)間1,1上恒成立 ;而 fx0 在區(qū)間1,1上恒成立又等價(jià)于 t3x22x 在區(qū)間1,1 上恒成立 ;設(shè)g x3x22,1,1x x進(jìn)而 tgx 在區(qū)間1,1 上恒成立等價(jià)于 tg maxx , x1,1考慮到 gx3x

17、22x, x1,1 在1, 1 上是減函數(shù) ,在1 ,1 上是增函數(shù) ,33則 g max xg15 .于是 ,t的取值范圍是 t5 .4.已知函數(shù) fxx33ax1, g xfxax5 ，其中 f 'x 是 fx 的導(dǎo)函數(shù) .對滿足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍；解法1. 由題意 gx3x2ax3a5 ，這一問表面上是一個(gè)給出參數(shù)a 的范圍，解不等式gx0 的問題，實(shí)際上，把以x 為變量的函數(shù) g x ，改為以 a 為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即令a3x a3x25，1a1 ，則對1a1，恒有 g x0 ，即a0 ，從而轉(zhuǎn)化為對1a

18、1 ，a0 恒成立，又由a 是 a 的一次函數(shù)， 因而是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到. 為此103x2x20,只需即103x2x80.解得2x1.3故x2,1時(shí)，對滿足1a1 的一切 a 的值，都有 g x0 .3解法 2. 考慮不等式 gx3x2ax3a5 0 .由 1a1 知,a236a600 , 于是 , 不等式的解為aa236a60xaa236a60 .66但是 , 這個(gè)結(jié)果是不正確的 , 因?yàn)闆]有考慮 a 的條件 , 還應(yīng)進(jìn)一步完善 .為此 , 設(shè) gaaa236a60 , haaa236a60 .66不等式化為 gaxh a ,1a1恒成立 , 即ga maxxha m

19、in ,1a1 .由于 gaaa236a60 在1a1 上是增函數(shù) , 則 ga maxg 12 ,63haaa236a60在 1a1 上是減函數(shù) , 則 h a minh 11.所以 ,2x 1.63故 x2 ,1時(shí)，對滿足1a1的一切 a 的值，都有 g x0 .35.若對任意的實(shí)數(shù) x ， sin 2 x2k cos x2k20 恒成立，求 k 的取值范圍。解法一：原不等式化為 cos2 x2k cos x2k10令 tcosx ，則 t1，即f (t )t22kt2k1t k2k22k在1,1上恒大于。1 t0若 k1 ，要使 f (t ) 0，即 f ( 1)0， k1k不存在2若 1k 1，若使 f (t )0，即f (k)k22k 1 01 2 k 1 21 2 k 1若 k1 ，要使 f (t)0 ，即 f (1)0 ， k 1由，可知，k12。解法二