【2019年】陜西省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2014年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求 （共10小題, 每小題5分，滿分50分）1. （5 分）設(shè)集合 M=x|x>0, xCR, N=x|x2<1, xC R,則 M n N=（A. 0, 1 B. 0, A C （0, 1 D. （0, 1）TT2. （5分）函數(shù)f （x） =cos （2x-）的最小正周期是（）6A. B. tt C. 2兀 D. 4 九23. （5分）定積分j （2x+ex） dx的值為（）A. e+2 B. e+1 C. eD. e-14.

2、（5分）根據(jù)如圖所示的框圖，對大于 2的整數(shù)N,輸出的數(shù)列的通項公式是（ ）A. an=2n B. an=2 （n1） C. an=2nD. an=2n 15. （5分）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為近的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A必匚 b 4兀C. 2兀D. &冗336. （5分）從正方形四個頂點及其中心這 5個點中，任取2個點，則這2個點的 距離不小于該正方形邊長的概率為（）A.7.A.B C.D.5555（5分）下列函數(shù)中，滿足“f（x+y） =f （x） f （y） ”的單調(diào)遞增函數(shù)是（f (x) =x 2 B, f (x) =x3C. f (x) = (-

3、) x D. f (x) =3x占18. （5分）原命題為若zi, Z2互為共腕復(fù)數(shù)，則|zi|=|R"，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（A.真，假，真B.假，假，真C真，真，假D.假，假，假9. （5分）設(shè)樣本數(shù)據(jù)xi, x2,，xio的均值和方差分別為1和4,若yi=x+a （a 為非零常數(shù)，i=1, 2, , 10）,則y1，y2,，y1o的均值和方差分別為（）A. 1+a, 4 B. 1+a, 4+a C, 1,4 D. 1, 4+a10. （5分）如圖，某飛行器在4千米高空飛行，從距著陸點 A的水平距離10千 米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某

4、三次函數(shù)圖象的一部分， 則該函數(shù)的解析A. y=125B. y=； x3- ；xC. y= 3 X - x D.125y= -x3+x1255、填空題（考生注意：請在 15、16、17三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分，共4小題，每小題5分，滿分20分）11. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,貝U x=.12. （5分）若圓C的半徑為1,其圓心與點（1,0）關(guān)于直線y=x對稱，則圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13. （5分）設(shè) 0<0<三，向量 a= （sin2。cos 0, b= （cos Q 1）,若注 / b,貝 2tan 0 =.14. （5分）觀察分析下表中

5、的數(shù)據(jù)：多面體W ( F)頂點數(shù)（V）棱數(shù)（E）三棱柱569五棱錐6610立力體6812猜想一般凸多面體中F, V, E所滿足的等式是.（不等式選做題）15. （5 分）設(shè) a, b, m,n C R,且 a2+b2=5, ma+nb=5,則口2的最小值為（幾何證明選做題）16. 如圖， ABC中，BC=6,以BC為直徑的半圓分別交 AR AC于點E、F,若AC=2AE 貝U EF=.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）17. 在極坐標(biāo)系中，點（2, 3）到直線psin（8 4）二1的距離是三、解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟（共 6小題，滿分75分）18. (12分)zABC的內(nèi)角A,

6、 B, C所對應(yīng)的邊分別為a, b, c.(I )若 a, b, c成等差數(shù)歹U,證明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比數(shù)列，求cosB的最小化19. (12分)如圖1,四面體ABCD及其三視圖(如圖2所示)，過棱AB的中點 E作平行于AD, BC的平面分別交四面體的棱 BD, DC, CA于點F, G, H.(I)證明：四邊形EFGH是矩形；(H)求直線AB與平面EFGHR角8的正弦值.20. (12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2), 點P (x, y)在 ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(I)若

7、市+有+在=5,求|而| ；(H )設(shè) 0P=mAB+nAC (m, nC R),用 x, y 表示 m - n,并求 m- n 的最大值.21. (12分)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場價格(兒/kg)概率0.40.6(I)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.2222. (13分)如圖，曲線C由上半橢圓G： 4吟=1 (a>b&g

8、t;0, y>0)和部分 a b拋物線C2: y=-x2+1 (y<0)連接而成，Ci與C2的公共點為A, B,其中C1的離 心率為WE.(I )求a, b的值；(II)過點B的直線l與G,6分別交于點P, Q (均異于點A, B),若AP，AQ, 求直線l的方程.23. (14 分)設(shè)函數(shù) f (x) =ln (1+x), g (x) =xf '(x), x>0,其中 f ' (x)是 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I )令 g (x) =g (x), gn+1 (x) =g (gn (x), n C N+,求 gn (x)的表達(dá)式；(H)若f (x) > a

9、g (x)包成立，求實數(shù)a的取值范圍；(田)設(shè)nC N+,比較g (1) +g (2) +- +g (n)與n -f (n)的大小，并加以證 明.2014年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求(共10小題，每小題5分，滿分50分)1. (5 分)設(shè)集合 M=x|x>0, xCR, N=x| x2< 1, x R,則 M A N=()A. 0, 1 B. 0, 1) C. (0, 1 D. (0, 1)【分析】先解出集合N,再求兩集合的交即可得出正確選項.【解答】 解：M=x| x>0, x R , N=x| x

10、2< 1, x R=x| -1<x<1, x R, MAN=0, 1).故選：B.【點評】本題考查交集的運算，理解好交集的定義是解答的關(guān)鍵.2. (5分)函數(shù)f (x) =cos (2x-?)的最小正周期是()6A.衛(wèi)B.兀 C. 2兀D. 4九2【分析】由題意得=2再代入復(fù)合三角函數(shù)的周期公式丁滬求解.【解答】解：根據(jù)復(fù)合三角函數(shù)的周期公式得，|3 I函數(shù)f (x) =cos (2x-；)的最小正周期是 冗，6故選：B.【點評】本題考查了三角函數(shù)的周期性，以及復(fù)合三角函數(shù)的周期公式應(yīng) 用，屬于基礎(chǔ)題.3. (5分)定積分J； (2x+ex) dx的值為()A. e+2 B.

11、 e+1 C. e D. e-1【分析】根據(jù)微積分基本定理計算即可.【解答】解：J j (2x+ex) dx= (x2+ex) | = (1+e) ( 0+e0) =e.故選：C.【點評】本題主要考查了微積分基本定理，關(guān)鍵是求出原函數(shù).4. (5分)根據(jù)如圖所示的框圖，對大于 2的整數(shù)N,輸出的數(shù)列的通項公式是( )A. an=2n B. an=2 (n1)C. an=2n D. an=2n 1【分析】根據(jù)框圖的流程判斷遞推關(guān)系式，根據(jù)遞推關(guān)系式與首項求出數(shù)列的通 項公式.【解答】解：由程序框圖知：ai+i=2a, ai=2,數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，. an=2n.故選：C.【點評】本題考查

12、了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖， 根據(jù)框圖的流程判斷遞推關(guān)系 式是解答本題的關(guān)鍵.5. (5分)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為 近的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為()3271_ dA.B. 4 兀 C. 2 兀 D. TT33【分析】由長方體的對角線公式，算出正四棱柱體對角線的長，從而得到球直徑 長，得球半徑R=1,最后根據(jù)球的體積公式，可算出此球的體積.【解答】解：二正四棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為血，正四棱柱體對角線的長為=2又二,正四棱柱的頂點在同一球面上，.正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑,得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為 V=|冗=|九.33故選：D.【點評】

13、本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，求該球的體積，考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對角線公式和球的體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.6. (5分)從正方形四個頂點及其中心這 5個點中，任取2個點，則這2個點的 距離不小于該正方形邊長的概率為()A. - B.二 C.D.5555【分析】設(shè)正方形邊長為1,則從正方形四個頂點及其中心這 5個點中任取2個 點，共有10條線段，4條長度為1, 4條長度為退，兩條長度為的，即可得出 2結(jié)論.【解答】解：設(shè)正方形邊長為1,則從正方形四個頂點及其中心這 5個點中任取 2個點，共有10條線段，4條長度為1, 4條長度為乎,兩條長度為血，所求概率為 巨工.10 5故

14、選：C.【點評】本題考查概率的計算，列舉基本事件是關(guān)鍵.7. (5分)下列函數(shù)中，滿足“f(x+y) =f (x) f (y) ”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A. f(x)=x 了B.f(x)=X3C.f (x)=(之)x D. f(x)=3x【分析】對選項一一加以判斷，先判斷是否滿足 f (x+y) =f (x) f (y),然后考 慮函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.【解答】解：A. f (x) = J , f (y) =y2 , f (x+y) =Q+y)2 ,不滿足 f (x+y) =f (x) f (y),故 A 錯；8. f (x) =x3, f (y) =y3, f (x+y) = (x+y)

15、 3,不滿足 f (x+y) =f (x) f (y),故 Big;c. f (x) =(1)x, f (y)嗎) f (x+y) =§嚴(yán),滿足 f (x+y) =f (x) f (y),但f (x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，故C錯.D. f (x) =3x, f (y) =3y, f (x+y) =3匕滿足 f (x+y) =f (x) f (y),且 f (x) 在R上是單調(diào)增函數(shù)，故D正確；故選：D.【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的具體模型， 同時考查幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào) 性，是一道基礎(chǔ)題.8. (5分)原命題為若zi, Z2互為共腕復(fù)數(shù)，則|Zi|=|Z2|"，關(guān)于其逆命

16、題，否 命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A.真，假，真B.假，假，真C真，真，假D.假，假，假【分析】根據(jù)共腕復(fù)數(shù)的定義判斷命題的真假， 根據(jù)逆命題的定義寫出逆命題并 判斷真假，再利用四種命題的真假關(guān)系判斷否命題與逆否命題的真假.【解答】解：根據(jù)共腕復(fù)數(shù)的定義，原命題 若Z1, Z2互為共腕復(fù)數(shù)，則|Z1|=|Z2|" 是真命題；其逆命題是：若| Zi| =| Z2| ,則Z1,交互為共腕復(fù)數(shù)"，例| 1| 二| - 1| ,而1與-1 不是互為共腕復(fù)數(shù)，原命題的逆命題是假命題；根據(jù)原命題與其逆否命題同真同假，否命題與逆命題互為逆否命題，同真同假，命題的否命

17、題是假命題，逆否命題是真命題.故選：B.【點評】本題考查了四種命題的定義及真假關(guān)系，考查了共腕復(fù)數(shù)的定義，熟練掌握四種命題的真假關(guān)系是解題的關(guān)鍵.9. (5分)設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1, X2,，X10的均值和方差分別為1和4,若yi=x+a (a 為非零常數(shù)，i=1, 2, , 10),則y1，y2,，y10的均值和方差分別為()A. 1+a, 4 B. 1+a, 4+a C, 1, 4 D. 1, 4+a【分析】方法1:根據(jù)變量之間均值和方差的關(guān)系直接代入即可得到結(jié)論.方法2:根據(jù)均值和方差的公式計算即可得到結(jié)論.【解答】解：方法1： ,yi=x+a,.E (y。=E (x) +E (a) =1+a

18、,方差 D (y。=D (x。+E (a) =4.方法2：由題意知yi=x+a,er一 11 、1,、一,貝"=T5" (xi+x2+x10+10x a) = 0 (xi+x2+x10)= x+a=1+a,方差 s2=-y (x+a ( x+a) 2+ (x2+a- ( x+a) 2+ (x10+a- (x+a) 2= '(xi-工)2+ (x2-工)2+- + (x10-工)2 =S2=4.故選：A.【點評】本題主要考查樣本數(shù)據(jù)的均值和方差之間的關(guān)系，若變量y=ax+b,則Ey=aE+b, Dy=/Dx,利用公式比較簡單或者使用均值和方差的公式進(jìn)行計算.10. （

19、5分）如圖，某飛行器在4千米高空飛行，從距著陸點 A的水平距離10千 米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分， 則該函數(shù)的解析A. y=125B. y=x3 x125C. y-x3-x D. y l.<-y= x3+x1255【分析】分別求出四個選項中的導(dǎo)數(shù)，驗證在 x=± 5處的導(dǎo)數(shù)為0成立與否，即可得出函數(shù)的解析式.【解答】解：由題意可得出，此三次函數(shù)在 x=±5處的導(dǎo)數(shù)為0,依次特征尋找正確選項：A選項，導(dǎo)數(shù)為 /二卷 J卷 令其為0,解得x=±5,故A正確；B選項，導(dǎo)數(shù)為y令其為0, x=±5不成立，故B錯誤；C選項，導(dǎo)數(shù)為

20、/二令其為0, x=± 5不成立，故C錯誤；1L ± QD選項，導(dǎo)數(shù)為/二-3 濁,令其為0, x=± 5不成立，故D錯誤. 1255故選：A.【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)幾何意義是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用.二、填空題（考生注意：請在 15、16、17三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分，共4小題，每小題5分，滿分20分）11. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,則 x=_VTji_.【分析】化指數(shù)式為又t數(shù)式求得a,代入lgx=a后由對數(shù)的運算性質(zhì)求得x的值.【解答】解：由4a=2,得&二18再由 lgx=a=i-,得 x= . .1.

21、故答案為：1.【點評】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化， 考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.12. （5分）若圓C的半徑為1,其圓心與點（1,0）關(guān)于直線y=x對稱，則圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+ （y - 1） 2=i .【分析】利用點（a, b）關(guān)于直線y二x± k的對稱點為 （b, a）,求出圓心，冉 根據(jù)半徑求得圓的方程.【解答】解：圓心與點（1, 0）關(guān)于直線y=x對稱，可得圓心為（0, 1）,再根 據(jù)半徑等于1,可得所求的圓的方程為x2+（y-1）2=1,故答案為：x2+ （y- 1） 2=1.【點評】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了點（a, b）關(guān)于直線y二x±

22、k的 對稱點為（b, a）,屬于基礎(chǔ)題.13. （5分）設(shè) 0<0<三，向量 a= （sin2 cos 0, b= （cos Q 1）,若杜 / b,貝2tan 8 二工一2一【分析】利用向量共線定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出.【解答】 解：: 已 II b,向量=（sin2。cos 0）, b= （cos Q 1）,sin2 & cos2 9 =02sin 0 cos 0 =cos0V 0< ,cos 0.22tan 0 = 1 .tan ol.2故答案為：1.2【點評】本題考查了向量共線定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，屬于 基礎(chǔ)題.14.

23、（5分）觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多向體W ( F)頂點數(shù)（V）棱數(shù)（E）三棱柱569五棱錐6610立力體6812猜想一般凸多面體中F, V, E所滿足的等式是F+V- E=2 .【分析】通過正方體、三棱柱、三棱錐的面數(shù) F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,得到規(guī)律: F+V- E=2,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)此公式對任意凸多面體都成立，由此得到本題的答案.【解答】解：凸多面體的面數(shù)為F、頂點數(shù)為V和棱數(shù)為E,正方體：F=6, V=8, E=12,彳# F+V - E=8+6- 12=2;三棱柱：F=5, V=6, E=9,彳# F+V- E=5+6-9=2;三棱錐：F=4, V=4, E=6,彳# F+V- E=4M-6=2

24、.根據(jù)以上幾個例子，猜想：凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E滿足如下關(guān)系： F+V- E=2再通過舉四棱錐、六棱柱、等等，發(fā)現(xiàn)上述公式都成立.因此歸納出一般結(jié)論：F+V- E=2故答案為：F+V - E=2【點評】本題由幾個特殊多面體，觀察它們的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，歸納出一般 結(jié)論，得到歐拉公式，著重考查了歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題.(不等式選做題)15. (5 分)設(shè) a, b, m, nC R,且 a2+b2=5, ma+nb=5,則 J的最小值為 V|_.【分析】根據(jù)柯西不等式(a2+b2) (c2+d2) > (ac+bd) 2當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc取等號, 問題即可

25、解決.【解答】解：由柯西不等式得，(ma+nb) 2< (m2+n2) (a2+b2). a2+b2=5, ma+nb=5,( m2+n2) > 5.W7T的最小值為加故答案為：二【點評】本題主要考查了柯西不等式，解題關(guān)鍵在于清楚等號成立的條件， 屬于 中檔題.（幾何證明選做題）16.如圖， ABC中，BC=6,以BC為直徑的半圓分別交 AB AC于點E、F,若 AC=2AE 貝U EF= 3 .【分析】證明AAESAACE5,可得幽誓1,即可得出結(jié)論. AC-BC【解答】解：由題意，:以BC為直徑的半圓分別交AB、AC于點E、F, ./AEF=Z C, / EAF=/ CAB,

26、.AE% AACB,二一AC-BCv BC=6 AC=2AEEF=3故答案為：3.【點評】本題考查三角形相似的判定與運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）JTTT17.在極坐標(biāo)系中，點（2,）到直線psin（8-）二1的品巨離是1 .【分析】把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式即可得出.【解答】解：點 P （2, -y-）化為工二2二口三:=/, y=2sirr=1,P（V，1）.666直線。sin（ 8 *）=1展開化為：sin0 -P cos B =1,化為直角坐標(biāo)方程 622為：畬y-k-2=0,即 xry+2=o.點p到直線的距離d=M口且=1. &

27、quot;+ 3）2故答案為：1.【點評】本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式、 點到直線的距離公式，考查了 推理能力與計算能力，屬于中檔題.6小題，滿分三、解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或鹽酸步驟（共 75分）18. (12分)zABC的內(nèi)角A, B, C所對應(yīng)的邊分別為a, b, c.(I )若 a, b, c成等差數(shù)歹U,證明：sinA+sinC=2sin (A+C);(H)若a, b, c成等比數(shù)列，求cosB的最小化【分析】(I)由a, b, c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用 正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形即可得證；(n)由a, bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的

28、性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理 表示出cosB,將得出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值.【解答】解：(I);a, b, c成等差數(shù)列，2b=a+c,利用正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC,: sinB=sin 任一(A+C) =sin (A+C), sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C)；(n) .a, b, c成等比數(shù)列，b2=ac,2, 2 k2 2.2 Q -.cosB2半上 =J_±LW)9三， 2ac2ac 2ac 2當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，cosB的最小值為.2【點評】此題考查了正弦、余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以

29、及基本不等式 的運用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.19. (12分)如圖1,四面體ABCD及其三視圖(如圖2所示)，過棱AB的中點 E作平行于AD, BC的平面分別交四面體的棱 BD, DC, CA于點F, G, H.(I)證明：四邊形EFGH是矩形；(H)求直線AB與平面EFGHR角8的正弦值.【分析】(I)由三視圖得到四面體 ABCD的具體形狀，然后利用線面平行的性 質(zhì)得到四邊形EFGH的兩組對邊平行，即可得四邊形為平行四邊形，再由線面垂 直的判斷和性質(zhì)得到ADLBC,結(jié)合異面直線所成角的概念得到 EF± EH,從而證 得結(jié)論；(n)分別以DB, DC, DA所在直線為x, y,

30、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，求出 屈及平面EFGH的一個法向量用屈與所成角的余弦值的絕對值得直線AB與平面EFGHR角8的正弦值.【解答】（I）證明：由三視圖可知，四面體 ABCD的底面BDC是以/BDC為直 角的等腰直角三角形，且側(cè)棱AD，底面BDC.如圖，v AD/平面EFGH平面ADBA平面EFGH=EF AD?平面ABD, .AD/ EF. AD/平面 EFGH 平面 ADS平面 EFGH=GH AD?平面 ADC, .AD/ GH.由平行公理可得EF/ GH. BC/平面 EFGH 平面 DBCn 平面 EFGH=FG BC?平面 BDC,BC/ FG. BC/平面

31、EFGH 平面 ABCA 平面 EFGH=EH BC?平面 ABC,BC/ EH.由平行公理可得FG/ EH一四邊形EFGHfe平行四邊形.又AD,平面BDC, BC?平面BDC,AD± BC, M EF± EH.一四邊形EFGH矩形；（H）解：解法一：取 AD 的中點 M ,連結(jié)，顯然 ME/ BD, MH / CD, MF/ AB,且 ME=MH=1, 平面MEHL平面EFGH取EH的中點N,連結(jié)MN,則MNXEHI,MN,平面EFGH則/MFN就是MF （即AB）與平面EFGHW成的角9,: MEH是等腰直角三角形，.MN=0 又 MFAB鳴，222sin/ AFN=

32、0 ,即直線AB與平面EFGHR角8的正弦值是率.Jilr 55解法二：分別以DB, DC, DA所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由三視圖可知 DB=DC=2 DA=1.又E為AB中點，.F, G分別為DB, DC中點. .A (0, 0,1), B (2, 0, 0), F (1, 0, 0), E (1, 0, 1), G (0,1, 0).2則京 0, -1), FE=(O, 0, y),而=(-1, 1, 0).設(shè)平面EFGH的一個法向量為常y,6.(由二竺=0得亍二° ,取y=1,得x=1.mFG=0 -x+y-0G二(l, L 0).則sin ORos武三|

33、 = |音*|=尸唯%。|平. I AB p |n|V5 XV25【點評】本題考查了空間中的直線與直線的位置關(guān)系， 考查了直線和平面所成的 角，訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求線面角， 解答此題的關(guān)鍵在于建立正確的空間 右手系，是中檔題.20. (12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2), 點P (x, y)在 ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(I )若 PA+PB+PC= 0,求 | 而;(H )設(shè) 0P=mAB+nAC (m, nC R),用 x, y 表示 m - n,并求 m - n 的最大值.【分析】(I)先根據(jù)五+麗+而=5,以及各點

34、的坐標(biāo)，求出點p的坐標(biāo)，再根據(jù) 向量模的公式，問題得以解決；(II)利用向量的坐標(biāo)運算，先求出 元，位，冉根據(jù)而=m!5+n位，表示出m- n=y- x,最后結(jié)合圖形，求出 m-n的最小值.【解答】解：(I ) V A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2), PA+PB+PC=O,(1 -x, 1 - y) + (2-x, 3-y) + (3-x, 2-y) =0 .3x- 6=0, 3y - 6=0 x=2, y=2,即而二(2, 2)|0P | =122+22= 26(H) = A (1,1), B (2, 3), C (3, 2),羸二3 2)，正二1), 0P=mAB+

35、nAC,(x, y) = (m+2n, 2m+n) x=m+2n, y=2m+nm n=y- x,令y-x=t,由圖知，當(dāng)直線y=x+t過點B (2, 3)時，t取得最大值1,故m - n的最大值為1.【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，關(guān)鍵在于審清題意，屬于中檔題，21. (12分)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物巾610場價格/kg)概率0.40.6(I)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；(H)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3

36、季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.【分析】(I)分別求出對應(yīng)的概率，即可求 X的分布列；(H)分別求出3季中有2季的利潤不少于2000元的概率和3季中利潤不少于 2000元的概率，利用概率相加即可得到結(jié)論.【解答】解：(I)設(shè)A表示事件 作物產(chǎn)量為300kg”，B表示事件 作物市場價格為6元/kg ”,WJ P (A) =0.5, P (B) =0.4,;利潤二產(chǎn)量乂市場價格-成本,.X的所有值為： 500X 10- 1000=4000, 500X6- 1000=2000,300 X 10 - 1000=2000, 300 X 6 - 1000=800,貝U P (X=4000) =

37、P (A) P (B) = (1-0.5) X (1-0.4) =0.3,P (X=2000) =P (A) P (B) +P (A) P (B) = (1-0.5) X 0.4+0.5 (1 0.4) =0.5,P (X=800) =P (A) P (B) =0.5X 0.4=0.2,則X的分布列為：X40002000800P0.30.50.2(H)設(shè)Ci表示事件 第i季利潤不少于2000元”(i=1, 2, 3),則C1, C2, C3相互獨立,由(I)知，P (C) =P (X=4000) +P (X=200。=0.3+0.5=0.8 (i=1, 2, 3),3季的利潤均不少于 2000

38、 的概率為 P(C1C2C3) =P(Ci) P(C2) P(C3) =0.83=0.512, 3季的利潤有2季不少于2000的概率為P (3C2C3)+P (C己;C3) +P (C1C2C；) =3X0.82X0.2=0.384,綜上：這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為：0.512+0.384=0.896. 【點評】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及其概率的計算，考查學(xué)生的計算能力.2222. (13分)如圖，曲線C由上半橢圓G： 4W=1 (a>b>0, y>0)和部分 & b拋物線C2： y=-X2+1 (y<0)連接而成，C1與C2的公共點為

39、A, B,其中G的離 心率為叵.2(I )求a, b的值；(II)過點B的直線l與G, C2分別交于點P, Q (均異于點A, B),若AP, AQ, 求直線l的方程.【分析】(I)在G、C2的方程中，令y=0,即得b=1,設(shè)C1：的半焦距為c,由 q= 及 a2 c2=b2=1 得 a=2； a 2(H)由(I)知上半橢圓G的方程為£+X2=1 (y>0),設(shè)其方程為y=k (x-1)4(kw0),代入 G 的方程，整理得(k2+4) x2-2k2x+k2-4=0. (*)設(shè)點 P2iyp),依題意，可求得點P的坐標(biāo)為(國3,二%)；同理可得點Q的坐標(biāo)為(- k2+4 k2+

40、4k- 1, - k2-2k),利用Q?而=0,可求得k的值，從而可得答案.【解答】解：(I )在G、C2的方程中，令y=0,可得b=1,且A (T, 0), B(1,0)是上半橢圓Ci的左右頂點.設(shè)Ci：的半焦距為c,由£=Y3及a2 - c2=b2=l得a=2.a 2a=2, b=1.(H)由(I)知上半橢圓Ci的方程為式+x2=1 (y>0).4易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為 y=k (x-1) (kw0),代入C1的方程，整理得：(k2+4) x2- 2k2x+k2-4=0, (*)設(shè)點 P (xp, yp),二.直線l過點B,；x=1是方程(*)的一個根，2E由求根公式，得xp=k $ ,從而yp=警，k2+4kz+42i點P的坐標(biāo)為(與土，二萼).k2+4k2+4(入-1 )0)同理，由, s得點Q的坐標(biāo)為(-k- 1, - k2- 2k),(y=-X2+l (y<0). 比=產(chǎn)(k, -4), AQ=- k (1, k+2), kz+4V API AQ,AP?AQ=0,即一k 4 (k+2) =0,kz+4kw0,k- 4 (k+2) =0,解得 k=一旦.3經(jīng)檢驗，k=-3符合題意，3故直線l的方程為y=一且(x 1),即8x+3y 8=0.3【點評】本題考查橢圓與拋物線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的