常微分方程練習(xí)題

1、D. 5).B. x = xy (y)3.C. y =xy (x)卜列方程中為全微分方程的是（C. xdy - ydx = 0D. x = xy (y).B. xdyx=0x y22D. x dy y dx = 0習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題.1.微分方程y"y3 =2cosy'y5的階數(shù)是（）A. 1 B. 2C. 32.克萊羅方程的一般形式是（A. y = xy'： +q '（y ）2 x*4.用待定系數(shù)法求方程 y -2y +y = xe的特解y時，下列特解的設(shè)法正確的是（）*,2.、 xA. y =(ax bx c)e*,2.、 xB. y = x(ax bx

2、c)e5.C. y* -x2 (ax b)exD. y* x2(ax2 bx c)exLipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的（）條件.B.必要條件D.既不充分也不必要條件A.充分條件C.充要條件 二、填空題1.方程y'=xtany的所有常數(shù)解是32x x2 .函數(shù)y = 十一 +C滿足的一階方程是 . 523 .設(shè)y1 =xex +e2x,y2 =xex +e：y3 =xex +e” +e2x為某一常系數(shù)二階非齊次方程的三個解，則此方程為.4 .方程yh -y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .5.系統(tǒng)dx dt dy dt二x的零解的是二y穩(wěn)定的.三、求下列一階微分方程

3、的通解.1. dy y 4x2y2 1 =0 dx x2. y = y2(cosx-sin x) dx3. (x 2y)dx - xdy =0.四、求下列高階方程的通解1 . y y cosx2 .試用觀察法求方程一，、. 1 . 1(1 -ln x)y +y 1y=0 的通解.x x五、求解微分方程組x = y -5z« y Wx+3y的通解. z' = x 3zdxI六、判定系統(tǒng)dtdy dt33-x - y的零解穩(wěn)定性.O 33二-3xy七、證明題1 .設(shè)f (x)在0, +)上連續(xù)，且lim f (x) = 0 ,求證：方程 包+ y = f (x)的任意解y = y

4、(x)均x-dx有 lim y(x) = 0 .x )二.dXtt2 .假設(shè)m不是矢I陣A的特征值，試證非齊線f方程組 dX- = AX+Cemt ,有一解形如：5(t) = Pemt.其中C,P是常數(shù)向量、單項(xiàng)選擇題1 .微分方程 立=y2 +x2的階數(shù)是 dxA. 1 B. 2C. 32 .克萊羅方程的一般形式是(A. y =xy (y )習(xí)題二).D. 4B. x = xy :(y )C. y =xy (x)D. x = xy (y )3. Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的()條件.A.充分條件B.必要條件C.充要條件4. n階齊次線性常微分方程的任意A.可組成方程的一個

5、基本解組C.朗斯基行列式不為0D.既不充分也不必要條件 n +1個解必定().B.線性相關(guān)D.線性無關(guān)5. 用待定系數(shù)法求方程x*y -2y y =xe的特解y時，下列特解的設(shè)法正確的是(*,2xA. y =(ax bx c)e*,2xB. y = x(ax bx c)e*2xC. y =x (ax b)e*2,2.、 xD. y = x (ax bx c)e.、填空題.1 .當(dāng) n #.時，微分方程y'= P(x) y+Q(x)yn為伯努利方程.2 .在方程x"+p(t)x' + q(t)x=0中，當(dāng)系數(shù)滿足 條件時，其基本解組的朗斯基行列式等于常數(shù).3 .若y=y

6、i(x) , y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示 為.4 .方程y' = Ji - y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .5 .設(shè)x0 w I , Yi(x)，Yn(x)是區(qū)間I上線性齊次微分方程的n個解，則Y(x)，Yn(x)在區(qū)間I上線性相關(guān)的 條件是向量組Y(x0)，Yn(x0)線性相關(guān).三、求下列一階微分方程的通解.x y1. xy' _y =(x y) Inxdy2/.、2. y = y (cosx - sin x) dx3. (y - e* ey)dx (1 ey)dy =0四、求下列高階方程的通解.1. y2xy. +

7、y = 012. y y ) cosxdx5y 4x五、求解微分方程組六、判定系統(tǒng)dt如 dtd dt的通解.dy = 4y 5xdt33=-x - y的零解穩(wěn)定性.33二-3xy七、證明題.f1 .設(shè)f (x, y)及f連續(xù),試證方程dy - f (x, y)dx = 0為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積二 y分因子.d 2ydy2 .設(shè)在方程 一十p(x)十q(x)y =0中，p(x)在區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零， 試證它的任意兩個線 dxdx性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).習(xí)題三一、單項(xiàng)選擇題.1 .微分方程yW = x+xsin y的階數(shù)是().A. 1 B. 2C.

8、 3 D. 52 .下列方程中為全微分方程的是().xdy - ydxA. - =0x yxdy - ydxB. 22 =0x yC. xdy - ydx = 022D. x dy y dx = 03 .微分方程 y'=P(x)y+Q(x)yn,當(dāng) n=1 時為()A. 一階線性齊次微分方程C.伯努利方程B. 一階線性非齊次微分方程D.里卡蒂方程4. Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的()條件.A.充分條件C.充要條件B.必要條件D.既不充分也不必要條件2x5.用待定系數(shù)法求方程 y '-2y +y=(x +2x)e的特解y時，下列特解的設(shè)法正確的是(A. y*

9、:(ax2 bx c)exB. y* = x(ax2 bx c)ex*2xC. y = x (ax b)e*2,2.、 xD. y = x (ax bx c)e二、填空題.1 .函數(shù)x=c1cost+c2sint(其中ci,C2為任意常數(shù))滿足的一階方程是2 .方程tan yd xcotxd y =0所有常數(shù)解是3 .設(shè)y1 = xex +e2x, y2 = xex + e',y3 = xex + e' + e2x為某一常系數(shù)二階非齊次方程的三個解，則此方程為4 .方程y'= M y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是5 .與初值問題x“+2x+7tx = e,，x(1

10、) = 7,x'(1) = 2等價的一階方程組的初值問題為.三、求下列一階微分方程的通解1.(x2 -1)y 2xy2 =02.dy ,2/、y = y (cosx -sin x) dx3.(x 4y) y = 2x 3y 5四、求下列高階方程的通解,21. t x -2tx 2x = 02. x x - 2x = 0x = y -5z五、求解微分方程組 < y'=-5x+3y的通解.z = x -3zdx六、判定系統(tǒng)出dydt33=x - y的零解穩(wěn)定性.C 33-3xy七、證明題.1 .設(shè)f (x)在0, +叼上連續(xù)，且lim f (x) = 0 ,求證：方程dy +

11、 y = f (x)的任意解y x，二dxy(x)均有 lim y(x) =0.x 二2.證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù). 習(xí)題四、單項(xiàng)選擇題.2 1 .微分方程y"' = xy" + x的通解中含有任意常數(shù)的個數(shù)為().A. 1 B. 2C. 3 D. 42 .當(dāng)n=i時，微分方程y'+p(x)y = q(x)yn最確切的名稱為().A.一階線性齊次微分方程B.伯努利方程C.一階線性非齊次微分方程D.里卡蒂方程3 . Lipschitz條件是一階微分方程存在唯一解的()條件.A.充分條件B.必要條件C.充要

12、條件D.既不充分也不必要條件4 .在整個數(shù)軸上線性無關(guān)的一組函數(shù)為().23A. x, x 1, x -1B. 0, x, x , x“2x22-xx-2C. e , eD. e , e2 x5.用待定系數(shù)法求方程 y -2y +y=xe的特解y時，下列特解的設(shè)法正確的是()A.y*:(ax2bx c)exB. y* :x(ax2bx c)exC.y*=x2(ax b)exD. y* =x2(ax2bx c)ex、填空題.1 .方程tan ydxcotxd y=0所有常數(shù)解是 2 .若y=y(x), y = y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為.3 .方程y- y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是4 .已知cost和sin t是二階齊次線性方程 x” + a(t)x' + b(t)x = 0的兩個解，則a(t)=tT + 8時收斂5 .如果常系數(shù)線性方程組 x' = Ax的特征值的實(shí)部都是負(fù)數(shù)，則該方程組的任一解當(dāng)三、求下列一階微分方程的通解1.曳，tanYdx2.dy dx2 V x2x 2y3.(y-e'