二元二次方程組解法例題

1、v1.0可編輯可修改二元二次方程的解法二次方程組的基本思想和方法程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和“降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。”型是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組；“二二”型是由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組。方程組的解法元法（即代入法）二 一”型方程組的一般方法，具體步驟是：方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；式代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；二次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；這個(gè)未知數(shù)的值代入二元一次方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；如果代入二元二次方程求另一個(gè)未知數(shù)，就會(huì)

2、出現(xiàn)“增解”的問題；未知數(shù)的值和相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值分別組在一起，就是原方程組的解。與系數(shù)的關(guān)系33二元二次方程組中形如的方程組，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看做一元二方程，求得的乙和Z2的值，就是x、y的值。當(dāng)xi=zi時(shí)，y尸Z2；當(dāng)X2=Z2時(shí)，y?=Zi,所以原方程組的解是兩組“對(duì)稱解”。注意：不要丟二 一”型方程組的一種特殊方法，它適用于解“和積形式”的方程組。較常用的解法。除此之外，還有加減消元法、分解降次法、換元法等，解題時(shí)要注意分析方程的結(jié)構(gòu)特征，靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ā＝庖辉畏匠獭⒎质椒匠毯蜔o理方程的知識(shí)都可以運(yùn)用于解“二 一”型方程組。（2）要防止漏解和增

3、解的錯(cuò)誤。方程組的解法中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二 一”型方程組，所得的解都是原方程組的解。組中兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程與第二個(gè)二元二次方程新的方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都是原方程的解。型方程組最多有兩個(gè)解，“二二”型方程組最多有四個(gè)解，解方程組時(shí)，即不要漏解，也不要增解。:例1 .解方程組察這個(gè)方程組，不難發(fā)現(xiàn)，此方程組除可用代入法解外，還可用根與系數(shù)的關(guān)系，通過構(gòu)造一個(gè)以x, y為根的

4、一元二次方程來求解。得 y=8-x把（3）代入（2）,整理得 x2-8x+12=0. 解得 Xi=2, x 2=6.）,得yi=6.把x2=6代入（3）,得y2=2.所以原方程組的解是根與系數(shù)的關(guān)系可知：x, y是一元二次方程,z 2-8z+12=0的兩個(gè)根，解這個(gè)方程，得zi=2, z 2=6.組的解是。一”型方程組中的兩個(gè)方程，如果是以兩數(shù)和與兩數(shù)積的形式給出的，這樣的方程組用根與系數(shù)的關(guān)系解是很方便的。但要特別注意最后 x與2y的和，方程是x與2y的積，x與2y是方程z2-4z-21=0的兩個(gè)根解此方程得：z i=-3,z 2=7,.原方程的解是特殊型的方程組，可用一元二次方程的根與系數(shù)

5、的關(guān)系來解型的二元二次方程組，也都可以通過變形用簡便的特殊解法用代入法）由得：y=把代入得：=0+4()2+x-X=把x=3代入彳導(dǎo):y=1代入 彳#：y=.原方程組的解為式分解法可化源-2y) 2+(x-2y)-2=0即(x-2y+2)(x-2y-1)=0. x-2y+2=0 或 x-2y-1=0可化為分別解得：題為型二元二次方程組，一般可用代入法求解，當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)的值代入求另一個(gè)未知數(shù)的值時(shí)，一定要代入到二元一次方程中去求湖U較為簡便.值時(shí)，方程組兩組相等的實(shí)數(shù)解;(2)有兩組不相等的實(shí)數(shù)解;(3)沒有實(shí)數(shù)解。入法消去未知數(shù)y,可得到關(guān)于x的一元方程，如果這個(gè)一元方程是一元二次方程，那

6、么就可以根據(jù)根的判別式來討論。(1),整理得 k2x2+(2k-4)x+1=0時(shí)，方程(3)有兩個(gè)相解得:,原方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)根。時(shí)，方程（3）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根k<1且kw0.,.當(dāng)k<1且kw0時(shí)，原方程自1。、（2）中已知方程組有兩組解，可以確定方程 （3）是一元二次方程，但在此問中不能確定方程（3）是否是二次方程，所以需兩種情況討是一元二次方程，無解條件是,解得:k>1印是二次方程，則k=0,此時(shí)方程（3）為-4x+1=0 ,它有實(shí)數(shù)根x=兩種情況可知，當(dāng) k>1時(shí)，原方程組沒有實(shí)數(shù)根。別式的前提條件是能確定方程為一元二次方程，不是一元二次方程不能使用A

7、組二次方程組的基本思想是先消元轉(zhuǎn)化為元二次方程，再降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程解之。本題用代入法消元(3)將式(3)代入式，得)+(、2 一，)-4x+3(13x-35=0,即(x-5)(4x+7)=0x 1=5, x 2=-代入(3),得y2=-)，得 yi=3,將 x 2=-組。組是由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組，在 (1)式的等號(hào)左邊分解因式后將二元二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程。分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0即(3x-4y)(x+y-1)=03x-4y=0, 或 x+y-1=0.兩組方程組：(2)(1)由 3x-4y=0 ,得x,代入 x2+y2=25,x =25, x

8、 =16,x=± 4,即 x1=4, x 2=-4,將 x1 和 x2代入 y=x2-x-12=0,=0,彳導(dǎo) y=1-x ,代入 x2+y2=25,得 x2+(1-x) 2=25,整理,y4=4.尸0,x 3=4, x 4=-3.當(dāng) x3=4 時(shí)，y 3=-3;當(dāng) x4=-3 時(shí),解為:可化為,從而由根與系數(shù)的關(guān)系，知 x,-y 是方程z2-17z+30=0的兩個(gè)根。,故原方程組的解為Zi=2, z 2=15o即組程2）,把（x-y）看成整體，那么它就是關(guān)于（x-y）的一元二次方程，因此可分解為,由此可得到兩個(gè)二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。次方程分別和方程（1）組成兩

9、個(gè)“二 一”型的方程組：方程組，就可得到原方程組的解。x-y-3=0 或x-y+1=0。原方程組可化為兩個(gè)方程組:解方程組（1）和（2）,分別得:,原方程組的解為。意不要將（1）式錯(cuò)誤分解為（x+y） （x-y）=1,故而分解為（x-y） =1或者（x+y ） =1,這樣做是錯(cuò)的，因?yàn)楫?dāng)右邊w0時(shí)，可以分解出無窮多種解獨(dú)+y=2,x-y=等等。組的右邊為零，而左邊可以因式分解，從而可達(dá)到降次的目的。方程 （2）左邊是完全平方式，右邊是 1,將其兩邊平方，也可以達(dá)到降次的目或 x+2y=-1,1- x-4y=0 或 x+y=0. 由(2)彳# (x+2y) 2=1x+2y=1為以下四個(gè)方程組：組，得原方程組的四個(gè)解是:同一個(gè)二元二次方程分解出來的兩個(gè)二元一次方程組成方程組，這樣會(huì)出現(xiàn)增解問題，同時(shí)也不要漏解組組是“二二