數(shù)值分析作業(yè)-三次樣條插值

1、數(shù)值計算方法作業(yè)實驗名稱實驗 4.3 三次樣條插值函數(shù)(P126)4.5 三次樣條插值函數(shù)的收斂性(P127)實驗時間姓名班級學(xué)號成績實驗 4.3 三次樣條差值函數(shù)實驗?zāi)康模赫莆杖螛訔l插值函數(shù)的三彎矩方法實驗函數(shù)：求 f(0.13)和 f(0.36)的近似值實驗內(nèi)容:(1)編程實現(xiàn)求三次樣條插值函數(shù)的算法，分別考慮不同的邊界條件；(2)計算各插值節(jié)點的彎矩值；(3)在同一坐標系中繪制函數(shù) f(x)，插值多項式，三次樣條插值多項式的曲線比較插值結(jié)果。實驗 4.5 三次樣條差值函數(shù)的收斂性實驗?zāi)康模憾囗検讲逯挡灰欢ㄊ鞘諗康模?即插值的節(jié)點多， 效果不一定好。 對三次樣條插值 函數(shù)如何呢？理論上證

2、明三次樣條插值函數(shù)的收斂性是比較困難的， 通過本實驗 可以證明這一理論結(jié)果。實驗內(nèi)容：按照一定的規(guī)則分別選擇等距或非等距的插值節(jié)點，并不斷增加插值節(jié)點的個 數(shù)。x0.00.1F(x)0.50000.53980.20.30.40.57930.61790.7554實驗要求：(1)隨著節(jié)點個數(shù)的增加，比較被逼近函數(shù)和三樣條插值函數(shù)的誤差變化情 況，分析所得結(jié)果并與拉格朗日插值多項式比較；(2)三次樣條插值函數(shù)的思想最早產(chǎn)生于工業(yè)部門。 作為工業(yè)應(yīng)用的例子，考慮如下例子：某汽車制造商根據(jù)三次樣條插值函數(shù)設(shè)計車門曲線， 其中一 段數(shù)據(jù)如下：Xk012345678910yk0.00.791.532.192

3、.713.033.272.893.063.193.29yk0.80.2算法描述:拉格朗日插值：錯誤！未找到引用源。n(x _ X ) 其中錯誤！未找到引用源。是拉格朗日基函數(shù)，其表達式為：h(x)j=0(xi- Xj)牛頓插值：Nn(x) =f (Xg)fXo,Xi(X -xO) fXo,Xi,X2(X - xO)(x - Xi) fXg,Xi.Xn =(fXi,X2,.Xn - f X。，為，.人)/(X. - Xg)三樣條插值:所謂三次樣條插值多項式 Sn(x)是一種分段函數(shù)，它在節(jié)點Xi(aX0X1Xn=j丫(i)=(丫(i)-Y(i-1)/(X(i)-X(i-j+1);else Y(i

4、)=0;endendn ewt=n ewt,Y;end%計算牛頓插值f=n ewt(1,2);for i=2: nz=1;for k=1:i-1z=(xi-X(k)*z;endf=f+n ewt(i-1,i)*z;endfpri ntf( %dn,f)return3三次樣條插值第一類邊界條件Threch.mfun cti onS=Threch1(X,Y,dyO,dy n,xi)%X為已知數(shù)據(jù)的橫坐標%Y為已知數(shù)據(jù)的縱坐標%xi插值點處的橫坐標%S求得的三次樣條插值函數(shù)的值%dy0左端點處的一階導(dǎo)數(shù)% dyn右端點處的一階導(dǎo)數(shù)n=le ngth(X)-1;d=zeros (n+1,1);h=ze

5、ros(1, n-1);f1=zeros(1, n-1);f2=zeros(1, n-2);for i=1:n%求函數(shù)的一階差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i)/h(i);endfor i=2: n%求函數(shù)的二階差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1)/(X(i+1)-X(i-1); d(i)=6*f2(i);endd(1)=6*(f1-dyO)/h(1);d(n+1)=6*(dy n-f1(n-1)/h( n-1);%?賦初值A(chǔ)=zeros( n+1, n+1);B=zeros(1, n-1);C=zeros(1, n-1);for i=1: n-1

6、B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1);C(i)=1-B(i);endA(1,2)=1;A(n+1, n)=1;for i=1: n+1A(i,i)=2;endfor i=2: nA(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);endM=Ad;syms x;for i=1: nSx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x-X(i)+M(i)/2*(x-X(i)A2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x-X(i)A3);digits ；Sx(i)=vpa(Sx(i);%三樣條插值函數(shù)表達式endfor i=

7、1: ndisp( S(x)=)；fprintf( %s (%d,%d)n,char(Sx(i),X(i),X(i+1);endfor i=1: nif xi=X(i)& xi=X(i)& xiS =-5 1 4T- 1 O, 93*K3-I-4, 0 IE 冰 x 2 一” 1 ” OOOOOOe-OO i 2” ODOOOOe-OO 1 )S g =.1 O93-I-39. 68*K326. 392-1-6. OilO*K2. OOOOOOe-OOIj.3 OCQDOOe-00 1 )3=2. 4 7 6-4?. 93*H3+S2. 4.6 2-1 7. til*K 3.

8、OO UDO Oe-OO1, 4. ODOOOUe-UO 1 Jxi S1. 30aO0Oe-OOlF5. S31403e-0Ol三樣條第二榮邊界峯 f 牛插直半吉果S =.5Q00-I-. 380 丘764*3： 3(O, 1. OOOOOOs-OOl JS S =,5 10 8-9, O7O +K*3+3. 247*sc 2-t-. 5S73e-l*x2 =.I 6fi3-r33, 93*x 3-22. 55*c 2-5. 21 5J：XS1. SOOOOOe-OOl, O5. 5302 1 2 口Olj. Xi=0.36 時拉搭翎曰棲值緒弟T.1 693S3e-OO1三樣毎第一糞邊界號件

9、插値細果.5Q-* dODO*K. 3E9B*3E Z-I-3.09S*H(Dj 1* OOOOOOeOO1S(K =“ 514 710.99*3E 3-Hlx 0 13*21 2. 4O7Se- 1( 1* OOOOODeOO 1, 2- OOODOOeOO 1 3 (x =.109 3-1-39. 60*M： *3-26. 39+x 2+6. O40*x2. 0OOOOOer-OO 1, 3. OOOOOOer-OO 1 )2. 475-4T. 933+52. 46*x 2- 1 7. 61*K3, OOOOOe-OO 1a4, OOOOOOt-OO I )m S號” 0OQQOOe-OQ t6T90-sl23O-QQ I三彳羊朵 弟 二糞邊界祭俏插 T 亙細樂-巧 QOCH” 38n5*zH-1 . 7 5*x 3“ 1663-1-33. S3*IE 322. SS*3t 2-1-5. 2 12. 0 OOOOe-O 13. OOOOOOe-OO 1 )1. 807-26. 84*x 3-1-32. 14*x*2-l 1 . 1 9*x |2將多種