建模入門練習(xí)題

1、露天采礦問題（A）某公司獲準(zhǔn)在一塊的方形土地上露天采礦。因?yàn)橥潦?，挖坑的坑邊坡度不能超過。公司已得到不同位置不同深度處的礦砂所含純金屬的百分?jǐn)?shù)的估計(jì)值?？紤]到坡角對(duì)挖坑工作所加的限制，公司決定將問題按長(zhǎng)方形塊的挖取問題處理。每個(gè)長(zhǎng)方形塊的水平尺寸為，鉛直尺寸為。若在一個(gè)深度層上挖了4塊；則在下一層上還可為挖一塊；下圖所示的情形（實(shí)線為上一層塊，虛線為下一層塊）是俯視這5塊的水平位置關(guān)系。俯視圖這樣以來，所能挖取的塊數(shù)，第一層最多16塊，第二層最多9塊，第三層最多4塊，第四層最多1塊。不能再往深挖取。所有這些可能挖取的塊，按已得的估計(jì)值，將各塊含金屬的百分?jǐn)?shù)作為塊的值，則各塊的值如下：第一層

2、（地表層）1.51.51.50.751.52.01.50.751.01.00.750.50.750.750.50.25第二層（深25m處）4.04.02.03.03.01.02.02.00.5第三層（深50m處）12.06.0 5.04.0 第四層（深75m處）6.0各層的塊挖取費(fèi)用層一二三四塊費(fèi)用30006000800010000挖取一塊的收入同該塊值成正比；挖一個(gè)值為100的塊可收入為200000。試建立一模型以幫助決定挖取哪些塊，使純收入最大。糧庫(kù)選址問題（B）某鄉(xiāng)要建立一個(gè)糧庫(kù)，以存儲(chǔ)各村農(nóng)民上繳的公糧。該鄉(xiāng)九個(gè)村莊，如下圖所示：A-50B-70C-60D-20E-80F-20G-70

3、H-30I-50圖中的數(shù)字是各村要上交的公糧數(shù)（噸），各村之間的距離為：，。為了最大限度地減少運(yùn)輸費(fèi)用，糧庫(kù)就應(yīng)建在合適的位置（或在村中，或在村間的道路上）。試建立一模型以確定糧庫(kù)的最佳位置。在A村建糧庫(kù)：在B村建糧庫(kù)：在C村建糧庫(kù)：在D村建糧庫(kù)：在E村建糧庫(kù)：在F村建糧庫(kù)：在G村建糧庫(kù)：在H村建糧庫(kù)：在I村建糧庫(kù)：離合器片纏繞工藝設(shè)計(jì)（C）這是生產(chǎn)中的一個(gè)實(shí)際問題，生產(chǎn)纏繞式離合器的纏繞工序簡(jiǎn)要描述如下：一個(gè)在凸輪控制下作水平運(yùn)動(dòng)的噴頭不斷噴出涂了生橡膠的玻璃纖維絲，鋪放在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)圓盤中。當(dāng)玻璃纖維絲達(dá)到總長(zhǎng)度時(shí)停止，以后在高溫下固化成型，即得到一個(gè)纏繞式離合器片。除了電機(jī)、減速器等傳

4、動(dòng)機(jī)構(gòu)、進(jìn)料機(jī)構(gòu)、固化成型機(jī)構(gòu)和機(jī)架等可常規(guī)設(shè)計(jì)外，這個(gè)工藝的首要問題是考慮曲線鋪放在胎具中的形狀，進(jìn)而形成對(duì)凸輪的設(shè)計(jì)，而這也是工藝設(shè)計(jì)中的核心問題。從使用的角度來看，離合器片是很平的環(huán)片狀，顯然密度要均勻，即要求絲鋪設(shè)均勻（一種描述就是單位面積重量相同），又滿足一定的力學(xué)條件（例如剪應(yīng)力，疲勞強(qiáng)度等等），這就需要玻璃纖維絲在環(huán)內(nèi)不斷交叉，形成網(wǎng)狀。從簡(jiǎn)化凸輪設(shè)計(jì)的角度來看，整條曲線應(yīng)分為若干形狀完全相同的段，即曲線應(yīng)有周期，并且在每個(gè)周期中曲線應(yīng)與內(nèi)、外圓至少各相交一次。習(xí)慣上，稱一個(gè)圓周中的周期個(gè)數(shù)為花瓣數(shù)，經(jīng)驗(yàn)上看瓣數(shù)至少為2。為了實(shí)現(xiàn)上述生產(chǎn)工藝，必須設(shè)計(jì)出凸輪的形狀，凸輪與胎盤轉(zhuǎn)速

5、之比這兩個(gè)關(guān)鍵因數(shù)。我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述這個(gè)問題：即在一個(gè)平面環(huán)形（內(nèi)半徑為，外半徑為）區(qū)域中自環(huán)內(nèi)某點(diǎn)開始出發(fā)作一個(gè)曲線，要求曲線滿足條件：1、連續(xù)，總長(zhǎng)度為左右；2、設(shè)曲線從內(nèi)圓上某點(diǎn)開始，波動(dòng)式地在環(huán)形內(nèi)纏繞，具有周期性，花瓣數(shù)至少為2；3、曲線間必須是相交的，且多次相交，還不允許重復(fù)；4、在每個(gè)周期內(nèi)必須和內(nèi)圓、外圓各相交一次；5、要求圓環(huán)內(nèi)任何位置，單位面積中所含各條曲線總長(zhǎng)度盡量相同，即分布均勻；6、盡量簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)。請(qǐng)針對(duì)，情況給出設(shè)計(jì)。奶制品生產(chǎn)計(jì)劃（D）一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1,A2兩種初級(jí)奶制品，它們可以直接出售，也可以分別加工成B1,B2 兩種高級(jí)奶制品再出售。目前

6、的技術(shù)有： 每桶牛奶可加工成2公斤A1和3公斤A2 ，每桶牛奶的買入價(jià)為10元，加工費(fèi)為5 元，加工時(shí)間為15 小時(shí)。 每公斤A1 可深加工成0.8公斤B1，加工費(fèi)為4元，加工時(shí)間為12小時(shí)。 每公斤A2可深加工成0.7 公斤B2 ，加工費(fèi)為3 元，加工時(shí)間為10小時(shí)。根據(jù)市場(chǎng)狀況，高級(jí)奶制品的需求量占全部奶制品的需求量的20%至40% ，并且初級(jí)奶制品 A1,A2 的售價(jià)分別為每公斤10元和9元，高級(jí)奶制品B1,B2 的售價(jià)分別為每公斤30元和20元。工廠現(xiàn)有的加工能力每周總共2000小時(shí)，試在供需平衡的條件下為該廠制定（一周的）生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)最大？（1）擬撥一筆資金用于技術(shù)革新，據(jù)估計(jì)可

7、實(shí)現(xiàn)以下革新中的某一項(xiàng)：總加工能力提高10%；各項(xiàng)加工費(fèi)用均減少10%；初級(jí)奶制品,的產(chǎn)量提高10%；高級(jí)奶制品,的產(chǎn)量提高10%。問應(yīng)將資金用于哪項(xiàng)革新，這筆資金的上限（對(duì)于一周而言）應(yīng)為多少？（2）據(jù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)法則，初級(jí)奶制品,的售價(jià)都要隨著它們二者的增加而減小。同時(shí)，在深加工過程中，單位成本會(huì)隨著它們各自加工數(shù)量的增加而減少。在高級(jí)奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%的情況下，市場(chǎng)調(diào)查得到如下一批數(shù)據(jù)，試據(jù)此對(duì)該廠的生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行修訂（設(shè)其它條件不變）。售量(公斤)20255055656580708590售量(公斤)210230170190175210150190190190售價(jià)(元/公斤)15.214.414.212.712.21111.911.5109.6售價(jià)(元/公斤)119.61310.811.58.513109.29.1深加工量(公斤)405060657075808590100深加工費(fèi)(元/公斤)5.24.54.03.93.63.63.53.53.33.2深加工量(公斤)6070809095100105110115120深加工費(fèi)(元/公斤)3.83